余海長(zhǎng)

數(shù)列，既是高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容，又是高等數(shù)學(xué)的重要基石，各個(gè)省、市的高考都把它作為最重要的考查內(nèi)容。從近幾年的高考試題看，有關(guān)數(shù)列的試題在每年的高考試題中一般是一大一小，所占比例較大，這是因?yàn)閿?shù)列知識(shí)是考查學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸、分類(lèi)討論、推理論證及探索問(wèn)題能力的重要題源，容易命制背景新穎的試題，較好地體現(xiàn)高考的選拔功能。很多考生在備考時(shí)，總覺(jué)得數(shù)列試題很難、好亂，不知道如何復(fù)習(xí)和總結(jié)。其實(shí)，總結(jié)近幾年的高考考點(diǎn)可知，數(shù)列試題基本可分為以下三大類(lèi)。

第一大類(lèi)只考查數(shù)列本身的知識(shí)，此類(lèi)題目又可分為四個(gè)類(lèi)型

A型：考查考生對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式以及其它求和方法的掌握情況，題目容易，基本不用拐彎，大部分考生都可輕松完成。此類(lèi)題目屬于容易題，也是高考出現(xiàn)頻率最高的題。備考時(shí)，一定要加強(qiáng)對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念的理解，對(duì)通項(xiàng)公式、求和公式充分掌握；對(duì)分組求和法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法 、倒序相加法、并項(xiàng)求和法等求和要熟練掌握；對(duì)教材中推導(dǎo)通項(xiàng)公式的累加法、累乘法要做到靈活運(yùn)用。

B型：考查公式：an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2）

例1.（2013年高考廣東卷（文））設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足4Sn=[an+1][2]-4n-1，n∈N?且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列.

（1）證明：a2=；

（2）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有++…+<.

【解析】（略）

點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)題目所給的條件是和“Sn”與通項(xiàng)“an”混合的式子，屬于中檔題。解題的關(guān)鍵在于對(duì)變量的統(tǒng)一，即根據(jù)關(guān)系式an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2），把“和”化為“通項(xiàng)”或把“通項(xiàng)”化為“和”，一般若是求an，就先消去Sn；若是求Sn，就先消去an，然后對(duì)已知等式作等價(jià)變形，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列或其它特殊數(shù)列來(lái)求解，就可以完成題目的解答。當(dāng)然有時(shí)也采用以退為進(jìn)的辦法，求的是an，卻偏偏先消去an，先求Sn后再求an，因此構(gòu)造新數(shù)列時(shí)要抓住題目的信息，不能亂變形，同時(shí)，此類(lèi)問(wèn)題易錯(cuò)的地方是許多考生沒(méi)有對(duì)n進(jìn)行分類(lèi)討論，導(dǎo)致丟失了n=1的情況。廣東高考文科數(shù)學(xué)2012年、2013 年已連續(xù)兩年出現(xiàn)了這類(lèi)題。

C型：雙數(shù)列題

例2.（2012高考浙江文19） 已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2n2+n，n∈N?，數(shù)列｛bn｝滿(mǎn)足an=4log2bn+3，n∈N﹡.

（1）求an，bn；（節(jié)選）

【解析】：由Sn=2n2+n，n∈N?，得：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3；

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n2+n-［2（n-1）2+（n-1）］=4n-1，n∈N﹡.

由an=4log2bn+3，得bn=2n-1

例3.（2012高考江蘇20）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列｛an｝和｛bn｝滿(mǎn)足：an+1=，n∈N?，

（1）設(shè)bn+1=1+，n∈N?，求證：數(shù)列｛（）2｝是等差數(shù)列；（節(jié)選）

【解析】（略）

點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)題目難易不定，高考出現(xiàn)的頻率較高。一般解題思路是先求出an（或bn）， 再利用已知就可以求出bn（或an），或者聯(lián)立解方程組，或者聯(lián)立變形。

D型：考查數(shù)列知識(shí)的綜合性題目。此類(lèi)題目難度較大，充分考查數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，特別是由數(shù)列的遞推關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式是近幾年高考的熱門(mén)考點(diǎn)之一，而對(duì)于一階分式型遞推式的通項(xiàng)公式的求法，更是作為一大難點(diǎn)常在高考中出現(xiàn)。

例4.（2011年高考廣東卷理科20）設(shè)b>0，數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a1=b，an=（n≥2），

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（節(jié)選）

【解析】：（1）由a1=b>0，知an=>0，=+.

