趙飛遠(yuǎn) 劉合香

摘 要： 為研究高中生數(shù)學(xué)發(fā)散思維與數(shù)學(xué)聚合思維的狀況并加以比較，提出相關(guān)觀點(diǎn)和策略，進(jìn)一步提高高中生的數(shù)學(xué)思維水平，作者選取了南寧市某示范性高中70名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試調(diào)研.調(diào)研結(jié)果表明：在高中生數(shù)學(xué)解題過程中，發(fā)散思維和聚合思維對(duì)數(shù)學(xué)問題解決的影響普遍存在，數(shù)學(xué)發(fā)散思維和數(shù)學(xué)聚合思維受到已有知識(shí)、解題方法、能否變通等多方面因素的影響和制約，學(xué)優(yōu)生和學(xué)困生的解題思維水平存在顯著差異.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)發(fā)散思維 數(shù)學(xué)聚合思維 數(shù)學(xué)解題 高中生

一、問題提出

如果說把解決數(shù)學(xué)問題的思路比喻成道路的話，那么數(shù)學(xué)思維的角度和方向就變得舉足輕重.按照數(shù)學(xué)思維的指向，可以把數(shù)學(xué)思維分為數(shù)學(xué)發(fā)散思維（又稱數(shù)學(xué)輻射思維）和數(shù)學(xué)聚合思維（又稱數(shù)學(xué)輻合思維）.

數(shù)學(xué)發(fā)散思維是對(duì)已知數(shù)學(xué)信息進(jìn)行多方向、多角度的思考，不局限于既定的理解，從而提出新的數(shù)學(xué)問題，探索新的數(shù)學(xué)知識(shí)或發(fā)現(xiàn)多種解答和多種結(jié)果的思維方式.

數(shù)學(xué)聚合思維是調(diào)動(dòng)各種信息（已知的或回憶的），按照常規(guī)習(xí)慣尋求解決數(shù)學(xué)問題、整理數(shù)學(xué)知識(shí)或總結(jié)數(shù)學(xué)方法的思維方式.

數(shù)學(xué)發(fā)散思維以不同的思維方向、路徑和角度探求解決數(shù)學(xué)問題的多種不同答案正受到人們的關(guān)注和重視，并成為創(chuàng)造性思維方法的重要組成部分；數(shù)學(xué)聚合思維則以其理性、邏輯、集聚、合圍的特點(diǎn)給數(shù)學(xué)發(fā)散思維帶來了擴(kuò)張力 ，又提供了聚合力.因此，探討數(shù)學(xué)發(fā)散思維和數(shù)學(xué)聚合思維的辯證統(tǒng)一性，不僅具有理論價(jià)值，還有其現(xiàn)實(shí)意義.

數(shù)學(xué)發(fā)散思維與數(shù)學(xué)聚合思維對(duì)高中生生解題的制約和影響是普遍存在的.究竟其影響程度如何？它們各自有哪些特點(diǎn)？?jī)烧咧g又有何區(qū)別和聯(lián)系？如何較有效地培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)發(fā)散思維和數(shù)學(xué)聚合思維？對(duì)教師的教和學(xué)生的學(xué)有何指導(dǎo)意義？本研究編制了一套與高中生數(shù)學(xué)發(fā)散思維和數(shù)學(xué)聚合思維有關(guān)的測(cè)試題，對(duì)高中生在解決數(shù)學(xué)問題過程中的思維發(fā)散性和思維聚合性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，希望為教學(xué)提供參考.

二、研究方法

（一）被試

被試為南寧市一所示范性中學(xué)高二年級(jí)兩個(gè)平行班的學(xué)生，總被試80人，發(fā)放數(shù)學(xué)調(diào)查問卷80份（每班40份），收回有效問卷70份，問卷回收率為87.5%.

（二）研究工具

本研究采用高中生數(shù)學(xué)調(diào)查問卷方式進(jìn)行調(diào)研.

根據(jù)現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材自編高中生數(shù)學(xué)發(fā)散思維與數(shù)學(xué)聚合思維比較研究測(cè)試題，經(jīng)過多次修改，試卷的可靠程度較高，信度系數(shù)為0.763.本套調(diào)查試卷包括6道要求筆試完成的簡(jiǎn)答題，測(cè)試時(shí)間為80分鐘，試卷滿分100分：其中問題1、2、3、5各占15分，問題4、6各占20分，評(píng)卷施行按步給分，根據(jù)具體情況酌情處理.所考查的知識(shí)點(diǎn)均分布于高一至高二所學(xué)內(nèi)容，根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)散思維與數(shù)學(xué)聚合思維各自的研究維度和子維度編制試題，試題有明顯的代表性，適合高二學(xué)生進(jìn)行測(cè)試.

測(cè)試得到的數(shù)據(jù)使用SPSS進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.

