【摘要】數(shù)學(xué)知識認(rèn)知結(jié)構(gòu)、啟發(fā)方法、元認(rèn)知能力和信念系統(tǒng)是影響問題求解過程的主要因素，這些因素之間以多種方式進(jìn)行交互；其中，數(shù)學(xué)知識認(rèn)知結(jié)構(gòu)、啟發(fā)方法是解題的基礎(chǔ)，元認(rèn)知能力是關(guān)鍵，同時信念系統(tǒng)通過影響認(rèn)知行為促進(jìn)或阻礙問題解決。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)問題求解過程數(shù)學(xué)知識認(rèn)知結(jié)構(gòu)啟發(fā)方法元認(rèn)知能力信念系統(tǒng)

【中圖分類號】 G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）05C-0137-03

一、問題背景

有關(guān)數(shù)學(xué)問題解決國內(nèi)外已有了大量的研究。最初對數(shù)學(xué)問題解決的研究主要集中在數(shù)學(xué)問題解決過程及模式的建構(gòu)和應(yīng)用方面，近年來越來越多的學(xué)者關(guān)注數(shù)學(xué)問題解決內(nèi)在機(jī)制的研究以及成功解題因素的識別。通過這些研究，人們越來越多地認(rèn)識到數(shù)學(xué)問題解決過程是一個復(fù)雜的系統(tǒng)工程，然而，目前仍然缺乏系統(tǒng)的研究，一些觀點的理論與實踐脫節(jié)或者偏頗。

為了對影響問題求解因素有更全面的掌握，筆者結(jié)合自身的解題經(jīng)驗和對學(xué)生解題案例的大量觀察分析，對問題解決過程做了進(jìn)一步的探究，從中挖掘出影響問題求解的主要因素并且探討了這些因素如何影響問題求解過程。我們期望該研究能夠?qū)?shù)學(xué)問題解決的教學(xué)有所思考和幫助。

二、數(shù)學(xué)問題求解過程

（一）問題和問題求解

1988年第六屆國際數(shù)學(xué)教育大會的一份報告指出：“一個數(shù)學(xué)問題是一個對人具有智力挑戰(zhàn)特征的、沒有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法的未解決的情境。”這類題目可以稱之為“問題”。而“問題求解”則是指：綜合地、創(chuàng)造性地運用各種數(shù)學(xué)知識去解決那種并非單純練習(xí)題式的問題，包括實際問題和源于數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題。

（二）數(shù)學(xué)問題求解的階段

數(shù)學(xué)教育家Polya在他的著作《怎樣解題》中給出求解問題的四個階段:理解問題，擬定計劃，實施計劃，檢查回顧。他描述了解決問題的過程是一個線性的從一個階段到下一個階段的發(fā)展過程，在解決問題時，第一，我們必須弄清楚是什么問題，什么是必需的條件，我們必須了解各種條件的關(guān)系以及未知數(shù)據(jù)是如何與已知條件相關(guān)的。第二，制定一個計劃以獲得解決問題的方案。第三，執(zhí)行原先擬定的計劃。第四，檢查回顧完成的解題過程并討論它。

（三）數(shù)學(xué)問題求解過程的分析

根據(jù)Polya的解題四個階段，下面我們來分析數(shù)學(xué)解題過程。

1.理解問題階段，解題者在理解問題情境時通常伴隨著強(qiáng)烈的認(rèn)知參與。首先是問題的信息經(jīng)過解題者感知后進(jìn)入短時記憶（信息加工過程中的“工作區(qū)”），其中的部分信息經(jīng)過復(fù)述和編碼，儲存到長時記憶中完成信息輸入。接著是回憶與問題有關(guān)的概念、數(shù)學(xué)事實、關(guān)鍵詞、畫出草圖和列表，進(jìn)一步弄清問題的條件、結(jié)論及其差異，進(jìn)而抽取出問題的邏輯結(jié)構(gòu)以理解問題。同時回憶與問題相關(guān)的數(shù)學(xué)問題圖式，經(jīng)比較、匹配，識別出數(shù)學(xué)問題類型。對于一些陌生問題，解題者還需要深化整合、靈活遷移已有的數(shù)學(xué)問題圖式或者建立新的問題圖式，雖然不同成功解題者完成這個階段花費的時間不同，但是為了試圖理解問題他們都必須合理地構(gòu)造問題的表征或圖式。這時解題者已有的數(shù)學(xué)知識、解題經(jīng)驗、思想方法、解題策略等是他們表征問題情景的基礎(chǔ)。

