郭木生

什么是數(shù)感？根據(jù)美麗全美數(shù)學(xué)教師協(xié)會的標(biāo)準(zhǔn)：數(shù)感就是對數(shù)的理解或數(shù)概念的形成。學(xué)生數(shù)感的建立架起數(shù)量與計數(shù)之間的聯(lián)系，它強(qiáng)調(diào)對數(shù)量多與少、空間與數(shù)量的關(guān)系、數(shù)量的部分與整體的關(guān)系等的理解。數(shù)感是一種主動地、自覺地或自動化地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度和意識，是人的一種基本的素養(yǎng)，它是建立明確的數(shù)概念和有效地進(jìn)行計算等數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)，是將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實問題建立聯(lián)系的橋梁。我國 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感作為發(fā)展其數(shù)學(xué)素養(yǎng)的奠基石，目的就在于使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法理解和解釋現(xiàn)實問題，同時培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神與實踐能力，讓學(xué)生有更多的機(jī)會接觸和體驗數(shù)學(xué)問題，表達(dá)自己對問題的看法，用不同的方式思考和解決問題。

一、數(shù)感形成有賴于學(xué)生充分的感知和體驗

數(shù)學(xué)是應(yīng)用的科學(xué)，具有高度的抽象性。要使學(xué)生理解和掌握這些抽象的概念、性質(zhì)、圖形，就必須提供有關(guān)感性材料的支持；只讓學(xué)生機(jī)械地記憶抽象的數(shù)學(xué)符號或概念知識，學(xué)生就不能用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實中的問題，更談不上在數(shù)學(xué)上的進(jìn)一步發(fā)展。讓學(xué)生在具體的實物數(shù)量或問題情境中充分感知，有效地、主動地建構(gòu)，才是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)。

如：認(rèn)識自然數(shù) “6”，先讓學(xué)生觀察現(xiàn)實生活中用“6”表達(dá)的事物。放手讓學(xué)生說：6枝筆、6個人、6棵樹、6根小棒、6個小組、6列隊伍、6捆小棒……隨后引導(dǎo)幫助學(xué)生理解 “6”可以表示6個個體，也可以表示這類個體的6個集合。同時讓學(xué)生幾個學(xué)生排隊，小明在第6位，說明小明排在第6位，小明的前面 （包括小明共有6個同學(xué)）。讓學(xué)生體驗 “6”的基數(shù)與序數(shù)含義。

認(rèn)識 “0”時，若只讓學(xué)生記著，當(dāng)一個東西也沒有時，用 “0”表示，學(xué)生認(rèn)識就受到了局限。如果教學(xué)時啟發(fā)學(xué)生說出在日常生活中在哪些地方見過 “0”，學(xué)生的思維積極性可能一下就高漲起來。 “車牌上有0”； “在溫度表上見過0”； “電話上有0”； “直尺上有0”……學(xué)生直觀體會 “0”除了表示 “沒有”以外，在溫度表上、表示分界點；在直尺上表示起點；在電話、車牌上與其他數(shù)字一起組成號碼……這些都是學(xué)生身邊的事，學(xué)生感知深刻，很容易理解和接受。

這樣，在學(xué)生充分感知的基礎(chǔ)上組織的教學(xué)，學(xué)生建立的 “數(shù)概念”能更深領(lǐng)會數(shù)的含義與作用，才能初步建立數(shù)感意識。

二、數(shù)概念意義建構(gòu)促進(jìn)學(xué)生數(shù)感的發(fā)展

數(shù)學(xué)概念或關(guān)系都有確定的符號表示，用符號表示數(shù)及其運(yùn)算或關(guān)系是數(shù)學(xué)的一個基本特征，因此數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的語言。課標(biāo)強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生的符號感，并指出符號感主要表現(xiàn)在：能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；理解符號所表示的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；會進(jìn)行符號間的轉(zhuǎn)換；能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q有符號表示的問題。小學(xué)生思維以具體的形象思維為主，抽象的符號對他們來說較枯燥、空洞，難以激發(fā)興趣，教師要創(chuàng)設(shè)情境，使他們對所學(xué)內(nèi)容感興趣，喚起已有的經(jīng)驗，讓學(xué)生親近符號，接受理解符號，經(jīng)歷把知識符號化的過程。

