黃興奎

(荊楚理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 荊門 448000)

基于姆潘巴效應(yīng)實(shí)驗(yàn)的理論分析

黃興奎

(荊楚理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 荊門 448000)

運(yùn)用實(shí)驗(yàn)的方法研究了姆潘巴效應(yīng)及其發(fā)生條件，通過(guò)建立理論模型找到一個(gè)受到“余弦”微擾的指數(shù)衰減函數(shù)，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，在此基礎(chǔ)上對(duì)姆潘巴效應(yīng)進(jìn)行了理論分析和解釋。結(jié)果表明：水降溫的總趨勢(shì)為能量越高的水降到冰點(diǎn)所需要的時(shí)間就越長(zhǎng)，但這一總趨勢(shì)被另一種類似于周期運(yùn)動(dòng)的“微擾”調(diào)制，于是出現(xiàn)某些條件下高溫水降到冰點(diǎn)所需時(shí)間比低溫水更少的特殊情況，也就是出現(xiàn)了姆潘巴效應(yīng)。姆潘巴效應(yīng)的發(fā)生要同時(shí)滿足溫差條件和微擾條件，并非任何高溫水都比低溫水更快的結(jié)冰。

姆潘巴效應(yīng)；微擾；指數(shù)衰減函數(shù)；溫度譜；降溫速率

0 引言

在同等容器、同等體積和同等冷卻環(huán)境下，溫度高的水比溫度低的水先結(jié)冰的現(xiàn)象被稱之為“姆潘巴效應(yīng)”[1-5]。姆潘巴效應(yīng)被稱為世界物理難題，至今沒(méi)有令人滿意的解釋。早在公元前300年，亞里士多德就發(fā)現(xiàn)了溫度高的水結(jié)冰更快的現(xiàn)象，Giovanni Marliani、培根和笛卡爾也曾描述過(guò)這一現(xiàn)象。培根的描述是，“輕微加熱后的水，比冷水更容易結(jié)冰”；笛卡爾的描述是，“經(jīng)驗(yàn)顯示，放在火上加熱一段時(shí)間的水，比不加熱的水結(jié)冰更快”。雖然“輕微加熱”和“放在火上加熱一段時(shí)間”這兩個(gè)限定很模糊，但是表明兩位學(xué)者已經(jīng)意識(shí)到姆潘巴效應(yīng)的出現(xiàn)是有條件的，不是絕對(duì)的。

國(guó)外對(duì)姆潘巴效應(yīng)的研究比較全面，研究成果比較豐富；國(guó)內(nèi)的研究多偏重于定性的分析或較簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，缺乏定量研究及深入的理論分析。研究認(rèn)為有四個(gè)因素對(duì)姆潘巴效應(yīng)產(chǎn)生重要影響，包括水的蒸發(fā)[6-7]、水中的溶解氣體[8]、溫度梯度造成的對(duì)流和過(guò)冷[9-11]。也有研究根據(jù)水的化學(xué)結(jié)構(gòu)來(lái)解釋這一現(xiàn)象，還有研究專注于水中微生物的影響[8]，甚至還有文獻(xiàn)否認(rèn)這一現(xiàn)象的存在，認(rèn)為是由外界條件不一致造成的偶然現(xiàn)象[12]。因此有必要通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證姆潘巴效應(yīng)，并找出效應(yīng)發(fā)生時(shí)兩種水應(yīng)滿足的溫差條件，即找到姆潘巴效應(yīng)的“溫度譜”，并從理論上對(duì)姆潘巴效應(yīng)進(jìn)行探討。

目前關(guān)于姆潘巴效應(yīng)的研究還不深入，但有些領(lǐng)域已在運(yùn)用姆潘巴效應(yīng)，如冰淇淋行業(yè)和釀酒業(yè)，也有研究將其運(yùn)用到食物的速凍方面，以減少速凍時(shí)的能量消耗[13]。因此研究姆潘巴效應(yīng)有其實(shí)際意義。

1 姆潘巴效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究

實(shí)驗(yàn)研究的目的，一是為了驗(yàn)證姆潘巴效應(yīng)確實(shí)存在，二是找出它發(fā)生的具體條件。為保證實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中使用同一個(gè)容器和數(shù)字溫度計(jì)。實(shí)驗(yàn)用水為普通自來(lái)水，制備熱水采用水浴加熱法。

