作者簡介:閔文佳(1991.7-),男,苗族,籍貫:貴州省錦屏縣,學(xué)歷:本科,單位:凱里學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,研究方向:數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。
摘要:數(shù)學(xué)的思想方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的一個重要的環(huán)節(jié),嚴密敏捷的思維邏輯以及數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)對學(xué)生有著巨大的幫助。而分類思想則是數(shù)學(xué)當中重要的解題思想,能夠幫助學(xué)生進行有效的歸納與總結(jié),將所學(xué)的知識條理化,提升學(xué)生思維的概括性。本文通過對分類思想的意義的分析,結(jié)合分類思想的原則,最后探討了分類思想在教學(xué)當中滲透與運用的方法。
關(guān)鍵詞:分類思想;數(shù)學(xué);運用
數(shù)學(xué)思想與方法貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程,而分類思想則是其中一個重要的思想,利用分類討論的方法,可以化繁為簡,能夠有效促進學(xué)生的探究能力與數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)思想的滲透是一個長期的過程,要讓學(xué)生良好的掌握需要在教學(xué)當中不斷引導(dǎo)與滲透,本文則具體針對分類思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進行探討。
一、分類思想運用的重要性
數(shù)學(xué)的思想方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的一個重要的環(huán)節(jié),嚴密敏捷的思維邏輯以及數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)對學(xué)生有著巨大的幫助。而分類思想就是指按照一定的標準、根據(jù)對象的本質(zhì)屬性,將其分成幾種不同的類型,并進行逐一的分析與綜合而得出結(jié)論。分類思想在數(shù)學(xué)當中應(yīng)用非常廣泛,是四大基本思想之一,
分類思想是重要的解題思想,同時也是重要的解題對策,其能夠幫助學(xué)生進行有效的歸納與總結(jié),將所學(xué)的知識條理化,提升學(xué)生思維的概括性。分類思想不同于一般知識,不是幾節(jié)課就能夠讓學(xué)生掌握,而是根據(jù)學(xué)生的特征,在學(xué)習(xí)的各個階段不斷滲透與豐富,在解數(shù)學(xué)題的過程當中,由于被研究對象的屬性的不同,導(dǎo)致研究問題的結(jié)果受到影響,因此需要對不同的對象進行分類的研究,利用分類討論的方法,往往能夠化繁為簡,增加條件,使問題更易于解決。
二、分類思想的原則
分類的思想根據(jù)本質(zhì)屬性異同點與相同點進行分類,分類的原則需要遵循標準的統(tǒng)一、分類對象的確定。在不重復(fù)與不遺漏的情況下,對研究學(xué)習(xí)過程中所遇到的問題進行有主次的劃分。分類思想貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)當中。具體來講,數(shù)學(xué)教學(xué)當中分類的應(yīng)用可以總結(jié)為以下幾種方式:涉及到數(shù)學(xué)概念是分類定義;運用數(shù)學(xué)上的定理、公式以及運算法則、運算性質(zhì),則分類給出;數(shù)學(xué)中的參數(shù)變量值由不同的取值得到不同的結(jié)果,利用分類能夠簡化問題;求解的數(shù)學(xué)問題具有多種可能與多種情況。分類的原則主要為以下幾點。
統(tǒng)一性原則,分類需要按照統(tǒng)一的標準進行,不能適用幾個不同的標準與根據(jù);互斥性原則,分類的每一個子項應(yīng)當做到互相排斥,也就是互斥性,各個子項分類之后不能讓一些事物屬于一個以上的子項;相稱性原則,分類需要相稱,劃分后的子項的并集需要同母項相同;層次性原則,分類可以具體劃分為一次分類與多次分類,一次分類將研究的對象分為一次,而多次分類則是將一次分類的子項作為母項繼續(xù)分類,直到達到要求為止,由于一些研究對象較為復(fù)雜,因而利用二次分類方法能夠更為細致的劃分。
三、分類思想在教學(xué)中的滲透
在教學(xué)當中,需要注重向?qū)W生灌輸分類思想的應(yīng)用,讓學(xué)生了解到分類思想的本質(zhì),提升運用的能力。應(yīng)當從以下幾個方面進行教學(xué),促進學(xué)生能夠?qū)Ψ诸愃枷脒M行主動運用,提升綜合素質(zhì)與能力。
1. 滲透分類的思想