在這個階段，解題者還顯示出信心、好奇心，他們心里會自我提問：我該如何表示這個問題?這是什么意思?問題看起來像什么？這些都明顯有助于他們使用畫圖、表格等去邏輯地構(gòu)建問題情境，并自發(fā)地訪問和提取相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識、事實和算法。

2.擬定計劃階段是指回憶是否有該問題的相近或相似解決方法。如果有，則通過借用該解決方法而提出解題思路；如果沒有，則在數(shù)學(xué)認(rèn)知策略、思想方法的指導(dǎo)下通過變換題目條件和結(jié)論等方式構(gòu)思出問題的解題方案。在這個階段同時還要運用有關(guān)知識與推理規(guī)則想象各種解題思路并假設(shè)一個可行的解決方案。一般情況下，如果這個解決方案被視為潛在的成功方法，解題者就移到下一個實施計劃階段，否則再次進(jìn)行理解問題、擬定計劃階段，直到一個可行的解決方案被確定。

在該階段，解題者必須訪問和提取數(shù)學(xué)知識和啟發(fā)方法，以便假設(shè)、想象并評估他們的推測。盡管他們有時顯示出負(fù)面的挫折、焦慮等情緒反應(yīng)，但是他們堅定的信心和有效的應(yīng)對機(jī)制使其能夠集中注意力。同時解題者會通過諸如“如果我這樣試試將會發(fā)生什么?”“這是否可推導(dǎo)出我要的結(jié)論？”“這個方法是否高效？”等提問來持續(xù)監(jiān)控他們的策略和計劃。

3.實施計劃階段是解題者運用數(shù)學(xué)問題解決的表述規(guī)則，構(gòu)建與表述問題解決的步驟與程序，即應(yīng)用數(shù)學(xué)語言與推理法則將先前的問題解決思路進(jìn)行規(guī)范的書寫。在這個階段，解題者的一些行為包括:回憶和提取數(shù)學(xué)知識、寫出邏輯上連接的數(shù)學(xué)語句、計算及推導(dǎo)等。

掌握廣泛和熟練的啟發(fā)方法、算法、推導(dǎo)程序是其高效解題推理的保證。而對解題方案的持續(xù)監(jiān)控使解題工作在正確的方向前進(jìn)，解題者良好的認(rèn)知領(lǐng)域的知識使監(jiān)控更有成效。

另外，解題者強(qiáng)大的情感反應(yīng)（如：喜悅、快樂、沮喪和焦慮）促進(jìn)或阻礙問題解決。他們使用各種各樣的防御和應(yīng)對機(jī)制來有效管理這些情感反應(yīng)以幫助自己堅持朝著正確方向解決問題。

4.檢查回顧階段是對問題的求解過程及結(jié)果的回顧與反思。包括考察解答是否正確，過程是否簡潔，是否還有其他解法，解題方法是否最優(yōu)，解決過程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是什么，以及運用了哪些知識經(jīng)驗與方法，能否作一些拓展等。

