梅 芳，劉 章，曾春華

(江西農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，330046,南昌)

二階亞純函數(shù)系數(shù)非齊次線性微分方程解的超級

梅 芳，劉 章，曾春華

(江西農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，330046,南昌)

研究了二階亞純函數(shù)系數(shù)非齊次線性微分方程f″+Af′+Bf=F解的超級不同零點收斂指數(shù)。當(dāng)其系數(shù)滿足一定的條件時，得到方程解的超級零點收斂指數(shù)的精確的估計。

亞純函數(shù)；非齊次線性微分方程；超級不同零點收斂指數(shù)

1 背景

在文獻(xiàn)[4]中，得到了下面的引理。

引理A：設(shè)A、B、F?0為有限級亞純函數(shù)，A、B為超越的，且滿足

σ(A)<σ(B)<∞

(1)

和

(2)

若方程

f″+Af′+Bf=F

(3)

有亞純解，則

2 引理

引理1[6]：假設(shè)g(z)為亞純函數(shù)，σ(g)=β<+∞，那么對任意給定的ε>0，存在一個線測度和對數(shù)測度都為有窮的集合E1?(1,+∞)，使當(dāng)|z|=r?[0,1]∪E1,r→+∞時|g(z)|≤exp{rβ+ε}。

引理3[8]：假設(shè)f(z)是超越亞純函數(shù)，設(shè)P={(k1,j1),…,(km,jm)}表示一個整數(shù)對的有限集合，滿足ki>ji≥0，(i=1,2,…,m),α>1是一個給定常數(shù)，那么存在子集E3?(1,+∞)有有窮對數(shù)測度，存在僅依賴α和P的常數(shù)K>0，滿足對所有滿足|z|=r?[0,1]∪E3的z和(k,j)∈P，得到

3 主要結(jié)果

1996年Kwon Ki-Ho在文獻(xiàn)[5]中研究了二階線性整函數(shù)系數(shù)微分方程

f″+A(z)f′+B(z)f=0

的解的超級問題。

本文在文獻(xiàn)[5]的啟發(fā)下主要研究了引理A中無窮級解的超級，進(jìn)一步深化了對方程(3)解的討論，得到以下結(jié)果。

定理：設(shè)A、B、F?0為有限級亞純函數(shù)，A、B為超越的，且滿足條件

max{σ(F),σ(A)}<σ(B)<∞

(4)

和

(5)

定理的證明：取α,β>0，使得σ(A)<α<β<σ(B)<+∞，先將方程式(3)改寫為

(6)

由引理1可知，存在線測度和對數(shù)測度均有窮的集合E1?(1,+∞)，使|z|=r?[0,1]∪E1,r→+∞時，

|A(z)|≤exp{rα}

(7)

由定理的條件(5)可知

|B(z)|≥exp{(1+o(1))rσ(B)-ε}

(8)

設(shè)f為方程(3)的無窮級解，則f為超越亞純函數(shù)，由引理3可知，存在一個子集E3?(1,+∞)具有有窮對數(shù)測度及常數(shù)K>0，對滿足|z|=r?[0,1]∪E3的所有z有

(9)

若f在z0有k(≥1)階極點，而A(z),B(z)都在z0點解析，則f″+Af′+Bf在z0有k+2階極點，但F在z0解析，矛盾，所以f的極點只能發(fā)生在A(z),B(z),F(z)的極點處，因此λ(1/f)<+∞。

F為有限級亞純函數(shù)，f為無窮級亞純函數(shù)，由Hadamard定理，可以表示f為f(z)=g(z)/d(z)，其中g(shù)(z),d(z)為整函數(shù)，滿足

σ(g)=σ(f),λ(d)=σ(d)=λ(1/f)<σ(f)=+∞。

則

令ρ=σ{d(z)F(z)}=max{σ(d),σ(F)}<∞，由引理1，對任給的ε>0，存在一個線測度和對數(shù)測度都為有窮集合E4?(1,+∞),使當(dāng)|z|=r?[0,1]∪E4，r→+∞時，

|F(z)d(z)|≤exp{rρ+ε}

(10)

