張 偉

(南昌大學(xué)理學(xué)院物理系，330031，南昌)

0 引言

人類對(duì)于時(shí)空的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了漫長的發(fā)展過程。17世紀(jì)下半葉，牛頓(Newton)在前人研究的基礎(chǔ)上，發(fā)表了萬有引力定律，提出了絕對(duì)時(shí)空觀。后來，愛因斯坦(Einstein)摒棄了牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀，提出了相對(duì)時(shí)空觀。在愛因斯坦的廣義相對(duì)論中，引力被描述為時(shí)空的彎曲而不再是作為自然界中一種基本的相互作用力，時(shí)間與空間都是相對(duì)的而且相互聯(lián)系。廣義相對(duì)論成功地經(jīng)受了如引力紅移、水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)和星光偏折等一系列觀測與實(shí)驗(yàn)的檢驗(yàn)，取得了極大的成功。然而，廣義相對(duì)論沒有考慮時(shí)空與物質(zhì)的量子效應(yīng)，是一個(gè)經(jīng)典的理論。在廣義相對(duì)論與量子論結(jié)合統(tǒng)一的過程中，人們遇到了極大的困難。廣義相對(duì)論是一個(gè)不可重整化的理論，無法用量子場論的方法將引力量子化。這些事實(shí)都迫使我們不得不去對(duì)時(shí)空的本質(zhì)進(jìn)行更深層的探索。

20世紀(jì)70年代，Bekenstein和Hawking等發(fā)現(xiàn)了黑洞的熱力學(xué)性質(zhì)[1－3]。黑洞具有正比于其視界面積的熵，而黑洞的溫度正比于黑洞視界的表面引力。后來，Jacobson[4]從基本的熱力學(xué)關(guān)系出發(fā)推導(dǎo)出了Einstein場方程，提出了Einstein場方程的熱力學(xué)描述。2010年，E Verlinde[5]在全息原理的基礎(chǔ)上，提出引力是熵力，而熵力是由與物體位置相關(guān)聯(lián)的信息的改變而產(chǎn)生的一種有效的宏觀力。從而進(jìn)一步發(fā)展了引力不是基本相互作用力的觀點(diǎn)。最近，T Padmanabhan[6]提出一個(gè)時(shí)空觀點(diǎn):宇宙空間是隨著宇宙時(shí)間的發(fā)展而演生出來的，宇宙空間的膨脹率歸因于全息視界面的自由度數(shù)與主體的自由度數(shù)之差。由此假設(shè)出發(fā)，T Padmanabhan成功地推導(dǎo)出了描述宇宙演化的Friedmann方程。然而，在真實(shí)的宇宙中，粘滯效應(yīng)對(duì)于宇宙的演化將會(huì)帶來不可忽略的影響。所以，當(dāng)考慮到宇宙的粘滯效應(yīng)時(shí)，T Padmanabhan的宇宙空間演生的理論是否依然能夠有效的描述宇宙的演化規(guī)律?

本文首先將簡要回顧T Padmanabhan提出的時(shí)空理論，然后在此基礎(chǔ)上，將T Padmanabhan的工作推廣到粘性宇宙的情況，并成功得到描述粘性宇宙演化規(guī)律的Friedmann方程。本文采用自然單位制，其中?=c=kB=1。

1 T Padmanabhan理論的回顧

首先，T Padmanabhan的宇宙空間演生的理論思想可用圖1來演示。圖1中球體內(nèi)部區(qū)域是隨著宇宙時(shí)間t的發(fā)展而已經(jīng)演生出來的宇宙空間，并且宇宙空間體積的膨脹規(guī)律遵從圖1中右上角所示的方程。

考慮一個(gè)純的德西特(de Sitter)宇宙，該宇宙所遵循的全息原理可用以下關(guān)系式描述

其中Nsur和Nbulk分別表示全息視界面和主體的自由度數(shù)。全息視界面的半徑為哈勃半徑H－1，H=/a為哈勃參數(shù)。因此

將式(2)、式(3)代入式(1)，并利用 p= －ρ，可得

與標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果一致。

然而，世界不是純的而是漸進(jìn)德西特宇宙。于是可以猜想宇宙體積的膨脹率與(Nsur－Nbulk)有關(guān)

將式(2)、式(3)代入式(5)，得到標(biāo)準(zhǔn)的動(dòng)力學(xué)Friedmann方程

利用連續(xù)性方程

并且對(duì)方程(6)積分，可得標(biāo)準(zhǔn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)Friedmann方程