1.1 實(shí)驗(yàn)概述

1.1.1 實(shí)驗(yàn)儀器

加熱器、燒杯、不銹鋼杯(直徑7.8 cm，高7.4 cm)、數(shù)字溫度計(jì)、冰柜、秒表。

1.1.2 實(shí)驗(yàn)方法

1)用燒杯量取50 mL的室溫水(22.56 ℃),倒入杯口用鋁片覆蓋的不銹鋼杯中；

2)將數(shù)字溫度計(jì)從鋁片中央的小孔插入不銹鋼杯中；

3)待溫度計(jì)顯示穩(wěn)定后，將杯子放入最低溫度約為-18 ℃的冰柜中的一個(gè)固定位置，開始計(jì)時(shí)。每分鐘記錄一次水的實(shí)時(shí)溫度，直到水的溫度達(dá)到冰點(diǎn)后幾分鐘；

4)用燒杯量取50 mL的自來(lái)水，倒入不銹鋼杯中，然后放入加熱器中用水浴加熱到稍高于所需溫度；

5)取出不銹鋼杯，放在實(shí)驗(yàn)臺(tái)上冷卻，達(dá)到所需溫度附近時(shí)，立即放到冰柜內(nèi)的同一位置，開始計(jì)時(shí)。每分鐘記錄一次水的實(shí)時(shí)溫度，直到水的溫度達(dá)到冰點(diǎn)后幾分鐘；

6)重復(fù)4～5步，實(shí)驗(yàn)中水的初始溫度從室溫到接近沸點(diǎn)的溫度，溫度間隔約為5 ℃。

1.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

如圖1a至圖1d，初溫較高的水比初溫低的水先降至冰點(diǎn)，證實(shí)姆潘巴效應(yīng)確實(shí)存在。為敘述方便,稱0～50 ℃區(qū)域?yàn)榈蜏貐^(qū),51～100 ℃區(qū)域?yàn)楦邷貐^(qū)；對(duì)比實(shí)驗(yàn)中初溫較高的水為高溫水，初溫較低的水為低溫水。

a 水的初溫在低溫區(qū)的姆潘巴效應(yīng)b 水的初溫在高溫區(qū)的姆潘巴效應(yīng)c 水的初始溫差較小的姆潘巴效應(yīng)d 水的初始溫差較大的姆潘巴效應(yīng)圖1 50mL水在四種情形下出現(xiàn)姆潘巴效應(yīng)的水溫與冷卻時(shí)間圖

由圖1可見，姆潘巴效應(yīng)發(fā)生的過(guò)程包含兩個(gè)階段：1)高溫水以比較快的速率降溫，并達(dá)到低溫水冷卻后的實(shí)時(shí)溫度；2)高溫水保持比較大的降溫速率。在圖像上就表現(xiàn)為兩條降溫線有一次交叉。實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)姆潘巴效應(yīng)的最大溫差約為35 ℃，最小溫差約為5 ℃，說(shuō)明姆潘巴效應(yīng)的出現(xiàn)有一定的溫差限度，即姆潘巴效應(yīng)的出現(xiàn)是有條件的，不是任何高溫水都會(huì)比低溫水結(jié)冰更快。具體的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 50mL不同初始溫度的水降至冰點(diǎn)的時(shí)間

將降至冰點(diǎn)的時(shí)間t的倒數(shù)定義為降溫速率,用y表示,y=1/t,t的單位為分鐘(min)。作降溫速率和初始溫度圖，如圖2所示。

圖2 50mL水的降溫速率與初始溫度圖

圖中沒(méi)有畫出5 ℃時(shí)的情況，因?yàn)檫@種情況下降溫太快，時(shí)間倒數(shù)過(guò)大，會(huì)影響到整個(gè)圖的視覺(jué)效果。圖2類似于光譜圖，可形象地稱為“溫度譜”圖，運(yùn)用它可以很方便的找出0～100 ℃范圍內(nèi)出現(xiàn)姆潘巴效應(yīng)的溫度條件。如高溫水為64 ℃時(shí)，能夠與43～47 ℃和53～64 ℃兩個(gè)開區(qū)間內(nèi)的低溫水發(fā)生姆潘巴效應(yīng)，而與0～43 ℃和47～53 ℃區(qū)間的低溫水不能發(fā)生姆潘巴效應(yīng)。當(dāng)然，水量和冷卻條件變化時(shí)，出現(xiàn)姆潘巴效應(yīng)的溫差范圍以及曲線的形狀也會(huì)相應(yīng)的發(fā)生變化。

