陳 平

(江蘇第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，江蘇南京 210013)

微元法的應(yīng)用及其教學(xué)啟示

陳 平

(江蘇第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，江蘇南京 210013)

微元法應(yīng)用是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)部分.本文將結(jié)合具體的應(yīng)用，說(shuō)明微元法的原理和取法及其產(chǎn)生的教學(xué)啟示.

定積分；數(shù)學(xué)教學(xué)；應(yīng)用

積分理論是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要部分，而借助積分理論解決實(shí)際問(wèn)題的思想方法即為微元法.因此，微元法成為積分理論應(yīng)用部分的教學(xué)重點(diǎn)，理解微元法是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).本文將結(jié)合幾何、物理以及經(jīng)濟(jì)中的實(shí)際問(wèn)題，引發(fā)對(duì)微元法的原理及取法的思考并探究其產(chǎn)生的教學(xué)啟示.

1 微元法的本質(zhì)與例解

下面，我們將結(jié)合幾個(gè)具體的幾何問(wèn)題來(lái)說(shuō)明微元的選取準(zhǔn)則與技巧.

1.1 弧長(zhǎng)微元

從而，弧長(zhǎng)微元為

圖1 弧長(zhǎng)微元

1.2 平面面積微元

求曲線y=f(x)，y=g(x)以及直線x=a，x=b所圍成的平面圖形的面積微元ds(如圖2)，其中對(duì)任意x∈[a,b]，有f(x)g(x).利用微元法，在區(qū)間[a,b]上任取一小區(qū)間[x,x+dx]，并考慮它上面的圖形的面積，這塊面積可用f(x)-g(x)為高，以dx為底的矩形面積近似，于是ds=[f(x)-g(x)]dx.

圖2 平面面積微元

1.3 已知平行截面面積的幾何體的體積微元

現(xiàn)在看圖3中的一個(gè)空間立體，假設(shè)我們知道它在x處截面面積為S(x)，如果像切紅薯片一樣，把它切成薄片，則每個(gè)薄片可近似看作直柱體，其體積等于底面積乘以高.用微元法導(dǎo)出體積微元： 在[a,b]上任取一小區(qū)間[x,x+dx]，這樣就得到一個(gè)非常薄的薄片，并考慮其近似體積(柱體)，于是體積微元為：dV=S(x)dx.

圖3 已知截面面積的幾何體的體積微元

1.4 旋轉(zhuǎn)體的體積微元

設(shè)一平面圖形以x=a,x=b,y=0以及y=f(x)為邊界，求該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積(如圖4).我們用“微元法”的思想，來(lái)解決這一問(wèn)題.在[a,b]上任取一小區(qū)間[x,x+dx]，得到一個(gè)細(xì)長(zhǎng)條，該細(xì)長(zhǎng)條我們可以把它看成矩形，該矩形的寬為dx，高為f(x)，那么這個(gè)小矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體就是一個(gè)非常薄的圓柱體，其厚度就是dx，再由圓柱體體積計(jì)算公式，于是小圓柱體的體積微元是：dV=πf2(x)dx.

圖4 旋轉(zhuǎn)體的體積

1.5 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積微元

設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，求其繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積.

2 微元法在物理學(xué)中的應(yīng)用

微元法除了可以應(yīng)用于上述具有幾何直觀的問(wèn)題外，還可以解決一些經(jīng)典的物理問(wèn)題.

2.1 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

已知變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)行速度為v=v(t)，求質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段T0到T1內(nèi)的運(yùn)動(dòng)路程.

利用微元法，任取一個(gè)時(shí)間值t，再給一個(gè)時(shí)間增量Δt，在這個(gè)非常短暫的時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的速度為v(t)，其運(yùn)行的路程為ds=v(t)Δt=v(t)dt，該量即為“路程微元”.

2.2 物質(zhì)曲線的質(zhì)量

已知物質(zhì)曲線的曲線方程為y=f(x),x∈[a,b]，且該曲線在任一點(diǎn)(x,f(x))的線密度為ρ(x)，求該物質(zhì)曲線的質(zhì)量.

利用微元法.在曲線上任取一點(diǎn)(x,f(x))，在此點(diǎn)任意截取一小弧段ΔS，該弧段非常微小，小到這段物質(zhì)弧可以近似看成是均勻分布的，于是該小弧段的質(zhì)量為

dm=ρ(x)Δs=ρ(x)ds.

由之前的討論，弧長(zhǎng)微元是

于是，所求物質(zhì)曲線的質(zhì)量是

2.3 變力做功問(wèn)題

設(shè)一物體在外力F的作用下，沿力的方向由點(diǎn)a移到點(diǎn)b，已知物體處于點(diǎn)x∈[a,b]時(shí)外力F的大小為F(x)，求外力F對(duì)物體所做的功.

在點(diǎn)a到點(diǎn)b之間的任意處取定一值x∈[a,b]，并且任給自變量一個(gè)增量Δx，由于位移Δx非常小，因此，在這一移動(dòng)過(guò)程中，可以認(rèn)為作用在物體上的力是恒力，于是得到功微元為

dW=F(x)Δx=F(x)dx.