三、結(jié)果與分析

（一）學(xué)優(yōu)生和學(xué)困生在數(shù)學(xué)發(fā)散思維方面的表現(xiàn)

數(shù)學(xué)發(fā)散思維包括多端性、獨(dú)特性和變通性三個(gè)維度.在數(shù)學(xué)發(fā)散思維方面，學(xué)優(yōu)生能夠展開聯(lián)想，從多個(gè)角度尋求解決問題的方法和途徑；學(xué)困生則很難開啟自身的發(fā)散思維，找不到或很難找到解決問題的有效途徑. 6個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決在水平上，學(xué)優(yōu)生和學(xué)困生在數(shù)學(xué)聚合思維方面均表現(xiàn)出了顯著性的差異.

（二）學(xué)優(yōu)生和學(xué)困生在數(shù)學(xué)聚合思維方面的表現(xiàn)

數(shù)學(xué)聚合思維包括概括性和邏輯性兩個(gè)維度.在數(shù)學(xué)聚合思維方面，學(xué)優(yōu)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解更透徹，能夠多題一解，學(xué)困生則對(duì)于解決問題既存在知識(shí)問題，又存在思想和方法問題.6個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決在水平上，學(xué)優(yōu)生和學(xué)困生在數(shù)學(xué)聚合思維方面均表現(xiàn)出了顯著性的差異.

（三）典型例題分析

問題1.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

辨析：這是一道三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問題，學(xué)生可能會(huì)想到用積化和差，或是分子分母同乘以2cos10°以退為進(jìn)，也可以兩兩組合（（sin10°sin30°）（sin50°sin70°），（sin10°sin70°）（sin30°sin50°））之后再進(jìn)行積化和差.主要考查高中學(xué)生問題5和問題6這兩個(gè)“姊妹題”是考查高中生數(shù)學(xué)聚合思維在解題中的概括性維度.學(xué)優(yōu)生和學(xué)困生出現(xiàn)顯著性的差異.

四、討論

綜合上述分析可以看出：數(shù)學(xué)發(fā)散思維與數(shù)學(xué)聚合思維的水平直接影響到學(xué)生的數(shù)學(xué)解題.如本研究中問題4，如果學(xué)生不能對(duì)方程的根這個(gè)數(shù)學(xué)概念深入了解，自然就不會(huì)由數(shù)形結(jié)合想到方程的根，其實(shí)就是相應(yīng)的函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

從數(shù)學(xué)發(fā)散思維和數(shù)學(xué)聚合思維對(duì)學(xué)生解題的影響程度來看，數(shù)學(xué)聚合思維對(duì)學(xué)生的解題的影響更顯著.我們考慮可能是由于數(shù)學(xué)知識(shí)只是數(shù)學(xué)思想的載體，而數(shù)學(xué)思想乃數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂，抓住隱藏在知識(shí)背后的思想，其實(shí)就抓住了數(shù)學(xué)問題解決的本質(zhì)，那么真正意義上的解題自然水到渠成.

與學(xué)優(yōu)生相比較而言，學(xué)困生的數(shù)學(xué)解題受到發(fā)散思維和聚合思維的影響更顯著.

五、結(jié)論與建議

（一）結(jié)論

1.數(shù)學(xué)發(fā)散思維和數(shù)學(xué)聚合思維直接影響數(shù)學(xué)解題.

2.數(shù)學(xué)發(fā)散思維和數(shù)學(xué)聚合思維對(duì)數(shù)學(xué)解題的影響不同，其中，數(shù)學(xué)聚合思維數(shù)學(xué)解題的影響更大.

3.從優(yōu)“差”生數(shù)學(xué)發(fā)散思維和數(shù)學(xué)聚合思維對(duì)數(shù)學(xué)解題影響的比較來看，學(xué)困生的數(shù)學(xué)發(fā)散思維和數(shù)學(xué)聚合思維對(duì)數(shù)學(xué)解題的影響更顯著.

（二）建議

1.加強(qiáng)數(shù)學(xué)發(fā)散思維和數(shù)學(xué)聚合思維在數(shù)學(xué)解題中的訓(xùn)練力度，如：在函數(shù)圖像的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生打開思維去想圖像中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)，以及由數(shù)學(xué)公式或符號(hào)生成的圖形，與此同時(shí)多注意高中數(shù)學(xué)思想方法在解題和教學(xué)中的滲透.

2.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要經(jīng)常鼓勵(lì)學(xué)生打破思維定勢(shì)，進(jìn)行發(fā)散思維，一題多解，一題多變，一題多用；有要懂得張弛有度，多題一解，把中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法順其自然，活靈活現(xiàn)地根植入學(xué)生內(nèi)心.

3.對(duì)于學(xué)困生的教學(xué)，在補(bǔ)充好數(shù)學(xué)“雙基”知識(shí)的前提下，重點(diǎn)應(yīng)放在培養(yǎng)他們數(shù)學(xué)問題解決的意識(shí)，尤其是在問題解決過程中發(fā)散思維和聚合思維的巧妙運(yùn)用上，從而形成一張看不見、摸不著卻又真實(shí)起作用的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

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