張彥斌， 王慧萍， 楊俊森， 李一帆

（1.河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院； 2.河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院， 河南 洛陽 471003）

一類曲邊梯形面積和形心坐標(biāo)公式的推證與應(yīng)用

張彥斌1， 王慧萍2， 楊俊森2， 李一帆2

（1.河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院； 2.河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院， 河南 洛陽 471003）

材料力學(xué)課程中，利用圖形互乘法計(jì)算當(dāng)彎矩圖為曲邊梯形情況下梁某截面位置處的變形時(shí)，分析計(jì)算過程繁瑣，學(xué)生不易掌握.本文基于積分原理和靜矩的性質(zhì)推導(dǎo)出一種求解曲邊梯形面積和形心坐標(biāo)的公式，并給出兩個(gè)計(jì)算實(shí)例.算例表明所提出的計(jì)算公式簡(jiǎn)便、有效，具有一定理論意義和實(shí)用價(jià)值.

圖形互乘法；面積；形心

材料力學(xué)是一門理論性較強(qiáng)的技術(shù)基礎(chǔ)課，是機(jī)械、車輛、土木等本科專業(yè)必修的學(xué)科基礎(chǔ)主干課程之一[1-2].由于該課程中公式多，知識(shí)點(diǎn)分散，相當(dāng)一部分學(xué)生感覺學(xué)起來比較吃力.利用能量法求桿件變形就是材料力學(xué)課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一.而其中圖形互乘法是莫爾積分法在諸如梁、剛架等線彈性結(jié)構(gòu)上的應(yīng)用.圖形互乘法之所以比積分法簡(jiǎn)便省力，其關(guān)鍵在于圖形的面積與形心位置已經(jīng)預(yù)先算出，可以直接使用.文獻(xiàn)[3]只給出了二次拋物線與直線段圍成的曲邊三角形的面積與形心位置，而且限定曲線頂點(diǎn)的切線必須平行于基線，而在實(shí)際計(jì)算中常遇到的是二次拋物線與直線圍成的曲邊梯形，不能直接使用已有的公式，目前的作法是先將彎矩圖分解為若干簡(jiǎn)單載荷作用下的彎矩圖，簡(jiǎn)單載荷作用下的內(nèi)力圖的面積和形心位置可在文獻(xiàn)[3]中查到，然后再使用疊加原理分別進(jìn)行圖乘.缺點(diǎn)在于一是使用者須具備較強(qiáng)的圖形分解能力,二是計(jì)算過程繁瑣，結(jié)果易出錯(cuò).

本文根據(jù)積分原理和靜矩的性質(zhì)推導(dǎo)出了二次拋物線與直線段圍成的梯形的面積與形心坐標(biāo)計(jì)算公式，且計(jì)算公式簡(jiǎn)單、意義清晰.圖形互乘時(shí)不需要圖形分解,可以直接調(diào)用公式計(jì)算，過程簡(jiǎn)便，且結(jié)果不易出錯(cuò).

1 公式推證

圖1 曲邊梯形圖

圖 1是由介于二次拋物線 y=ax2+bx+c與基線 Ox所圍成的曲邊梯形 O1BA2A1，假設(shè)二次拋物線左、右端點(diǎn)分別是A1(x1,y1)，A2(x2,y2)，O1B距離是 h，其中點(diǎn) C的坐標(biāo)為(x0,y0)，該圖的工程背景取自簡(jiǎn)支梁某一區(qū)間典型的彎矩圖.O1B邊中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，其中當(dāng)拋物線凸向指向彎矩正坐標(biāo)方向時(shí)，公式第二項(xiàng)前取正號(hào)，反之則取負(fù)號(hào).現(xiàn)欲推證曲邊梯形的面積 ω 和形心 C相對(duì)于左端點(diǎn) O1的坐標(biāo) d1（或相對(duì)與右端點(diǎn) B的左邊 d2）.面積可由積分求出：

欲求 d1，先連接點(diǎn) A1A2（虛線），則曲邊梯形被分成曲邊弓形與直線梯形 O1BA2A1兩部分，設(shè)前者的面積為 ω1，而后者的面積為 ω2，顯然

由圖 1中的幾何關(guān)系知，ω、ω1和 ω2間的關(guān)系為：而根據(jù)文獻(xiàn)[4]可知，面積為 ω1的曲邊弓形形心的橫坐標(biāo)為，再利用組合圖形靜矩公式有

將已求得的面積 ω、ω1與 ω2代入式(3)并化簡(jiǎn)整理得：

式（4）和（5）確定了曲邊梯形的形心位置.