令A(yù)n=，A1=，

當(dāng)n≥2時(shí)，An=+An-1

=++…++A1

=++…++.

①當(dāng)b≠2時(shí)，An==，②當(dāng)b=2時(shí)，An=.

an=

，b≠2

2，b=2

點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)題目屬于難題。全面考查考生的數(shù)列基本功，特別是已知遞推關(guān)系，求通項(xiàng)公式的能力。備考時(shí)，對(duì)形如an=kan-1+b、an=kan-1+bn（k，b為常數(shù)）、an=、an+2=pan+1+qan的遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式要熟練掌握。一般來(lái)說(shuō)，只要求出了通項(xiàng)公式，其它問(wèn)題也就迎刃而解了。

第二大類(lèi)數(shù)列知識(shí)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯性試題

將數(shù)列與函數(shù)、不等式、三角、導(dǎo)數(shù)等綜合在一起的題目，在近幾年各地高考試題中都有出現(xiàn)。

例5.（2009廣東文20）已知點(diǎn)（1，）是函數(shù)f（x）=ax（a>0，且a≠1）的圖像上一點(diǎn)。等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為f（n）-c，數(shù)列｛bn｝（bn>0）的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn-Sn-1=+（n≥2）。

（1）求數(shù)列｛an｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式；（節(jié)選）

【解析】（略）

例6.（2013年高考廣東數(shù)學(xué)（理））設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N?.

（1）求a2的值；

（2）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有++…+<.

【解析】（略）

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列與函數(shù)、不等式、三角、導(dǎo)數(shù)等的綜合題目，只要輕輕摘去函數(shù)、不等式、三角、導(dǎo)數(shù)這層“面紗”，立即露出數(shù)列的“廬山真面目”，也就是求通項(xiàng)公式和求和問(wèn)題。

第三大類(lèi) 數(shù)列應(yīng)用題

例7.（2011年高考陜西卷理科14）植樹(shù)節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹(shù)，每人植一棵，相鄰兩棵樹(shù)相距10米，開(kāi)始時(shí)需將樹(shù)苗集中放置在某一樹(shù)坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹(shù)坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和最小，這個(gè)最小值為 （米）。

【解析】：設(shè)樹(shù)苗集中放置在第i號(hào)坑旁邊，則20名同學(xué)往返所走的路程總和為

l=2［（i-1）+（i-2）+…+2+1+1+

2+…+（19-i）+（20-i）］×10

=（i2-21i+210）×20=［（i-）2+］×20即i=10或11時(shí)lmin=2000

例8.（2012高考湖南文20）某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)，該企業(yè)第一年年初有資金2000萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%，預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同。公司要求企業(yè)從第一年開(kāi)始，每年年底上繳資金d萬(wàn)元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)。設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬(wàn)元。

（Ⅰ）用d表示a1，a2，并寫(xiě)出an+1與an的關(guān)系式；

（Ⅱ）若公司希望經(jīng)過(guò)m（m≥3）年使企業(yè)的剩余資金為4000萬(wàn)元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值（用m表示）.

【解析】（Ⅰ）由題意得a1=2000（1+50%）-d=3000-d，

a2=a1（1+50%）-d=a1-d，所以an+1=an（1+50%）-d=an-d.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=an-1-d=（）2an-2-d-d=（an-2-d）-d

=…=（）n-1a1-d［1++（）2+

…+（）n-2］.

整理得an=（）n-1（3000-d）-2d［（）n-1-1］=（）n-1（3000-3d）+2d.

由題意，an=4000，∴（）n-1

（3000-3d）+2d=4000，

解得d==.

故該企業(yè)每年上繳資金d的值為繳時(shí)，經(jīng)過(guò)m（m≥3）年企業(yè)的剩余資金為4000萬(wàn)元。

點(diǎn)評(píng)：解等差、等比數(shù)列應(yīng)用題時(shí)，首先要認(rèn)真審題，深刻理解問(wèn)題的實(shí)際背景，理清蘊(yùn)含在語(yǔ)言中的數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)中的等差、等比數(shù)列問(wèn)題，然后利用等差、等比數(shù)列知識(shí)求解。此類(lèi)題目，體現(xiàn)了把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的能力，也就是所謂的數(shù)學(xué)建模能力。

總之，高考數(shù)列有難有易。易的是等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和方法，難的是轉(zhuǎn)化，要求考生具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)能力。備考時(shí)一定要因人而異，做到容易題不放過(guò)，難題盡力就可以了。