解題者這時需要考慮是否接受結(jié)果，若接受結(jié)果則結(jié)束解題，若拒絕結(jié)果，則轉(zhuǎn)到下一次的“理解問題—擬定計劃—執(zhí)行計劃—檢查回顧”循環(huán)遞進(jìn)過程。值得注意的是，優(yōu)秀的解題者很少以線性的方式解決一個問題，他們通常在嘗試解一個問題時一般要進(jìn)行“理解問題—擬定計劃—執(zhí)行計劃—檢查回顧”的多次循環(huán)。有時這個循環(huán)周期緩慢、繁瑣甚至出現(xiàn)反復(fù)，有時則跳躍前進(jìn)或瞬間帶過。

檢查階段再次涉及解題者利用他們的數(shù)學(xué)知識和過程性知識來驗證計算和結(jié)果的合理性和正確性。在這個階段強(qiáng)烈的負(fù)面情緒反應(yīng)有時會導(dǎo)致他們將問題放在一邊。

由上可見，數(shù)學(xué)問題解決過程是一個具有多因素影響、非線性遞歸、循環(huán)可逆、自我監(jiān)控和主動知識建構(gòu)等特征的過程。

三、影響數(shù)學(xué)問題解決的因素探析

借助以上數(shù)學(xué)問題解決過程的分析，我們認(rèn)為：數(shù)學(xué)知識認(rèn)知結(jié)構(gòu)、啟發(fā)方法、元認(rèn)知能力和信念系統(tǒng)是影響問題解決的主要因素。

（一）數(shù)學(xué)知識認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識認(rèn)知結(jié)構(gòu)是儲存在個人長時記憶系統(tǒng)內(nèi)的數(shù)學(xué)知識及其聯(lián)系。如概念、公式、規(guī)則、數(shù)學(xué)思想方法和原理及其相互關(guān)系。長時記憶是為進(jìn)行信息加工提供背景知識的倉庫，長時記憶中的知識只有經(jīng)過根據(jù)加工結(jié)果得到的線索進(jìn)行檢索，一部分知識被激活才能調(diào)入短時記憶進(jìn)而對解題發(fā)揮作用。

任何解題都是以一定的數(shù)學(xué)知識，包括有關(guān)內(nèi)容的事實、定義、算法程序、例行程序，及處理過程規(guī)則、作圖和畫圖知識等作為必要條件的。在實際解題時，解決者對知識的高效利用依賴于多個因素的控制，即使個人擁有解決某個特定的問題的知識，如果這些知識沒有形成有機(jī)的聯(lián)系和合理的組合，解題者也常常沒有想到或者不知道何時，如何以及是否使用這些知識。良好的問題解決者擁有更多的聯(lián)系廣泛的知識和豐富的圖式。所以解題更為重要的還在于知識的合理組織，使解題者能夠根據(jù)題目的特征，在自己的記憶庫中適時提取所需的知識。數(shù)學(xué)知識的合理組織，實質(zhì)上就是按照個體的需要，改造和組建適合問題解決的數(shù)學(xué)知識認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

良好的數(shù)學(xué)知識認(rèn)知結(jié)構(gòu)對數(shù)學(xué)問題解決過程具有決定性影響，尤其在問題解決的關(guān)鍵時刻，能夠使用有用的數(shù)學(xué)知識是高度依賴于個人的豐富的數(shù)學(xué)知識認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（二）啟發(fā)方法

就思維活動而言解題過程是一個思維定向、展開、控制的過程。這里有分析、綜合、比較、分類、抽象、概括等邏輯思維活動，更需要歸納、類比、聯(lián)想、想象、直覺、猜想等創(chuàng)造性思維活動。面對變化萬千的心智活動，要想找到一個可以機(jī)械地用來解決一切問題的“萬能公式”顯然是不可能的。只能通過大量的解題親身實踐，總結(jié)經(jīng)驗以發(fā)現(xiàn)啟發(fā)方法，開啟和指導(dǎo)解題活動。

