楊蘭珍 ， 哈明虎，張自儒

(1.河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北 保定 071002；2.河北軟件職業(yè)技術(shù)學(xué)院 學(xué)生處，河北 保定 071000)

自模糊集[1]誕生之后，由于其在各領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用而引起了大量學(xué)者的研究興趣,這也使模糊集理論得到了大量的推廣,直覺模糊集就是其中之一.自從1983年Atanassov 等人[2-3]提出直覺模糊集的概念之后,許多學(xué)者也投入到對(duì)直覺模糊集的研究工作中，至今直覺模糊集已應(yīng)用于直覺模糊專家系統(tǒng)、直覺模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和群決策、模糊優(yōu)化、醫(yī)療疹斷和模糊識(shí)別領(lǐng)域.

2009年，Witold等[4-6]提出了基于經(jīng)典集合的有效測(cè)度(或稱效率測(cè)度)，其實(shí)質(zhì)為一特殊廣義模糊集值測(cè)度[7]，且其應(yīng)用主要借助于模糊積分這一工具.然而模糊積分作為整合算子一直備受關(guān)注，特別是Choquet積分.此積分是法國(guó)學(xué)者Choquet于1954年針對(duì)容度定義提出的，且作為一種經(jīng)典的非線性積分，已經(jīng)被成功應(yīng)用于信息融合和數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域[8].

值得關(guān)注的是，最近有學(xué)者紛紛開始研究基于直覺模糊集的Choquet積分[9-12],但是其工作側(cè)重于基于直覺模糊值映射或者基于直覺模糊值測(cè)度的Choquet積分.基于此，本文首先將基于經(jīng)典集合的有效測(cè)度推廣到基于直覺模糊集合的有效測(cè)度，并分析其性質(zhì)；然后討論定義在直覺模糊集合上基于實(shí)值有效測(cè)度和實(shí)值可測(cè)映射的Chouquet積分，并研究其性質(zhì).

設(shè)X是一個(gè)非空集合, F是由X的若干經(jīng)典子集組成的σ-代數(shù), (X，F(xiàn))稱為可測(cè)空間, C是由X的若干經(jīng)典子集組成的類.M={f:X→[-∞,∞]|f是可測(cè)的}，M+={f:X→[0,∞]|f是可測(cè)的}.

定義1[4-6]映射μ: C→[0, ∞] 稱為有效測(cè)度當(dāng)且僅當(dāng)若?∈C，有μ(?)=0.

值得關(guān)注的是：模糊測(cè)度、λ-模糊測(cè)度、擬測(cè)度、信任測(cè)度、似然測(cè)度等都是特殊的有效測(cè)度.

1 基于直覺模糊集的有效測(cè)度

事實(shí)上，直覺模糊熵可以認(rèn)為是一種定義在直覺模糊集上的有效測(cè)度.此外，進(jìn)一步改進(jìn)直覺模糊特殊測(cè)度[13]，給出定義7.

(FM1)平凡性：μ(?)=0;

注：μ稱為下半(或上半)連續(xù)實(shí)值直覺模糊測(cè)度, 如果它滿足上述條件(FM1)，(FM2)和(FM3)(或(FM1)，(FM2)和(FM4))；μ稱為實(shí)值直覺單調(diào)測(cè)度，如果它滿足上述條件 (FM1)和(FM2). 顯然，實(shí)值直覺模糊測(cè)度，半連續(xù)實(shí)值直覺模糊測(cè)度，以及實(shí)值直覺單調(diào)測(cè)度都為特殊的實(shí)值直覺有效測(cè)度.

從而根據(jù)μ的crisp零可減定義, 有

從而

故μ是crisp零可減的.

2 基于直覺模糊集和有效測(cè)度的Choquet積分

注：命題1中的積分是定義在直覺模糊集上的關(guān)于直覺實(shí)值有效測(cè)度的Choquet積分.

證明類似于一般Choquet積分的證明,故略.

與假設(shè)相矛盾.

3 結(jié)論

給出了一種基于直覺模糊集的實(shí)值有效測(cè)度，討論了crisp零可減，直覺模糊相乘等相關(guān)性質(zhì)；結(jié)合有效測(cè)度，討論了直覺模糊集合上的Choquet積分的基本性質(zhì)，從而推廣了基于普通集合和直覺模糊集合的非可加測(cè)度論.

參 考 文 獻(xiàn):

[1] ZADEH L A. Fuzzy sets [J].Information and control, 1965, 8: 338-353.

[2] ATANASSOV K. Intuitionistic fuzzy sets[Z].Seventh Scientific Session of ITKR, Sofia, 1983.

[3] ATANASSOV K. Intuitionistic fuzzy sets [J].Fuzzy Sets and Systems, 1986, 20:87-96.

[4] WANG Zhenyuan, LEE K, LEUNG K. The Choquet integral with respect to fuzzy-valued signed efficiency measures[Z].Proc WCCI 2008, Honkong,2143-2148

[5] WANG Zhenyuan,YANG Rong, LEUNG K S. Nonlinear integrals and their applications in data mining[M].Singapore: World Scientific Publishing, 2010.

[6] PEDRYCZ W, YANG Lanzhen, HA Minghu. On the fundamental convergence in the (C) mean in problems of information fusion[J].J Math Anal Appl, 2009, 358: 203-222

[7] 哈明虎，楊蘭珍，吳從炘.廣義模糊集值測(cè)度引論[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[8] CHOQUET G. Theory of capacities [J].Annales de l’institut Fourier, 1955, 5: 131-295.

[9] BAN A. Intuitionistic fuzzy measures:Theory and Applieations [M].NewYork: Nova Sciences, 2006.

[10] BAN A, FECHETE I. Componentwise decomposition of some lattice-valued fuzzy integrals [J].Information Science, 2007, 177:1430-1440.

[11] CUI Licong, LI Yongming, ZHANG Xiaohong. Intuitionistic fuzzy linguistic quantifiers based on intuitionistic fuzzy-valued fuzzy measures and integrals[J].International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems, 2009,17:427-448.

[12] 李璐.直覺模糊Choquet積分在語(yǔ)言量詞模型中的應(yīng)用[D].西安：陜西師范大學(xué)，2011.

[13] COSKUM E.Syslems on intuitionistic fuzzy special sets and intuitionistic fuzzy special measures [J].Informcotion Science,2000,128:105-118.