曹培英老師在對數(shù)學(xué)新課標(biāo)的解讀中指出：數(shù)學(xué)符號如同象形文字，簡潔、生動、形象、傳神。在小學(xué)數(shù)學(xué)中有數(shù)字符號1、2、3、4……；運(yùn)算符號+、-、×、÷；關(guān)系符號=、 ＞、 ＜、 ≈。 “+” 是表示把 “-” 和 “|” 合并的意思； “-” 是表示把 “+” 中拿走 “|” （去掉） 的意思”；“×”是同數(shù)相加，應(yīng)該是特殊的加法，那就把 “+”旋轉(zhuǎn)45度角形成了 “×”； “÷”中的 “—”表示一把刀平均分上“.” 和下 “.”， 每份同樣多。 列科爾德在評論 “=” 時也說：再也沒有比平行而又等長的短線段更明確相等符號了，“≈”很傳神，本來是直的的，為了表達(dá)近似于，才由直變成彎的。

我們說數(shù)學(xué)的符號本身就透著靈性，透著含義，透著可愛、好玩和有趣。如果教師在進(jìn)行教學(xué)時，抓住這些符號特征組織教學(xué)，小學(xué)生一定會在輕松、愉快的情境中掌握，體會到用符號表示數(shù)學(xué)語言的簡浩、明了，培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，自然形成數(shù)感。

三、創(chuàng)設(shè)動化問題情境是學(xué)生數(shù)感形成的有效手段

小學(xué)生對于活動的、變化著的對象容易從固定的背景上突出而被感知?？墒墙滩纳纤故镜闹R是相對靜態(tài)的，創(chuàng)設(shè)的情境也是圖片，它需要學(xué)生豐富的想象力才能理解圖意。而小學(xué)生以形象思維為主，往往不能正確理清意義，甚至曲解圖意，造成教師把握教材不準(zhǔn)等現(xiàn)象?？菰锒指珊缘臅嬲Z言環(huán)境，也禁錮了學(xué)生的思維和創(chuàng)造力，使得學(xué)習(xí)過程變成生硬的知識灌輸過程。如北師大版教材是以笑笑、淘氣、智慧老人等用動漫人物為主線，創(chuàng)設(shè)了一個又一個問題情境，但都是插圖形式，把小學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的內(nèi)容貫穿在一起。同樣的人物從一年級至六年級在教材中一直重復(fù)出現(xiàn)，學(xué)生的興趣逐漸降低，可想而知，此時的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，學(xué)生還會專注嗎，還會全身心地投入嗎？

如果把這些靜態(tài)的圖片情境，采用多媒體制作成動漫，讓學(xué)生身臨其境，置身于問題之中，不但可以豐富課堂氣氛，同時把課本知識和生活經(jīng)歷有機(jī)地結(jié)合起來，讓學(xué)生整體、客觀的體驗數(shù)學(xué)。動漫化問題情境，就使學(xué)生如同親身經(jīng)歷，將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展。以動畫的聲像素材展示，小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣會更濃，讓學(xué)生在動態(tài)的數(shù)學(xué)活動體驗與感受中整體認(rèn)識，學(xué)生自然會覺得非常親切、真實，從而讓學(xué)生在課堂這個小小的空間里感受生活中的數(shù)學(xué)給自己帶來的樂趣。

四、歷經(jīng)試誤到頓悟是形成數(shù)感的有效途徑

試誤也就是嘗試，是心理學(xué)家桑代克關(guān)于學(xué)習(xí)心理的一個術(shù)語，桑代克認(rèn)為：人們的學(xué)習(xí)往往是在漸進(jìn)的嘗試和不斷地犯錯誤中進(jìn)行并逐步得到成功。而頓悟則是格式塔心理學(xué)派研究學(xué)習(xí)過程的一個術(shù)語，頓悟的發(fā)生是以“茅塞頓開”、 “豁然開朗”為特征的現(xiàn)象。試誤是學(xué)習(xí)過程，頓悟是學(xué)習(xí)結(jié)果。小學(xué)生無論是從心理還是生理來看都還不成熟，在他們的學(xué)習(xí)過程中包含了許多動物學(xué)習(xí)過程的本質(zhì)。他們的學(xué)習(xí)是在情境的創(chuàng)設(shè)中不斷將原有的知識進(jìn)行重新組織和重新建構(gòu)，不斷對自己的方法進(jìn)行調(diào)整，最后發(fā)現(xiàn)需要解決的問題與方法之間的聯(lián)系，覺察到目標(biāo)與手段之間的相關(guān)性，從而對自己進(jìn)行原有知識的完善和補(bǔ)充。如在教學(xué)中，孩子們會忽然說道： “哦，我明白了，原來是這個意思??！”這是他們頓悟的體現(xiàn)之一。