上式中已令積分常數(shù)為零。

2 將T Padmanabhan的理論推廣到粘性宇宙

不失一般性，考慮粘性Friedmann-Robertson-Walker(FRW)宇宙，其度規(guī)如下

其中，k=1，0，－1分別對(duì)應(yīng)封閉、平坦、開放的粘性FRW宇宙。

粘性 FRW 宇宙的能動(dòng)張量[7－9]為

其中，體粘滯系數(shù)ξ為流體的能量密度ρ的函數(shù)。由于要遵循熱力學(xué)第二定律，所以體粘滯系數(shù)應(yīng)為正值。

為了將T Padmanabhan的宇宙空間演生的理論推廣到粘性宇宙的情況，把式(2)、式(3)代入實(shí)現(xiàn)其理論思想的核心方程式(5)，則

現(xiàn)在，欲從式(11)出發(fā)推導(dǎo)出描述粘性宇宙演化規(guī)律的Friedmann方程，最關(guān)鍵的問題是要得到粘性FRW宇宙的Komar質(zhì)量M。

在廣義相對(duì)論中，導(dǎo)致宇宙加速膨脹的不是宇宙空間區(qū)域的物質(zhì)的總質(zhì)量，而是所謂的有效引力質(zhì)量-即Komar質(zhì)量。粘性FRW宇宙的Komar質(zhì)量的表達(dá)式為[10，13]

為此，先求出能動(dòng)張量Tμv的跡T的表達(dá)式

再將式(10)、式(13)代入式(12)，則

即得粘性FRW宇宙的Komar質(zhì)量的具體表達(dá)形式為

再將式(14)代入式(11)，有

化簡，得

式(15)是用T Padmanabhan的宇宙空間演生的時(shí)空理論推導(dǎo)出的粘性FRW宇宙的動(dòng)力學(xué)Friedmann方程，將其與粘性FRW宇宙的標(biāo)準(zhǔn)的動(dòng)力學(xué) Friedmann 方程[8－9]對(duì)比，發(fā)現(xiàn)二者相同。接下來從式(15)出發(fā)，利用連續(xù)性方程，看能否推導(dǎo)出粘性FRW宇宙的標(biāo)準(zhǔn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)Friedmann方程。

首先，粘性FRW宇宙的連續(xù)性方程▽?duì)蘐μv=0 成為[7－9]

由式(16)，得

再將變形后的連續(xù)性方程(17)代入上式

對(duì)上式兩邊同時(shí)積分并令積分常數(shù)為零

即

將式(18)與粘性FRW宇宙的標(biāo)準(zhǔn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)Friedmann方程[8－9]對(duì)比，發(fā)現(xiàn)二者相同?？梢?，用T Padmanabhan的宇宙空間演生的時(shí)空理論能夠成功地推導(dǎo)出描述粘性FRW宇宙的演化規(guī)律的Friedmann方程。

3 結(jié)論

本文采用T Padmanabhan的時(shí)空觀點(diǎn)，認(rèn)為宇宙空間是隨著宇宙時(shí)間的發(fā)展而演生出來的，并且宇宙空間的膨脹率歸因于全息視界面與主體的自由度數(shù)之差。繼而成功地將T Padmanabhan的工作推廣到粘性FRW宇宙的情形，所得結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)的Friedmann方程完全相同。進(jìn)一步驗(yàn)證了T Padmanabhan的建立在全息原理基礎(chǔ)上的時(shí)空觀點(diǎn)的正確性。

另外，雖然在文中考慮的是粘性FRW宇宙，但是，由于描述宇宙粘性的體粘滯系數(shù)在宇宙中實(shí)際上起到一個(gè)等效壓強(qiáng)的作用，所以，對(duì)于其它的宇宙學(xué)模型[11－13]如膜宇宙、標(biāo)量-張量宇宙和 f(R)宇宙等，相信當(dāng)在這些修正的引力的宇宙中考慮粘性時(shí)，仍然可以得到相應(yīng)情況下的標(biāo)準(zhǔn)的Friedmann方程。

空間均勻且各向同性的FRW宇宙學(xué)模型有效的描繪了當(dāng)今大尺度結(jié)構(gòu)的宇宙。然而，對(duì)于早期的宇宙來說，其空間均勻卻各向異性，需要用Bianchi型的宇宙學(xué)模型來描述。因此，如何將宇宙空間演生的理論推廣到早期宇宙的情況是一個(gè)值得思考而又有趣的問題。因?yàn)?，?dāng)考慮Bianchi型的宇宙學(xué)模型時(shí)，如何選取全息面從而能夠運(yùn)用建立在全息原理基礎(chǔ)上的宇宙空間演生的理論是一個(gè)需要克服的困難。這些問題都有待于將來進(jìn)一步的探索。

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