尹社會(huì)，王記昌

(河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，473000,河南,南陽(yáng))

基于Simulink的四翼超混沌系統(tǒng)的仿真與分析

尹社會(huì)，王記昌

(河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，473000,河南,南陽(yáng))

在一個(gè)四翼超混沌系統(tǒng)的微分?jǐn)?shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，利用Matlab軟件和Simulink工具箱混合編程進(jìn)行了仿真和模擬，通過(guò)改變控制參數(shù)的值，得到相應(yīng)的結(jié)果變化情況，證明了該系統(tǒng)中存在分叉現(xiàn)象。在假設(shè)控制參數(shù)一致而稍微改動(dòng)系統(tǒng)的初始條件，發(fā)現(xiàn)其動(dòng)力學(xué)行為特性完全不一樣，表明了系統(tǒng)對(duì)初值的極其敏感性。

超混沌系統(tǒng)；數(shù)值仿真；混沌；分叉

0 引言

Matlab/Simulink是一個(gè)進(jìn)行動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和綜合分析的集成軟件包，功能強(qiáng)大。利用Simulink可以進(jìn)行模塊化建模，不僅可以顯示具體環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)細(xì)節(jié)，還能呈現(xiàn)各部分(模塊)之間的交互影響。由于四翼混沌系統(tǒng)比兩翼混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為更復(fù)雜，因此把四翼混沌系統(tǒng)應(yīng)用到保密通信中能使保密通信更安全、信息更難被破譯。近年來(lái)對(duì)四翼混沌系統(tǒng)的構(gòu)造與應(yīng)用已成為國(guó)內(nèi)外的研究熱點(diǎn)[1-16]。本文在一個(gè)四翼超混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，應(yīng)用該軟件包建立仿真模型，動(dòng)態(tài)地分析系統(tǒng)中的分叉和混沌現(xiàn)象。

2003年Liu等構(gòu)造了第一個(gè)四翼混沌系統(tǒng)，盡管被證明是假的四翼混沌系統(tǒng)，但卻引起了人們對(duì)構(gòu)造四翼混沌系統(tǒng)的興趣。如Wang等構(gòu)造了一個(gè)能產(chǎn)生三翼和四翼混沌吸引子的混沌系統(tǒng)，Dadras等構(gòu)造了一個(gè)能兩翼三翼和四翼混沌吸引子的混沌系統(tǒng)和一個(gè)能產(chǎn)生一翼兩翼三翼和四翼混沌吸引子的混沌系統(tǒng)。由于超混沌系統(tǒng)有2個(gè)正的李雅普諾夫指數(shù)，比只有一個(gè)正的李雅普諾夫指數(shù)的混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為更豐富更復(fù)雜。因此有必要對(duì)四翼超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析和研究。

2013年，黃沄[17]等引進(jìn)了下面的一個(gè)四翼超混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)含有4個(gè)參數(shù)，其中3個(gè)方程中含有非線性乘積項(xiàng)。他們通過(guò)相圖、平衡點(diǎn)以及Lyapunov指數(shù)譜分析了該系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性，并實(shí)現(xiàn)了FPGA電路設(shè)計(jì)。但是該系統(tǒng)的Hopf分叉、Lyapunov維數(shù)、系統(tǒng)的最終界等未見(jiàn)有報(bào)道。因此有必要通過(guò)理論分析和數(shù)值計(jì)算等手段進(jìn)一步討論該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。

1 系統(tǒng)模型及其動(dòng)力學(xué)特性

四翼超混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如下[17]：

(1)

引理1：系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)之和等于相空間的時(shí)間平均散度。

2 Simulink建模與仿真

2.1Simulink建模與參數(shù)設(shè)置

根據(jù)微分?jǐn)?shù)學(xué)模型建立系統(tǒng)的仿真模型如圖2所示。在Simulink菜單下，通過(guò)Configuration Parameters設(shè)置參數(shù)：選擇solver算法：ode45，最大步長(zhǎng)為1e-6，仿真時(shí)間為200 s；其余通過(guò)元件編輯屬性：a=3,b=9,c=4,k=8，設(shè)置積分器的初值為x=14,y=15,z=15,w=16。

圖2 基于Simulink的四翼超混沌系統(tǒng)仿真模型

2.2數(shù)值仿真結(jié)果分析

代入系統(tǒng)參數(shù)，在不同的控制參數(shù)和初始條件下分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為特性。通過(guò)上一節(jié)建立的Simulink仿真模型，得到狀態(tài)變量時(shí)間響應(yīng)圖(圖3)、部分三維相圖(圖4)以及在部分平面內(nèi)的投影圖(圖5)，通過(guò)改變初值也可以方便的驗(yàn)證該系統(tǒng)“蝴蝶效應(yīng)”(圖6)。

3 結(jié)論

對(duì)一個(gè)四翼超混沌系統(tǒng)進(jìn)行了Simulink建模仿真并進(jìn)行了研究，繪制了混沌系統(tǒng)的的各空間相圖與平面投影相圖，數(shù)值驗(yàn)證了混沌的“蝴蝶效應(yīng)”。利用Matlab軟件與Simulink仿真工具不僅可以獲得許多重要的有效控制策略和仿真結(jié)果，而且為超混沌系統(tǒng)進(jìn)一步的研究提供了便利。從上面的仿真可以看到隨著控制參數(shù)和初始條件的變化而引起的系統(tǒng)行為特性變化情況。通過(guò)Simulink建模，探索了混沌系統(tǒng)中的分叉現(xiàn)象，動(dòng)態(tài)地觀察了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程。過(guò)程細(xì)節(jié)清楚，物理概念清晰。同時(shí)還可以看出，即使2個(gè)初始條件非常接近，系統(tǒng)的行為特性還是不一致的，最終的結(jié)果也是完全不一樣的。

圖3 狀態(tài)變量時(shí)間響應(yīng)圖

圖5 吸引子的二維相圖

圖6 x值的初值敏感性時(shí)間響應(yīng)圖

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SimulationandAnalysisofaFour-WingHyperchaoticSystemBasedonSimulink

YIN Shehui,WANG Jichang

(Henan Polytechnic Institute,473000,Nanyang,Henan,PRC)

On the base of the mathematical model of four-wing hyperchaotic system,using Matlab and Simulink toolbox to simulate and changing the control parameters,we can prove the bifurcation exists in the system.And if we only change initial values,we can find dynamic behavior is significantly different,which shows the sensitivity of chaotic system to the initial conditions.

four-wing hyperchaotic system;simulation;chaotic;bifurcation

2014-03-25;

2014-04-24

尹社會(huì)(1979-)，男，河南沈丘人，講師，研究方向?yàn)閯?dòng)力系統(tǒng)和物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)等。

南陽(yáng)市科技發(fā)展規(guī)劃項(xiàng)目(2013GG048,2013RK013)。

1001-3679(2014)03-0284-04

O415.5

A