趙淑云
【摘 要】高中數(shù)學(xué)新課程中函數(shù)的教學(xué),應(yīng)整體把握函數(shù)的內(nèi)容與要求,不斷加深學(xué)生對(duì)函數(shù)思想的理解;關(guān)注認(rèn)識(shí)函數(shù)的三個(gè)維度,引導(dǎo)學(xué)生全面理解函數(shù)的本質(zhì);重視函數(shù)模型的作用;揭示函數(shù)與其他內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系;突出重點(diǎn),淡化細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容和單純技能技巧的訓(xùn)練。
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)新課程;函數(shù);設(shè)計(jì)思路
一、高中數(shù)學(xué)新課程中的函數(shù)設(shè)計(jì)思路
(一)把函數(shù)作為一條主線(xiàn)
高中數(shù)學(xué)新課程中分層設(shè)置了函數(shù)概念、具體函數(shù)a模型、函數(shù)應(yīng)用、研究函數(shù)的方法四方面的內(nèi)容。在必修數(shù)學(xué)中設(shè)置了函數(shù)概念,指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、簡(jiǎn)單冪函數(shù)、三角函數(shù)、分段函數(shù)、數(shù)列等具體函數(shù)模型及其應(yīng)用,研究函數(shù)的初等方法等內(nèi)容;選修數(shù)學(xué)中設(shè)置了研究函數(shù)的分析方法(導(dǎo)數(shù))等內(nèi)容;函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的思想方法貫穿于相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容之中。例如:必修數(shù)學(xué)中運(yùn)用函數(shù)思想方法處理方程、不等式、線(xiàn)性規(guī)劃、數(shù)列、算法,運(yùn)用函數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題,刻畫(huà)隨機(jī)變量及其分布問(wèn)題等。這種設(shè)置方式就體現(xiàn)了“以函數(shù)為綱”的思想以及函數(shù)的統(tǒng)領(lǐng)作用。
(二)突出背景,從特殊到一般引入函數(shù)
高中數(shù)學(xué)新課程中,在引人函數(shù)概念和具體函數(shù)模型時(shí),都注重函數(shù)的實(shí)際背景,通過(guò)對(duì)實(shí)際背景中的具體函數(shù)關(guān)系的分析,歸納、抽象出函數(shù)概念和函數(shù)模型。高中階段函數(shù)概念的引人,一般有兩種方法,一種是先學(xué)習(xí)映射,再學(xué)習(xí)函數(shù),即從一般到特殊的方法;另一種是通過(guò)具體函數(shù)實(shí)例的分析,歸納總結(jié)出數(shù)集之間的一種特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系—函數(shù),即從特殊到一般的方法。例如,對(duì)于函數(shù)概念,先引導(dǎo)學(xué)生梳理已經(jīng)掌握的具體函數(shù)(如,初中學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、簡(jiǎn)單分段函數(shù)等),通過(guò)分析這些具體函數(shù)的特征,構(gòu)建函數(shù)的一般概念,再由函數(shù)概念抽象出映射概念。
(三)提倡運(yùn)用信息技術(shù)研究函數(shù)
運(yùn)用信息技術(shù)可以呈現(xiàn)函數(shù)的直觀圖像,迅速精確地實(shí)施函數(shù)運(yùn)算,通過(guò)函數(shù)圖像和函數(shù)運(yùn)算,可以幫助學(xué)生加深對(duì)函數(shù)所表示的變化規(guī)律的理解。信息技術(shù)還為運(yùn)用函數(shù)模型解決問(wèn)題提供了便利。高中數(shù)學(xué)新課程提倡運(yùn)用信息技術(shù)研究函數(shù)。
二、高中數(shù)學(xué)新課程中函數(shù)教學(xué)建議
(一)整體把握函數(shù)的內(nèi)容與要求,在與函數(shù)有關(guān)的內(nèi)容的教學(xué)進(jìn)程中不斷加深學(xué)生對(duì)函數(shù)思想的理解。
函數(shù)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中第一次遇到的具有一般意義的抽象概念,在這個(gè)概念下可以派生出許多不同層次的具體函數(shù)。學(xué)生對(duì)于這種多層次的抽象概念的理解是需要時(shí)間和經(jīng)驗(yàn)積累的,需要多次接觸、反復(fù)體會(huì)、螺旋上升,逐步理解,才能真正掌握,靈活運(yùn)用。因此,函數(shù)教學(xué)應(yīng)整體設(shè)計(jì),分步實(shí)施。教師應(yīng)整體規(guī)劃整個(gè)高中階段函數(shù)的教學(xué),對(duì)函數(shù)教學(xué)有一個(gè)整體的全面的設(shè)計(jì),明確不同時(shí)段、不同內(nèi)容中學(xué)生對(duì)函數(shù)理解應(yīng)達(dá)到的程度,在與函數(shù)有關(guān)的內(nèi)容的教學(xué)進(jìn)程中,通過(guò)運(yùn)用函數(shù)不斷加深學(xué)生對(duì)函數(shù)思想的理解。
(二)關(guān)注認(rèn)識(shí)函數(shù)的三個(gè)維度,引導(dǎo)學(xué)生全面理解函數(shù)的本質(zhì)