數(shù)學(xué)課堂中的學(xué)生的學(xué)習(xí)，相當(dāng)部分的學(xué)生是根據(jù)例題的解法照葫蘆畫瓢，對解題的思路和方法往往知其然，而不知其所以然。例如，小明的體重30kg，小華的體重比小明重1/5，小華的體重是多少kg?學(xué)生會列式：30+30×1/5=36（kg）；若把原題變?yōu)椋盒∶鞯捏w重30kg，比小華重1/5，小華的體重是多少kg？受到前例的影響，許多學(xué)生會自然地列式30-30×1/5=24（kg）的錯誤。這個時候如果教師只會一味地進(jìn)行錯誤的訂正，是無效的，而是要有效地引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生頓誤。細(xì)細(xì)分析本題學(xué)生錯誤的心理，是沒有理解題意，受到前例的思維定勢的影響，自然形成的后者錯誤。這樣就需要老師引導(dǎo)學(xué)生理清題意，找出兩者的不同點和相同點，讓學(xué)生自己頓悟兩個1/5所對應(yīng)的單位 “1”是不同的，前者對應(yīng)單位 “1”小明的體重是已知的，后者對應(yīng)的單位 “1”小華體重是未知的，并也是我們所求的問題。讓學(xué)生明確了錯誤后，再引導(dǎo)用未知數(shù)x表示小華的體重，學(xué)生就容易列出方程x+1/5x=30，x=25，或者列式30÷（1+1/5）=25 （kg）。

因此，教師不能只滿足于學(xué)生解答出一個正確結(jié)果，而應(yīng)當(dāng)啟發(fā)學(xué)生反思解題的思路，倒攝答案形成的過程，獲得思維的頓悟。學(xué)生思維的頓悟是提高教學(xué)效率的有效手段，更是學(xué)生創(chuàng)造性思維能力培養(yǎng)和方法。

五、發(fā)展學(xué)生估算能力是培養(yǎng)數(shù)感的良策

數(shù)學(xué)家費(fèi)賴登塔爾認(rèn)為： “數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實、寓于現(xiàn)實、用于現(xiàn)實?！睂W(xué)習(xí)運(yùn)算的目的是為了解決現(xiàn)實問題，而不是單純?yōu)榱擞嬎?。而在實際問題的解決中，更多的是估計數(shù)據(jù)，因此結(jié)合實際引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會估算在教學(xué)時也就占有重要的位置。同時估算能力的提高是學(xué)生數(shù)感形成的基礎(chǔ)，是發(fā)展學(xué)生數(shù)感的有效途徑，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的良策。

學(xué)生的估算又分為兩種類型：感知的和概念的。感知估算是指呈現(xiàn)一組物品后，無須計數(shù)或分組就能說出總數(shù)。如小學(xué)生認(rèn)識 “3”，可以從3個物品開始學(xué)習(xí)估算。向他們呈現(xiàn)3個物品時，他們不用計數(shù)就能說出這些物品一共有3個；概念估算需要在一個物群中找到數(shù)的模式，如將6根小棒看做是一個模式整體，然后進(jìn)行分解。觀察者可能將6根小棒的模式分成兩組，每組各3根，于是建立 “6”的概念模式。感知的估算是計數(shù)和基數(shù)的基礎(chǔ)，概念的估算發(fā)展又以計數(shù)和模式為基礎(chǔ)，能夠促進(jìn)兒童數(shù)感的形成以及計算技能的掌握。

教師在教學(xué)中要善于抓住各種有利時機(jī)，改變學(xué)生對估算的認(rèn)識，創(chuàng)造性地活用教材，讓學(xué)生常估算，多交流，使學(xué)生感受到估算魅力，增強(qiáng)估算意識，形成較強(qiáng)的量化能力，并逐漸養(yǎng)成良好的估算習(xí)慣，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。

總之，數(shù)感是一種基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)對象進(jìn)而具備數(shù)學(xué)氣質(zhì)的心智技能，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要結(jié)構(gòu)變量。數(shù)感來自數(shù)學(xué)活動實踐，又指導(dǎo)數(shù)學(xué)實踐活動。它的形成不是一蹴而就，而是一個漸進(jìn)的過程、沉淀的過程、積累的過程。我們應(yīng)在不斷的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，讓學(xué)生在對數(shù)的充分感知和領(lǐng)悟中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。