責(zé)任編輯 鄒韻文

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數(shù)列，既是高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容，又是高等數(shù)學(xué)的重要基石，各個(gè)省、市的高考都把它作為最重要的考查內(nèi)容。從近幾年的高考試題看，有關(guān)數(shù)列的試題在每年的高考試題中一般是一大一小，所占比例較大，這是因?yàn)閿?shù)列知識(shí)是考查學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸、分類(lèi)討論、推理論證及探索問(wèn)題能力的重要題源，容易命制背景新穎的試題，較好地體現(xiàn)高考的選拔功能。很多考生在備考時(shí)，總覺(jué)得數(shù)列試題很難、好亂，不知道如何復(fù)習(xí)和總結(jié)。其實(shí)，總結(jié)近幾年的高考考點(diǎn)可知，數(shù)列試題基本可分為以下三大類(lèi)。

第一大類(lèi)只考查數(shù)列本身的知識(shí)，此類(lèi)題目又可分為四個(gè)類(lèi)型

A型：考查考生對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式以及其它求和方法的掌握情況，題目容易，基本不用拐彎，大部分考生都可輕松完成。此類(lèi)題目屬于容易題，也是高考出現(xiàn)頻率最高的題。備考時(shí)，一定要加強(qiáng)對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念的理解，對(duì)通項(xiàng)公式、求和公式充分掌握；對(duì)分組求和法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法 、倒序相加法、并項(xiàng)求和法等求和要熟練掌握；對(duì)教材中推導(dǎo)通項(xiàng)公式的累加法、累乘法要做到靈活運(yùn)用。

B型：考查公式：an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2）

例1.（2013年高考廣東卷（文））設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足4Sn=[an+1][2]-4n-1，n∈N?且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列.

（1）證明：a2=；

（2）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有++…+<.

【解析】（略）

點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)題目所給的條件是和“Sn”與通項(xiàng)“an”混合的式子，屬于中檔題。解題的關(guān)鍵在于對(duì)變量的統(tǒng)一，即根據(jù)關(guān)系式an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2），把“和”化為“通項(xiàng)”或把“通項(xiàng)”化為“和”，一般若是求an，就先消去Sn；若是求Sn，就先消去an，然后對(duì)已知等式作等價(jià)變形，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列或其它特殊數(shù)列來(lái)求解，就可以完成題目的解答。當(dāng)然有時(shí)也采用以退為進(jìn)的辦法，求的是an，卻偏偏先消去an，先求Sn后再求an，因此構(gòu)造新數(shù)列時(shí)要抓住題目的信息，不能亂變形，同時(shí)，此類(lèi)問(wèn)題易錯(cuò)的地方是許多考生沒(méi)有對(duì)n進(jìn)行分類(lèi)討論，導(dǎo)致丟失了n=1的情況。廣東高考文科數(shù)學(xué)2012年、2013 年已連續(xù)兩年出現(xiàn)了這類(lèi)題。

C型：雙數(shù)列題

例2.（2012高考浙江文19） 已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2n2+n，n∈N?，數(shù)列｛bn｝滿(mǎn)足an=4log2bn+3，n∈N﹡.

（1）求an，bn；（節(jié)選）

【解析】：由Sn=2n2+n，n∈N?，得：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3；

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n2+n-［2（n-1）2+（n-1）］=4n-1，n∈N﹡.

由an=4log2bn+3，得bn=2n-1

例3.（2012高考江蘇20）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列｛an｝和｛bn｝滿(mǎn)足：an+1=，n∈N?，

（1）設(shè)bn+1=1+，n∈N?，求證：數(shù)列｛（）2｝是等差數(shù)列；（節(jié)選）

【解析】（略）

點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)題目難易不定，高考出現(xiàn)的頻率較高。一般解題思路是先求出an（或bn）， 再利用已知就可以求出bn（或an），或者聯(lián)立解方程組，或者聯(lián)立變形。

D型：考查數(shù)列知識(shí)的綜合性題目。此類(lèi)題目難度較大，充分考查數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，特別是由數(shù)列的遞推關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式是近幾年高考的熱門(mén)考點(diǎn)之一，而對(duì)于一階分式型遞推式的通項(xiàng)公式的求法，更是作為一大難點(diǎn)常在高考中出現(xiàn)。

例4.（2011年高考廣東卷理科20）設(shè)b>0，數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a1=b，an=（n≥2），

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（節(jié)選）

【解析】：（1）由a1=b>0，知an=>0，=+.