2 姆潘巴效應(yīng)的理論探討

2.1 模擬函數(shù)及其分析

仔細(xì)觀察圖2中的曲線，可以發(fā)現(xiàn)其變化趨勢(shì)類似于一個(gè)受到某種微擾調(diào)制的指數(shù)衰減函數(shù)，通過(guò)軟件模擬找到如下的模擬函數(shù)：

y=0.006+20e-0.04T+0.006cos(0.36T)

(1)

為建立理論模型，將其寫成一般形式：

y=B+Ae-aT+Bcos(ωT+b)

(2)

公式(2)中的B可稱作“周期性微擾”的振幅，等號(hào)右邊第一個(gè)B的作用在于排除降溫速率出現(xiàn)負(fù)值的情況；A是溫度為0 ℃且忽略微擾時(shí)的降溫速率；a是決定衰減快慢的參量，類似于衰減因子；T是水的初始溫度；ω是表示微擾隨初始溫度周期性變化的參量；b是初始溫度為0 ℃時(shí)的相位。將實(shí)驗(yàn)圖與理論模擬圖對(duì)照比較，如圖3所示，可見兩圖中降溫速率隨水的初始溫度變化的趨勢(shì)基本相同，表明用模擬函數(shù)來(lái)描述實(shí)驗(yàn)結(jié)果是可行的。

圖3 50mL水的降溫速率與初始溫度關(guān)系的實(shí)驗(yàn)圖和理論模擬圖

周期性微擾作用區(qū)間在0～100 ℃之間，并非針對(duì)某一特殊溫度，但在某一特定降溫過(guò)程中是確定的。正是這種周期性微擾使不同初始溫度的水降到冰點(diǎn)的速率出現(xiàn)振蕩，造成某些高溫水可以比低溫水降溫更快。

根據(jù)公式(2)，高溫水降溫更快應(yīng)滿足的條件是：

y(T1)-B1≤y(T2)+B2

(3)

其中溫度T1、T2分別表示低溫水和高溫水的初始溫度，B1和B2分別是兩種溫度對(duì)應(yīng)的微擾振幅，這兩個(gè)量可能相等，也可能不相等，在徹底弄清微擾的本質(zhì)前還無(wú)法具體確定。

要探討姆潘巴效應(yīng)的實(shí)質(zhì)，需要找到某些高溫水產(chǎn)生大的降溫速率并保持這種速率的原因，即找出“微擾”的本質(zhì)和確定高溫水降溫更快的具體限制條件。現(xiàn)在已經(jīng)找到一個(gè)很接近實(shí)際情況的模擬函數(shù)，如果能明確函數(shù)中各組成部分的物理意義，解釋姆潘巴效應(yīng)就有了理論依據(jù)。

2.2 姆潘巴效應(yīng)的理論解釋

由圖1，姆潘巴效應(yīng)的發(fā)生過(guò)程分成兩個(gè)階段。第一階段高溫水的溫度迅速降低，直至達(dá)到低溫水冷卻后的溫度，在圖中表現(xiàn)為兩條降溫線交叉點(diǎn)之前的曲線段；第二階段在交叉點(diǎn)之后，原高溫水的降溫速率依然有所保持，這一階段原低溫水的實(shí)時(shí)溫度要高于原高溫水的實(shí)時(shí)溫度，但其降溫速率卻不總是大于原高溫水的降溫速率。可以看出水的溫差是姆潘巴效應(yīng)發(fā)生的必要條件，但不是充分條件。