2 算例分析

算例 1 已知抗彎剛度 EI為常數(shù)的簡(jiǎn)支梁承受荷載如圖 2a所示，試求：截面 B的轉(zhuǎn)角.

解 先求出 A、B兩點(diǎn)處的支反力，并畫出梁的原有荷載彎矩圖 Mp(圖 2b)，以及在 B點(diǎn)處加單位力偶后的單位載荷彎矩圖 M(圖 2c).并在 CB、AC兩段進(jìn)行圖乘運(yùn)算.

圖2 算例1圖

由前面導(dǎo)出的公式可方便地求得CB段荷載彎矩圖中點(diǎn)縱坐標(biāo) y0，面積 ω 和形心 C1相對(duì)左端點(diǎn)的坐標(biāo) d1，進(jìn)而得到該部分原載荷圖形的形心 C1所對(duì)應(yīng)的單位載荷彎矩值，即

AC段的原載荷彎矩圖為一斜直線（見圖 2b），可按文獻(xiàn)[3]提出的方法再分段，則兩部分的面積和形心坐標(biāo)分別為

將所得到的參數(shù)代入得

由于計(jì)算結(jié)果顯示 B截面處轉(zhuǎn)角 θB為負(fù)值，這說明其逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng).

算例 2 已知抗彎剛度 EI為常數(shù)的簡(jiǎn)支梁承受荷載如圖 3a所示.求：截面 B的轉(zhuǎn)角.

解 首先求出點(diǎn) A、C處的約束反力，然后作出原載荷彎矩圖 Mp（圖 3b）和在截面 B施加單位力偶的彎矩圖 M（圖3c）.將在 AB、BC兩段進(jìn)行圖乘運(yùn)算.則有

圖3 算例2圖

式中 ω1、ω2分別為 AB、BC段原載荷彎矩圖的面積，而MC1、MC2為其原載荷圖形心對(duì)應(yīng)的單位載荷值.容易求得

由本文導(dǎo)出的公式可方便地求得BC段荷載彎矩圖中點(diǎn)縱坐標(biāo) y0，面積 ω2和形心相對(duì)于右端點(diǎn) C點(diǎn)的坐標(biāo) d2，從而可得到該部分原載荷圖形的形心所對(duì)應(yīng)的單位載荷彎矩值 MC2，即

將以上所有參數(shù)代入轉(zhuǎn)角 θB的計(jì)算公式得

由于計(jì)算結(jié)果顯示 B截面處轉(zhuǎn)角 θB為正值，這說明其順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng).

3 結(jié)束語

圖乘法是材料力學(xué)課程中用于求解受載構(gòu)件變形的一種重要方法.如何確定復(fù)雜問題彎曲圖的形心位置是解決此類問題的關(guān)鍵，本文推導(dǎo)出了一種簡(jiǎn)單實(shí)用的公式.算例表明，應(yīng)用所推導(dǎo)的公式進(jìn)行構(gòu)件變形計(jì)算，簡(jiǎn)化了運(yùn)算程序，降低了分析難度，不失為一種有效的算法.

〔1〕王放,陳志謙.《材料力學(xué)》課程教學(xué)改革與實(shí)踐[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào),2011,36(2):206-210.

〔2〕劉桂榮,韓立新.“材料力學(xué)”教學(xué)方法探索[J].中國電力教育,2011（25）:114-119.

〔3〕單建,呂令毅.結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].南京:東南大學(xué)出版社,2011.

〔4〕劉鴻文.材料力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2011.

O172.2

A

1673-260X（2014）08-0009-02

河南科技大學(xué)教學(xué)改革計(jì)劃重點(diǎn)資助項(xiàng)目(2009Z-028)