令A(yù)n=，A1=，

當(dāng)n≥2時(shí)，An=+An-1

=++…++A1

=++…++.

①當(dāng)b≠2時(shí)，An==，②當(dāng)b=2時(shí)，An=.

an=

，b≠2

2，b=2

點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)題目屬于難題。全面考查考生的數(shù)列基本功，特別是已知遞推關(guān)系，求通項(xiàng)公式的能力。備考時(shí)，對(duì)形如an=kan-1+b、an=kan-1+bn（k，b為常數(shù)）、an=、an+2=pan+1+qan的遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式要熟練掌握。一般來(lái)說(shuō)，只要求出了通項(xiàng)公式，其它問(wèn)題也就迎刃而解了。

第二大類(lèi)數(shù)列知識(shí)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯性試題

將數(shù)列與函數(shù)、不等式、三角、導(dǎo)數(shù)等綜合在一起的題目，在近幾年各地高考試題中都有出現(xiàn)。

例5.（2009廣東文20）已知點(diǎn)（1，）是函數(shù)f（x）=ax（a>0，且a≠1）的圖像上一點(diǎn)。等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為f（n）-c，數(shù)列｛bn｝（bn>0）的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn-Sn-1=+（n≥2）。

（1）求數(shù)列｛an｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式；（節(jié)選）

【解析】（略）

例6.（2013年高考廣東數(shù)學(xué)（理））設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N?.

（1）求a2的值；

（2）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有++…+<.

【解析】（略）

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列與函數(shù)、不等式、三角、導(dǎo)數(shù)等的綜合題目，只要輕輕摘去函數(shù)、不等式、三角、導(dǎo)數(shù)這層“面紗”，立即露出數(shù)列的“廬山真面目”，也就是求通項(xiàng)公式和求和問(wèn)題。

第三大類(lèi) 數(shù)列應(yīng)用題

例7.（2011年高考陜西卷理科14）植樹(shù)節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹(shù)，每人植一棵，相鄰兩棵樹(shù)相距10米，開(kāi)始時(shí)需將樹(shù)苗集中放置在某一樹(shù)坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹(shù)坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和最小，這個(gè)最小值為 （米）。

【解析】：設(shè)樹(shù)苗集中放置在第i號(hào)坑旁邊，則20名同學(xué)往返所走的路程總和為

l=2［（i-1）+（i-2）+…+2+1+1+

2+…+（19-i）+（20-i）］×10

=（i2-21i+210）×20=［（i-）2+］×20即i=10或11時(shí)lmin=2000

例8.（2012高考湖南文20）某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)，該企業(yè)第一年年初有資金2000萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%，預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同。公司要求企業(yè)從第一年開(kāi)始，每年年底上繳資金d萬(wàn)元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)。設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬(wàn)元。

（Ⅰ）用d表示a1，a2，并寫(xiě)出an+1與an的關(guān)系式；

（Ⅱ）若公司希望經(jīng)過(guò)m（m≥3）年使企業(yè)的剩余資金為4000萬(wàn)元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值（用m表示）.

【解析】（Ⅰ）由題意得a1=2000（1+50%）-d=3000-d，

a2=a1（1+50%）-d=a1-d，所以an+1=an（1+50%）-d=an-d.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=an-1-d=（）2an-2-d-d=（an-2-d）-d

=…=（）n-1a1-d［1++（）2+

…+（）n-2］.

整理得an=（）n-1（3000-d）-2d［（）n-1-1］=（）n-1（3000-3d）+2d.

由題意，an=4000，∴（）n-1

（3000-3d）+2d=4000，

解得d==.

故該企業(yè)每年上繳資金d的值為繳時(shí)，經(jīng)過(guò)m（m≥3）年企業(yè)的剩余資金為4000萬(wàn)元。

點(diǎn)評(píng)：解等差、等比數(shù)列應(yīng)用題時(shí)，首先要認(rèn)真審題，深刻理解問(wèn)題的實(shí)際背景，理清蘊(yùn)含在語(yǔ)言中的數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)中的等差、等比數(shù)列問(wèn)題，然后利用等差、等比數(shù)列知識(shí)求解。此類(lèi)題目，體現(xiàn)了把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的能力，也就是所謂的數(shù)學(xué)建模能力。

總之，高考數(shù)列有難有易。易的是等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和方法，難的是轉(zhuǎn)化，要求考生具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)能力。備考時(shí)一定要因人而異，做到容易題不放過(guò)，難題盡力就可以了。

