江蘇省常州市北郊高級(jí)中學(xué) (郵編：213031)

2014年江蘇高考閱卷工作早已結(jié)束，全省數(shù)學(xué)包含空白卷約40萬(wàn)份,填空均分51.5,第15題11.5分；第16題12.56分；第17題7.6分；第18題5.5分；第19題4.9分；第20題：2.6分.平均96.1分.今年江蘇數(shù)學(xué)卷整體偏簡(jiǎn)單，但18題雖然不難，但該題是多年以來(lái)解法最多的一題，初步總計(jì)15種解法.給閱卷工作帶來(lái)前所未有的挑戰(zhàn)，下面通過該題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)總結(jié)平時(shí)教學(xué)注意點(diǎn)，雖然每年評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)不同但仍有大體不變之處供教學(xué)參考.

1 試題呈現(xiàn) 如圖：為保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)，規(guī)劃要求，新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上，并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任一點(diǎn)的距離均不少于80m，經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處，(OC為河岸)，

(1)求新橋BC的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？

2 主要解法踩分點(diǎn)說(shuō)明

本小題主要考查直線方程、直線與圓的位置關(guān)系和解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查建立數(shù)學(xué)模型及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，滿分16分第一問大致有兩類解法，一類解析幾何建系；另一類平面幾何做輔助線配合解三角形，第二問大致兩種解法.踩分以點(diǎn)為主有就給分沒有零分不給同情分.

解法1

如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xoy.

由條件知A(0, 60)，C(170, 0)，

注：兩個(gè)斜率得2分缺一不得分.

解得a=80，b=120.

得出B點(diǎn)坐標(biāo)，得2分.

因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m.

解法2

AB、BC直線方程同時(shí)對(duì)得2分；AB、BC解交點(diǎn)(80，120)得2分.

解法3AB直線方程求對(duì)得2分;寫出點(diǎn)C到AB的距離公式得2分;結(jié)果2分.

解法4

解法5

(1)如圖，延長(zhǎng)OA、CB交于點(diǎn)F.

因?yàn)镺A=60,OC=170，

因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m.

其他解法如上圖類比給分.

(2)解法1

設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為rm,OM=dm,(0≤d≤60).

求對(duì)BC直線方程不管什么形式得2分，若沒求BC但第一問有不扣分，若沒有則不得分.

由于圓M與直線BC相切，故點(diǎn)M(0，d)到直線BC的距離是r，

得到r與d關(guān)系即使不去絕對(duì)值也得3分

因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m,

解得10≤d≤35.

此得分點(diǎn)稱建模得分點(diǎn)，和上面沒有邏輯關(guān)系，是獨(dú)立的邏輯鏈容易踩到分.可惜的是每個(gè)同學(xué)都有能力拿但是沒拿到，只要同時(shí)寫出兩個(gè)不等式，哪怕r、d代入錯(cuò)誤，不重復(fù)扣r、d的分仍然可以拿到3分，但兩個(gè)不等式必須要對(duì),缺一或無(wú)等號(hào)沒分.

所以當(dāng)OM= 10 m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.

最終結(jié)果及答2分，如果沒有答只要有單位m也可以，若沒有答扣1分.

解法2

(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M與BC的切點(diǎn)為D，連接MD，則MD⊥BC，且MD是圓M的半徑，并設(shè)MD=rm，OM=dm(0≤d≤60).

因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m,

最終結(jié)果及答2分，如果沒有答只要答案有單位m也可以，若沒有答扣1分.

3 本題踩分點(diǎn)分析

(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為rm,OM=dm,(0≤d≤60).

因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m,

這樣做的學(xué)生很多雖然都沒有解出結(jié)果但也得了14分，所以有利于中等及以下學(xué)生.

4 高考踩分技巧研究

(3)過程中可保留數(shù)值的其他形式，最終結(jié)果為最簡(jiǎn)并作答如AC長(zhǎng)度的其他形式但最終結(jié)果150必須最簡(jiǎn).

5 教學(xué)建議

(1)書寫工整，字跡清楚，不涂改.改卷過程中改卷老師在一堆字跡中尋找前面給的采分點(diǎn)，但往往一些字跡潦草不易發(fā)現(xiàn)如果幾秒內(nèi)無(wú)法發(fā)現(xiàn)分差可能就有10分以上差距甚至在三批后也有誤批現(xiàn)象.研究生閱卷時(shí)，為了搶題甚至給個(gè)中值分就有2分差異.

(2)教學(xué)過程中強(qiáng)調(diào)正解不是解法越多越好，最多三種解法.其他解法應(yīng)慎講慎用.如本題已知定點(diǎn)A、C和B方向正解是建系利用解析幾何求出B點(diǎn)坐標(biāo)，教學(xué)時(shí)在三角和向量中能建系的盡量建系可以避開平面幾何的復(fù)雜，本題中很多學(xué)生做了輔助線繞來(lái)繞去繞不出來(lái).

(3)解題教學(xué)中注重過程中的列式，列式最好保留初始值帶入，不能直接以最簡(jiǎn)形式出現(xiàn)容易錯(cuò)，若列式正確即使化簡(jiǎn)錯(cuò)誤也可得分.計(jì)算時(shí)寫出主要步驟如：tan∠BCO的拆角公式不能直接得到tan∠ACB，否則即使結(jié)果正確也扣2分.

(4)解題過程如錯(cuò)誤不要?jiǎng)澗€，一影響美觀，二可能正確，改卷過程中很多學(xué)生求對(duì)了可惜被劃掉而與好幾分失之交臂.

(5)應(yīng)用題最重結(jié)果，以最簡(jiǎn)數(shù)值呈現(xiàn)作答時(shí)回到題意帶單位.