第一,函數(shù)是刻畫(huà)變量與變量之間依賴(lài)關(guān)系的模型,即變量說(shuō)。在現(xiàn)實(shí)生活和其他學(xué)科中,存在著大量的變量和變量之間的依賴(lài)關(guān)系。例如:郵局收取郵資時(shí),郵資(變量)隨著郵件的重量(變量)的變化而變化。這種變量之間的依賴(lài)關(guān)系具有一個(gè)突出的特征,即當(dāng)一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí),依賴(lài)于這個(gè)變量的另一個(gè)變量有唯一確定的值?;谶@種認(rèn)識(shí),就可以用函數(shù)來(lái)表示和刻畫(huà)自然規(guī)律,這是我們認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的重要視角,也是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的基礎(chǔ)。
第二,函數(shù)是連接兩類(lèi)對(duì)象的橋梁,即映射說(shuō)。對(duì)函數(shù)的這種認(rèn)識(shí)反映了數(shù)學(xué)中的一種基本思想,在數(shù)學(xué)的后續(xù)學(xué)習(xí)中具有基礎(chǔ)作用。數(shù)學(xué)中的許多重要概念都是這種認(rèn)識(shí)的推廣和拓展。例如,代數(shù)學(xué)中的同構(gòu)、同態(tài)是構(gòu)架兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)的橋梁,拓?fù)鋵W(xué)中的同胚也是構(gòu)架兩個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的橋梁等。
第三,函數(shù)是“圖形”,即關(guān)系說(shuō)。函數(shù)關(guān)系是平面上點(diǎn)的集合,因而可以看做平面上的一個(gè)“圖形”。在很多情況下,函數(shù)是滿(mǎn)足一定條件的曲線(xiàn)。因此,從某種意義上說(shuō),研究函數(shù)就是研究曲線(xiàn)的變化、曲線(xiàn)的性質(zhì)?;谶@種認(rèn)識(shí),函數(shù)可以看做數(shù)形結(jié)合的載體之一。實(shí)際上,解析幾何、向量幾何、函數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程中數(shù)形結(jié)合的三個(gè)主要載體。
(三)重視函數(shù)模型的作用,幫助學(xué)生在頭腦中“留住”一批函數(shù)模型
理解函數(shù)的一個(gè)重要方法,就是在頭腦中“留住”一批具體函數(shù)的模型。那些優(yōu)秀的數(shù)學(xué)工作者,對(duì)于每一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念,在他們的頭腦中都會(huì)有一批具體的“模型”。這是很好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的習(xí)慣。高中數(shù)學(xué)課程中有許多基本函數(shù)模型,高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一就是把這些基本函數(shù)模型留在學(xué)生頭腦中,這些模型是理解函數(shù)和思考其他函數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)。在教學(xué)中,對(duì)于上述基本函數(shù)模型應(yīng)有一個(gè)全面的設(shè)計(jì),要幫助學(xué)生在頭腦中留下三方面的東西:第一,背景,即要熟悉這些函數(shù)模型的實(shí)際背景,從實(shí)際背景的角度把握函數(shù);第二,圖像,即從幾何直觀的角度把握函數(shù);第三,基本變化,即從代數(shù)的角度把握函數(shù)的變化情況。只有在學(xué)生頭腦中“留住”這樣一批具體的函數(shù)模型,才能逐步實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解,并靈活運(yùn)用函數(shù)思考和解決問(wèn)題。
(四)揭示函數(shù)與其他內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系,強(qiáng)化學(xué)生對(duì)函數(shù)思想的認(rèn)識(shí)函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的一條主線(xiàn),貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程中。是在方程、不等式、線(xiàn)性規(guī)劃、算法、隨機(jī)變量等內(nèi)容中都突出地體現(xiàn)了函數(shù)思想。用函數(shù)的觀點(diǎn)看待方程,可以把方程的根看成函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),解方程 就是求函數(shù) 的零點(diǎn)的橫坐標(biāo),從而,解方程問(wèn)題可以歸結(jié)為研究函數(shù)局部性質(zhì)的問(wèn)題,即研究函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題。這樣,如果一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b],習(xí)上連續(xù),且端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào),即 ,則就可以運(yùn)用二分法求方程的近似解。還可以用切線(xiàn)法(函數(shù) 在閉區(qū)間有一階導(dǎo)數(shù))、割線(xiàn)法(函數(shù) 在閉區(qū)間有二階導(dǎo)數(shù))等求方程的近似解。
在坐標(biāo)系中,函數(shù) 的圖像把橫坐標(biāo)軸分成若干區(qū)域。一部分是函數(shù)值等于0的區(qū)域,即 ;另一部分是函數(shù)值大于0的區(qū)域,即 ;再一部分是函數(shù)值小于0的區(qū)域,即 。用函數(shù)的觀點(diǎn)看,解不等式就是確定使函數(shù) 的圖像在x軸上方或下方的的x區(qū)域。這樣,就可以先確定函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)(方程 的解),再根據(jù)函數(shù)的圖像來(lái)求解不等式。
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(作者單位:甘肅省山丹縣第一中學(xué))