責(zé)任編輯 鄒韻文

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數(shù)列，既是高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容，又是高等數(shù)學(xué)的重要基石，各個(gè)省、市的高考都把它作為最重要的考查內(nèi)容。從近幾年的高考試題看，有關(guān)數(shù)列的試題在每年的高考試題中一般是一大一小，所占比例較大，這是因?yàn)閿?shù)列知識(shí)是考查學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸、分類(lèi)討論、推理論證及探索問(wèn)題能力的重要題源，容易命制背景新穎的試題，較好地體現(xiàn)高考的選拔功能。很多考生在備考時(shí)，總覺(jué)得數(shù)列試題很難、好亂，不知道如何復(fù)習(xí)和總結(jié)。其實(shí)，總結(jié)近幾年的高考考點(diǎn)可知，數(shù)列試題基本可分為以下三大類(lèi)。

第一大類(lèi)只考查數(shù)列本身的知識(shí)，此類(lèi)題目又可分為四個(gè)類(lèi)型

A型：考查考生對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式以及其它求和方法的掌握情況，題目容易，基本不用拐彎，大部分考生都可輕松完成。此類(lèi)題目屬于容易題，也是高考出現(xiàn)頻率最高的題。備考時(shí)，一定要加強(qiáng)對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念的理解，對(duì)通項(xiàng)公式、求和公式充分掌握；對(duì)分組求和法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法 、倒序相加法、并項(xiàng)求和法等求和要熟練掌握；對(duì)教材中推導(dǎo)通項(xiàng)公式的累加法、累乘法要做到靈活運(yùn)用。

B型：考查公式：an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2）

例1.（2013年高考廣東卷（文））設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足4Sn=[an+1][2]-4n-1，n∈N?且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列.

（1）證明：a2=；

（2）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有++…+<.

【解析】（略）

點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)題目所給的條件是和“Sn”與通項(xiàng)“an”混合的式子，屬于中檔題。解題的關(guān)鍵在于對(duì)變量的統(tǒng)一，即根據(jù)關(guān)系式an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2），把“和”化為“通項(xiàng)”或把“通項(xiàng)”化為“和”，一般若是求an，就先消去Sn；若是求Sn，就先消去an，然后對(duì)已知等式作等價(jià)變形，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列或其它特殊數(shù)列來(lái)求解，就可以完成題目的解答。當(dāng)然有時(shí)也采用以退為進(jìn)的辦法，求的是an，卻偏偏先消去an，先求Sn后再求an，因此構(gòu)造新數(shù)列時(shí)要抓住題目的信息，不能亂變形，同時(shí)，此類(lèi)問(wèn)題易錯(cuò)的地方是許多考生沒(méi)有對(duì)n進(jìn)行分類(lèi)討論，導(dǎo)致丟失了n=1的情況。廣東高考文科數(shù)學(xué)2012年、2013 年已連續(xù)兩年出現(xiàn)了這類(lèi)題。

C型：雙數(shù)列題

例2.（2012高考浙江文19） 已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2n2+n，n∈N?，數(shù)列｛bn｝滿(mǎn)足an=4log2bn+3，n∈N﹡.

（1）求an，bn；（節(jié)選）

【解析】：由Sn=2n2+n，n∈N?，得：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3；

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n2+n-［2（n-1）2+（n-1）］=4n-1，n∈N﹡.

由an=4log2bn+3，得bn=2n-1

例3.（2012高考江蘇20）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列｛an｝和｛bn｝滿(mǎn)足：an+1=，n∈N?，

（1）設(shè)bn+1=1+，n∈N?，求證：數(shù)列｛（）2｝是等差數(shù)列；（節(jié)選）

【解析】（略）

點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)題目難易不定，高考出現(xiàn)的頻率較高。一般解題思路是先求出an（或bn）， 再利用已知就可以求出bn（或an），或者聯(lián)立解方程組，或者聯(lián)立變形。

D型：考查數(shù)列知識(shí)的綜合性題目。此類(lèi)題目難度較大，充分考查數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，特別是由數(shù)列的遞推關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式是近幾年高考的熱門(mén)考點(diǎn)之一，而對(duì)于一階分式型遞推式的通項(xiàng)公式的求法，更是作為一大難點(diǎn)常在高考中出現(xiàn)。

例4.（2011年高考廣東卷理科20）設(shè)b>0，數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a1=b，an=（n≥2），

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（節(jié)選）

【解析】：（1）由a1=b>0，知an=>0，=+.