分析理論模擬函數(shù)中的組成部分，可以發(fā)現(xiàn)Bcos(ωT+b)這一部分對(duì)于降溫速率y的大小產(chǎn)生周期性的影響，即指數(shù)衰減函數(shù)y=Ae-aT受到了周期性微擾Bcos(ωT+b)的調(diào)制?？梢哉业揭唤M參量B、A、a、ω、b，使理論模擬圖和實(shí)驗(yàn)圖高度吻合。根據(jù)熱學(xué)理論進(jìn)行分析[14-16]，微擾主要與對(duì)流和蒸發(fā)的作用相關(guān)，即與水的初始溫度有關(guān)，初始溫度一確定，對(duì)流和蒸發(fā)的作用，即微擾的作用就內(nèi)在的確定了。微擾也是姆潘巴效應(yīng)發(fā)生的重要條件,因此發(fā)生姆潘巴效應(yīng)需要滿足兩個(gè)條件：一是兩種水的溫差范圍約在5～35 ℃之間，二是要滿足適當(dāng)?shù)奈_條件(參見圖2)，而不清楚微擾條件的客觀存在可能就是有些研究否認(rèn)姆潘巴效應(yīng)的原因。

作為一個(gè)實(shí)例，解釋一下冬天要用冷水而不用溫水洗車這一常識(shí)。當(dāng)水量越少時(shí)，結(jié)冰速度就越快，模擬函數(shù)指數(shù)部分的系數(shù)就越大，微擾振幅的相對(duì)增加量很大，導(dǎo)致更多的不同初始溫度的高溫水能夠比低溫水降溫更快，而且要快很多。

如圖4所示，當(dāng)水的質(zhì)量非常小時(shí)，微擾振幅變得很大，甚至成為影響降溫速率的主要因素。洗車時(shí)表面只有很薄的一層水，單位面積內(nèi)水的質(zhì)量很小，其微擾振幅就足夠大，如圖4中的第三行圖所示，理論模擬函數(shù)按類似正弦規(guī)律變化。冬天冷水的溫度比較低，只有幾攝氏度，而溫水的溫度約在30～40 ℃之間。由圖可見，姆潘巴效應(yīng)發(fā)生的條件得到滿足，會(huì)出現(xiàn)溫水比冷水結(jié)冰快的現(xiàn)象，所以冬天要用冷水而不能用溫水洗車。

圖4 三種不同體積的水的理論模擬函數(shù)圖

3 結(jié)語(yǔ)

實(shí)驗(yàn)研究驗(yàn)證了姆潘巴效應(yīng)，找出了姆潘巴效應(yīng)發(fā)生的條件。實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)姆潘巴效應(yīng)的最大溫差約為35 ℃，最小溫差約為5 ℃，而在5～35 ℃的溫差范圍內(nèi)，也并非所有的初溫較高的水就比初溫較低的水先結(jié)冰，說(shuō)明姆潘巴效應(yīng)的出現(xiàn)有一定的溫差限度，也受到微擾的制約。

通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析，找到了一個(gè)受到微擾調(diào)制的按指數(shù)衰減的模擬函數(shù)來(lái)描述降溫速率(即水溫降到冰點(diǎn)的時(shí)間的倒數(shù))和水的初始溫度的關(guān)系，微擾是一個(gè)類似于三角函數(shù)的周期性函數(shù)，通過(guò)微擾調(diào)制的按指數(shù)衰減的模擬函數(shù)圖與實(shí)驗(yàn)圖吻合得比較好。

目前有關(guān)姆潘巴效應(yīng)的研究還處于起步階段，無(wú)論從理論方面還是從實(shí)驗(yàn)方面都有待于進(jìn)一步研究。姆潘巴效應(yīng)的影響因素很多，各個(gè)因素的影響途徑及程度難以精確界定，今后的研究，應(yīng)該將更多的因素納入到模擬函數(shù)之中，研究各影響因素與模擬函數(shù)相關(guān)參量之間的定量關(guān)系，使之成為能在更大范圍內(nèi)適用的比較精確的理論模型，促使姆潘巴效應(yīng)的研究逐步趨向深入和完善，也為姆潘巴效應(yīng)的實(shí)際應(yīng)用奠定理論和實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)。

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[責(zé)任編輯：寸曉非]

2014-09-20

湖北省教育科學(xué)"十二五"規(guī)劃課題：地方院校應(yīng)用物理學(xué)專業(yè)人才培養(yǎng)模式研究(2013B198)

黃興奎(1967-)，男(土家族)，湖北恩施人，荊楚理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院副教授，碩士。

O551

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1008-4657(2014)06-0082-05