解題規(guī)律、解題策略應(yīng)是主要的啟發(fā)方法。

解題規(guī)律可以看成是伴隨數(shù)學(xué)解題過程產(chǎn)生的體驗性知識，是一種內(nèi)隱的、動態(tài)的知識，如對解題的本質(zhì)、方法和認(rèn)知策略的認(rèn)識與感受。數(shù)學(xué)題的解法各不相同，但就解題思路而論是有一定規(guī)律可循的，如求解方程規(guī)律、解答函數(shù)極值規(guī)律、添加輔助線規(guī)律、圖形變換規(guī)律等，這些都能夠有效啟發(fā)解題思路。

解題策略是指解題者解題時宏觀上采取的解題方法、原則和方案。解題中經(jīng)常采用的解題策略有：逆向推導(dǎo)、特殊化、數(shù)形轉(zhuǎn)換、將條件和結(jié)論組合或分解、將問題簡單化、觀察對稱性和尋找反面例子等。熟悉解題策略有利于全方位、多角度思考問題，在總體上把握解題的方向。

此外，良好的數(shù)學(xué)問題求解者在解決問題時還表現(xiàn)出靈活性和傾向于使用強(qiáng)大的內(nèi)容相關(guān)進(jìn)程處理方法而不僅僅是一般啟發(fā)式方法，他們善于根據(jù)解題進(jìn)程新出現(xiàn)的情況及時改變或者調(diào)整解題的策略。

（三）元認(rèn)知能力

元認(rèn)知可以看成主體對認(rèn)知領(lǐng)域的知識、體驗和控制行為，解題中的元認(rèn)知行為包括對解題效率和認(rèn)知活動的有效性的認(rèn)識、對解題活動的積極實踐體驗以及隨后的自律行為。

解題過程經(jīng)常伴隨的元認(rèn)知行為是指對所進(jìn)行的解題活動，包括解題模式的識別、解題策略的選擇、解題途徑的探索、解題方案的構(gòu)思、解題效率的認(rèn)識和解題情景的評價等解題實踐活動的自我意識、自我評價和自我調(diào)整。

自我意識是以自身為意識對象的意識。是解題者對正在采取的解題步驟的主觀反映，只有對解題活動的信息輸入、加工、輸出有清醒的自我意識，才能克服思維活動的盲目性，增強(qiáng)主動性和自覺性。自我評價是在自我意識的基礎(chǔ)上主動分析、評價自己所進(jìn)行的解題工作。 針對解題目標(biāo)，找出解題過程的薄弱環(huán)節(jié)或存在問題，以便及時采取相應(yīng)的對策，把握正確的解題方向，將思維活動調(diào)節(jié)到最佳狀態(tài)。自我調(diào)整又是在自我評價后采取的對策行為。根據(jù)自我評價反饋的信息，針對解題中的不足之處在新的起點上調(diào)整自己的解題策略，修正原有的解題途徑，使解題活動回到正確的軌道上來。

自我意識、自我評價和自我調(diào)整等元認(rèn)知行為常表現(xiàn)為疑問（如：這種方法會使我推到哪里?這是什么意思?）、停頓（如：新出現(xiàn)的結(jié)果是否符合解題者的現(xiàn)有的知識和理解）和反復(fù)（解題者反復(fù)在一個解題環(huán)節(jié)推敲以確定方法的正確性）。這些具體的元認(rèn)知行為貫穿整個解題過程，調(diào)控著認(rèn)知活動從一個階段發(fā)展到下一個階段并影響著解題者的解題決策，并且自我意識、自我評價和自我調(diào)整等元認(rèn)知行為都是動態(tài)的活動，只有通過元認(rèn)知體驗才能將靜態(tài)的元認(rèn)知知識與動態(tài)的調(diào)節(jié)過程銜接起來。如果沒有關(guān)于當(dāng)前認(rèn)知活動的體驗，元認(rèn)知與認(rèn)知活動之間就處于脫節(jié)狀態(tài)而無法連接。