令A(yù)n=，A1=，

當(dāng)n≥2時(shí)，An=+An-1

=++…++A1

=++…++.

①當(dāng)b≠2時(shí)，An==，②當(dāng)b=2時(shí)，An=.

an=

，b≠2

2，b=2

點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)題目屬于難題。全面考查考生的數(shù)列基本功，特別是已知遞推關(guān)系，求通項(xiàng)公式的能力。備考時(shí)，對(duì)形如an=kan-1+b、an=kan-1+bn（k，b為常數(shù)）、an=、an+2=pan+1+qan的遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式要熟練掌握。一般來(lái)說(shuō)，只要求出了通項(xiàng)公式，其它問(wèn)題也就迎刃而解了。

第二大類(lèi)數(shù)列知識(shí)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯性試題

將數(shù)列與函數(shù)、不等式、三角、導(dǎo)數(shù)等綜合在一起的題目，在近幾年各地高考試題中都有出現(xiàn)。

例5.（2009廣東文20）已知點(diǎn)（1，）是函數(shù)f（x）=ax（a>0，且a≠1）的圖像上一點(diǎn)。等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為f（n）-c，數(shù)列｛bn｝（bn>0）的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn-Sn-1=+（n≥2）。

（1）求數(shù)列｛an｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式；（節(jié)選）

【解析】（略）

例6.（2013年高考廣東數(shù)學(xué)（理））設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N?.

（1）求a2的值；

（2）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有++…+<.

【解析】（略）

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列與函數(shù)、不等式、三角、導(dǎo)數(shù)等的綜合題目，只要輕輕摘去函數(shù)、不等式、三角、導(dǎo)數(shù)這層“面紗”，立即露出數(shù)列的“廬山真面目”，也就是求通項(xiàng)公式和求和問(wèn)題。

第三大類(lèi) 數(shù)列應(yīng)用題

例7.（2011年高考陜西卷理科14）植樹(shù)節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹(shù)，每人植一棵，相鄰兩棵樹(shù)相距10米，開(kāi)始時(shí)需將樹(shù)苗集中放置在某一樹(shù)坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹(shù)坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和最小，這個(gè)最小值為 （米）。

【解析】：設(shè)樹(shù)苗集中放置在第i號(hào)坑旁邊，則20名同學(xué)往返所走的路程總和為

l=2［（i-1）+（i-2）+…+2+1+1+

2+…+（19-i）+（20-i）］×10

=（i2-21i+210）×20=［（i-）2+］×20即i=10或11時(shí)lmin=2000

例8.（2012高考湖南文20）某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)，該企業(yè)第一年年初有資金2000萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%，預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同。公司要求企業(yè)從第一年開(kāi)始，每年年底上繳資金d萬(wàn)元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)。設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬(wàn)元。

（Ⅰ）用d表示a1，a2，并寫(xiě)出an+1與an的關(guān)系式；

（Ⅱ）若公司希望經(jīng)過(guò)m（m≥3）年使企業(yè)的剩余資金為4000萬(wàn)元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值（用m表示）.

【解析】（Ⅰ）由題意得a1=2000（1+50%）-d=3000-d，

a2=a1（1+50%）-d=a1-d，所以an+1=an（1+50%）-d=an-d.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=an-1-d=（）2an-2-d-d=（an-2-d）-d

=…=（）n-1a1-d［1++（）2+

…+（）n-2］.

整理得an=（）n-1（3000-d）-2d［（）n-1-1］=（）n-1（3000-3d）+2d.

由題意，an=4000，∴（）n-1

（3000-3d）+2d=4000，

解得d==.

故該企業(yè)每年上繳資金d的值為繳時(shí)，經(jīng)過(guò)m（m≥3）年企業(yè)的剩余資金為4000萬(wàn)元。

點(diǎn)評(píng)：解等差、等比數(shù)列應(yīng)用題時(shí)，首先要認(rèn)真審題，深刻理解問(wèn)題的實(shí)際背景，理清蘊(yùn)含在語(yǔ)言中的數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)中的等差、等比數(shù)列問(wèn)題，然后利用等差、等比數(shù)列知識(shí)求解。此類(lèi)題目，體現(xiàn)了把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的能力，也就是所謂的數(shù)學(xué)建模能力。

總之，高考數(shù)列有難有易。易的是等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和方法，難的是轉(zhuǎn)化，要求考生具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)能力。備考時(shí)一定要因人而異，做到容易題不放過(guò)，難題盡力就可以了。

責(zé)任編輯 鄒韻文

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