3 微元法的取元原則與換元技巧

通過(guò)上述的實(shí)例，可以歸納總結(jié)出選取微元時(shí)所遵從的基本原則.

3.1 可加性原則

由于微元法的本質(zhì)是先“化整為零”然后“合零為整”，所以，對(duì)“微元”及相應(yīng)的量的最基本的要求是：應(yīng)該具備“可加性”原則.具體的，即當(dāng)區(qū)間[a,b]被分割成小區(qū)間后，這些小區(qū)間通過(guò)集合的并運(yùn)算仍可以整合成區(qū)間[a,b]，而對(duì)應(yīng)的“微元”也可以進(jìn)行“疊加”運(yùn)算.

3.2 有序性原則

在保證上述可加性原則的基礎(chǔ)上，還需保證所選取的“微元”在疊加區(qū)域內(nèi)能夠較為方便地獲得完整疊加，即做到“不遺漏”、“不重復(fù)”.因此在選取“微元”時(shí)，需按照關(guān)于所求量的某種“序”來(lái)選取相應(yīng)的“微元”.

3.3 可積性原則

除滿足上述特征之外，還應(yīng)要求“微元”可以表達(dá)成或者近似表達(dá)成某函數(shù)(被積函數(shù))與積分變量的乘積，并且這一被積函數(shù)在積分變量的變化區(qū)間(積分區(qū)間)上是可積的.

就“微元法”的應(yīng)用技巧而言，最為關(guān)鍵的是掌握好換“元”的技巧[2].因?yàn)橥ǔ５慕忸}中直接選取的“微元”并不一定能使“被積函數(shù)”滿足可積、容易求積分的性質(zhì)，這將會(huì)給接下來(lái)的定積分運(yùn)算帶來(lái)困難，所以，必須應(yīng)用換元的技巧來(lái)改變被積函數(shù)，來(lái)達(dá)到簡(jiǎn)化積分的目的.最常用的換元技巧有如下幾種：

(1)“時(shí)間元”與“空間元”間的相互代換(表現(xiàn)時(shí)、空關(guān)系的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中最為常見(jiàn))，比如求曲線弧長(zhǎng)可以利用參數(shù)方程形式；

(2)降維法：常見(jiàn)的體積元、面積元與線元間的相互代換；

(3)極坐標(biāo)變換：常見(jiàn)的極坐標(biāo)公式是連接“線元”與“角元”間的相互代換的橋梁；

(4)充分利用所求量的各種“對(duì)稱”特征進(jìn)行換元.比如圖形的奇偶性、區(qū)間的對(duì)稱性、圖像的對(duì)稱軸等等.

4 微元法的教學(xué)啟示

微元法是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的思想方法和理論工具[3].它體現(xiàn)了以局部看整體，以微觀表宏觀，用近似值描述精確值的數(shù)學(xué)思想，展現(xiàn)了化整為零、積零為整的數(shù)學(xué)方法.充分體現(xiàn)了極限思想的實(shí)質(zhì)，進(jìn)而展示了數(shù)學(xué)上曲直、變與不變、有限與無(wú)限這三對(duì)矛盾統(tǒng)一體.

在實(shí)際教學(xué)中，可以將現(xiàn)代教育技術(shù)與傳統(tǒng)教學(xué)模式相結(jié)合，探討微元法思想的教學(xué)新模式，引導(dǎo)學(xué)生掌握新的思維方式與方法.具體地，可以從如下幾個(gè)方面著手.

4.1 創(chuàng)設(shè)情境

應(yīng)借助多媒體手段，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，即呈現(xiàn)學(xué)生熟悉以及感興趣的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的好奇心、發(fā)現(xiàn)欲、誘發(fā)質(zhì)疑猜想從而使其分析和解決問(wèn)題.

4.2 引入效果評(píng)價(jià)機(jī)制與小組交互型學(xué)習(xí)模式

教師通過(guò)觀察記錄學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的表現(xiàn)，并結(jié)合學(xué)生的研究報(bào)告，就可以對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度進(jìn)行監(jiān)控.在小組獨(dú)立探索問(wèn)題遇到困難時(shí)，教師需要適當(dāng)給予提示，引發(fā)學(xué)生思考和討論.

4.3 倡導(dǎo)自主學(xué)習(xí)

教師可以在學(xué)生已基本掌握“微元法”的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提高要求.比如將一些現(xiàn)實(shí)原型劃歸為數(shù)學(xué)模型，嘗試構(gòu)造微元以及所求量的積分表達(dá)式.引導(dǎo)他們?cè)趯で蠼獯鸬倪^(guò)程中養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣，懂得借助多媒體擴(kuò)充知識(shí)面、尋找參考資料.

實(shí)踐表明，經(jīng)過(guò)上述教學(xué)過(guò)程，學(xué)生在不同程度上能做到微元法思想的拓展與創(chuàng)新，并能鍛煉和提高數(shù)學(xué)建模的能力.

[1]鄧東皋，尹小玲.數(shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2]歐陽(yáng)光中，姚允龍.數(shù)學(xué)分析[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1993.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

(責(zé)任編輯 張建軍)

2014-08-26

陳平，女，湖北荊州人，江蘇第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院講師，博士.

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