即

M(r,g)≥exp{rρ-α+ε}

(11)

由式(9)和式(10)可得，當(dāng)|z|=r∈E5-{[0,1]∪E4}且r→+∞時，在|g(z)|=M(r,g)的點z處有

(12)

由式(6)～式(9)，式(12)可得，當(dāng)|z|=r∈E2∩E5-{[0,1]∪E1∪E3∪E4}且r→+∞時

exp{(1+o(1))rβ}≤3Kr[T(2r,f)]3exp{rmax{α,ρ+ε}}

(13)

由于α<β，σ(d)<σ(f)，σ(F)<σ(B)及ρ=max{σ(d),ρ(F)}，可取到ε，使ρ+ε

σ2(f)≥σ(B)

(14)

由式(3)可知，如果f在點z0有α(>2)階零點，A、B在點z0解析，則F必在z0有大于等于α-2階零點。若F?0，將式(3)改寫為

則有下式成立

(15)

再應(yīng)用對數(shù)導(dǎo)數(shù)引理知，至多除去一個線測度為有窮的r值集合E6外，有

m(r,1/f)≤m(r,1/F)+m(r,A)+m(r,B)+m(r,f″/f)+m(r,f′/f)+log 3=m(r,1/F)+m(r,A)+m(r,B)+O{log[rT(r,f)]}(r?E6)

(16)

由式(15)和式(16)得到

(17)

又

(18)

T(r,F)+T(r,A)+T(r,B)≤3rσ(B)

(19)

由式(17)～式(19)可知

因此

(20)

則由式(14)、式(20)得

(21)

[1] 楊樂.值分布論及其新研究[M].北京:北京科學(xué)出版社,1982:1-109.

[2]何育贊,肖修冶.代數(shù)體函數(shù)與常微分方程[M].北京:科學(xué)出版社,1988.

[3]Hayman W.Meromorphic Functions[M].Oxford: Clarendon Press,1964:1-97.

[4]易才鳳,邊年英.二階微分方程亞純解的零點收斂指數(shù)和增長級[J].江西師范大學(xué)學(xué)報,1998,22(1):16-20.

[5]Kwon K H.On the growth of entire functions satisfying seand order linear.differential equtions[J].Bull Kvrean Math Soc,1996,35:487-496.

[6]陳宗煊.二階亞純系數(shù)微分方程亞純解的零點[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報,1996,16(3):276-283.

[7]Chen Z X.The growth of solutions of second order linear differential equations with meromorphic coefficients[J].Kodai Math,1999,22(2):208-221.

[8]Gundersen G.Estimates for the logarithmic derivative of a meromorphic function plus similar estimates[J].London Math Soc,1988,37(2):88-104.

TheGrowthofSolutionsofSecondorderNon-homogeneousLinearDifferentialEqutionswithMeromorphicCoefficients

MEI Fang,LIU Zhang,ZENG Chunhua

(College of Science,Jiangxi Agricultural University,330046,Nanchang,PRC)

In the paper,We investigate the hyper-order of convergence of the distinct zeros of solutions of second order non-homogeneouslinear differential equtions with meromorphic coefficientsf″+Af′+Bf=F.When the coefficients satisfy some conditions,we obtain the precise estimates of the soutions.

meromorphic function;non-homogeneous linear differential equation;hyper-order of convergence of distinct zeros

2014-03-24;

2014-04-27

梅 芳(1972-)，女，江西九江人，碩士，副教授，目前從事應(yīng)用數(shù)學(xué)方向的教學(xué)與研究。

2012年江西省教育廳教學(xué)改革研究項目(jxjg-12-4-13)。

1001-3679(2014)03-0281-03

O174.5

A