學(xué)生在日常的生活與學(xué)習(xí)當中都會接觸到分類的知識與思想,例如人群的分類、學(xué)科的分類等,在教學(xué)當中需要對學(xué)生進行積極的引導(dǎo),將分類理論知識遷移到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當中。例如學(xué)習(xí)有理數(shù)的概念,可以讓學(xué)生對有理數(shù)進行分類,掌握有理數(shù)的不同分類方法,按分母不同,有理數(shù)能夠分為分數(shù)與整數(shù);按性質(zhì)符號可以分為正數(shù)、0以及負數(shù)。再如講解絕對值時,可以分類為 ,若 a>O,則lal=a,若 a<0 ,則lal= -a,若 a=0 ,則lal=0。讓學(xué)生初步掌握分類的方法。
2. 學(xué)習(xí)分類方法
所謂分類就是要將對象按照適當?shù)臉藴蔬M行劃分,對每一類問題逐一解答。數(shù)學(xué)分類方法多種多樣,教師需要針對性的進行教學(xué),常用的分類方法主要有利用數(shù)學(xué)概念的分類、數(shù)學(xué)法則的分類以及性質(zhì)或者特殊規(guī)定的分類、根據(jù)圖形的特征進行分類、按照幾何圖形的點與線的位置進行分類等,在教學(xué)中通過不同的例子讓學(xué)生逐一掌握,認識到分類思想對于解題的重要性。例如證明圓周角定理,圓心的位置處在角的內(nèi)部、外部以及邊上三種不同的情況,因此可以分為三種不同的情況進行證明,先證明最容易解決的:圓心的位置在圓周角的一條邊上“,然后利用此證明來解決圓心在圓周角的外部與內(nèi)部的另外兩種情況。
再如下例:
題目:設(shè)0
[分析] 比較對數(shù)大小,運用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,而單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān),所以對底數(shù)a分兩類情況進行討論。
[解] ∵ 0
① 當00,log (1+x)<0,所以
|log (1-x)|-|log (1+x)|=log (1-x)-[-log (1+x)]=log (1-x )>0;
② 當a>1時,log (1-x)<0,log (1+x)>0,所以
|log (1-x)|-|log (1+x)|=-log (1-x) -log (1+x)=-log (1-x )>0;
由①、②可知,|log (1-x)|>|log (1+x)|
由以上例子可以看出,利用分類進行討論體現(xiàn)出了化整為零以及歸類整理的方法,進行數(shù)學(xué)問題的解答時,更具邏輯性與概括性。
3. 引導(dǎo)分類討論
中學(xué)課本當中有許多定理、公式、法則等,都需要進行分類討論,因而在教學(xué)當中應(yīng)當注重對學(xué)生的引導(dǎo),強化學(xué)生的分類討論意識,一些知識點不進行分類討論,則非常容易出現(xiàn)錯誤。并且分類方法通過概括與總結(jié),能夠讓學(xué)生總結(jié)出規(guī)律性的東西,提升學(xué)生思維的縝密性與條理性,從而提高解題的能力。
例如以下例子:函數(shù)y=x6-x5+x4-x3+x2-x+l,求證:Y的值恒為正數(shù)。分析可發(fā)現(xiàn)如果將y進行分解因式索然能夠得出結(jié)論,但較為復(fù)雜,因而可以利用分類思想將變量x進行分類討論,問題就會容易許多:
證明:(1)當x<0時∴x5-x3-x>0,y>1恒成立;
(2)當0 ∵ x4>x5, x2>x3,1>x∴y>0成立; (3)當x=1時,y=1>0成立; (4)當x>1時 y= (x6-x5)+(x4-x3)+(x2-x) +1 ∵x6>x5, x4>x3,x2>x∴ y>1成立 綜上可知,y>0成立。 由以上的例子不難看出,分類思想的應(yīng)用往往能夠使復(fù)雜的問題變得更為簡單,利用分類思想解題思路變得更為清晰。 四、結(jié)束語 數(shù)學(xué)思想與方法是解決數(shù)學(xué)問題的最基本的策略,是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)所在,數(shù)學(xué)思想方法能夠充分引導(dǎo)學(xué)生掌握與領(lǐng)域,提升思維的水平??偠灾诮虒W(xué)的過程當中,應(yīng)當利用現(xiàn)有的教材,對學(xué)生進行積極的引導(dǎo),幫助學(xué)生掌握分類思想的方法,并將其同其他的數(shù)學(xué)方法充分的結(jié)合,鍛煉啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,從而提升學(xué)生的綜合素質(zhì)與能力。 參考文獻: [1]董志明.分類思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J].考試周刊,2013,07. [2]沈國平.分類討論思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].語數(shù)外學(xué)習(xí),2013,05. [3]徐利治.數(shù)學(xué)實驗的學(xué)習(xí)環(huán)境和教學(xué)方法[J].河北教育,2010,01.