此外自我調(diào)節(jié)也包括控制解題過程的情緒控制機(jī)制以及開展內(nèi)心對話等行為。解題者如果缺乏良好的情緒控制機(jī)制，如隨機(jī)聯(lián)想、缺乏堅持努力、沒有仔細(xì)考慮問題含義等，就容易導(dǎo)致利用錯誤的概念和進(jìn)行錯誤的推理。

（四）信念系統(tǒng)

所謂解題的信念系統(tǒng)，泛指解題的非智力因素，即解題者學(xué)習(xí)積極性方面的因素，如情感、態(tài)度以及數(shù)學(xué)觀等方面的個性品質(zhì)。解題中經(jīng)常表現(xiàn)出來的這些行為有：高興、驕傲、興奮、欣賞、自信、堅持以及憤怒、焦慮、沮喪、急躁等。

事實上純粹的認(rèn)知行為是罕見的，對于大多數(shù)解題者，他們處理問題的表現(xiàn)是受他們所處的環(huán)境及看待事物的觀點影響的。其中情感因素如態(tài)度和情緒對解題者的行為有一個強(qiáng)大的影響。隨著情感在解決問題過程中頻繁變化，正面的感情如欣賞、自信、堅持、滿意和自豪感，負(fù)面情緒如焦慮、失敗、悲傷和沮喪，都是常見的。正面情感通常導(dǎo)致動力和興趣并促進(jìn)解題者的認(rèn)知水平發(fā)揮，而負(fù)面情緒通常成為一種阻礙力量而導(dǎo)致不成功的問題求解。

雖然情感更明顯比信仰在問題解決中扮演了更重要的角色，但數(shù)學(xué)觀等信仰也扮演了不可或缺的角色。良好的數(shù)學(xué)觀包括：數(shù)學(xué)是美好的、做數(shù)學(xué)需要執(zhí)著追求解決方案、問題解決過程可能需要許多錯誤的嘗試、問題涉及的數(shù)學(xué)推理都是令人愉快的、數(shù)學(xué)思想應(yīng)該被理解而不是僅僅記住、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要根據(jù)自己的理解整理信息、證明是問題解決過程的一部分等。這些觀點都能夠有效促進(jìn)數(shù)學(xué)問題解決。

四、結(jié)論

我們通過分析數(shù)學(xué)問題解決過程，揭示了數(shù)學(xué)問題解決過程的“理解問題—擬定計劃—執(zhí)行計劃—檢查回顧”四個階段的非線性循環(huán)可逆遞進(jìn)過程，并且剖析了數(shù)學(xué)知識認(rèn)知結(jié)構(gòu)、啟發(fā)方法、元認(rèn)知能力和信念系統(tǒng)等因素如何交互出現(xiàn)影響著解題的過程，決定著解題各階段的開啟、循環(huán)、反復(fù)和終止，決定著對有關(guān)知識、方法、規(guī)則的選擇與使用。

研究表明，學(xué)習(xí)成為一個優(yōu)秀的問題求解者需要聯(lián)系良好的數(shù)學(xué)知識、豐富問題推理的模式、熟練的解題策略、在解決問題過程有效的管理資源和情感反應(yīng)，以及大量的實踐和經(jīng)驗。

所以，在平時的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，我們應(yīng)該防止機(jī)械訓(xùn)練，并針對不同個體解題過程出現(xiàn)的問題和薄弱環(huán)節(jié)采取相應(yīng)的對策，改正錯誤或不良的數(shù)學(xué)解題方式方法以提高解題能力，并最終借助數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想，教會學(xué)生數(shù)學(xué)地思考問題，使解題成為培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)和提高學(xué)生創(chuàng)新能力的有效途徑。

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【基金項目】廣西高等學(xué)校特色專業(yè)及課程一體化建設(shè)項目（GXTSZY253）

【作者簡介】羅奇（1964-），男，桂林師范高等專科學(xué)校副教授，研究方向：數(shù)學(xué)教育，初等數(shù)學(xué)。

（責(zé)編丁夢）