陳文靜

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅蘭州730070)

Gorenstein fp-平坦和強Gorenstein fp-平坦模

陳文靜

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅蘭州730070)

引入了Gorenstein fp-平坦模和強Gorenstein fp-平坦模的概念,討論了這兩類模的一些性質(zhì)、聯(lián)系以及穩(wěn)定性.

Gorenstein fp-平坦模;強Gorenstein fp-平坦模;投射可解類

1 引言及準(zhǔn)備

1969年,文獻(xiàn)[1]對雙邊Noether環(huán)上的有限生成模定義了G-維數(shù)為零的模.隨后,文獻(xiàn)[2-3]引入Gorenstein投射模、Gorenstein內(nèi)射模和Gorenstein平坦模的概念.2004年,文獻(xiàn)[4]引入了投射可解類和內(nèi)射可解類的概念.近年來,眾多學(xué)者對這些模類進行了研究[5-7].

2000年,文獻(xiàn)[8]引入了fp-投射模、fp-內(nèi)射模和fp-平坦模的概念.實際上,fp-投射模、fp-內(nèi)射模和fp-平坦模分別是投射模、FP-內(nèi)射模和平坦模的推廣.2011年,文獻(xiàn)[9]研究了這三種模,并得到了這些模與一些環(huán)的等價刻畫.

本文研究了Gorenstein fp-平坦和強Gorenstein fp-平坦模的一些性質(zhì)、聯(lián)系及穩(wěn)定性.

除非特別申明,環(huán)R是具有單位元的結(jié)合環(huán),所有涉及的模均是左酉模.對任意的模M,用M+表示模M的示性模HomZ(M,/).對未作解釋的事實和概念,請參見文獻(xiàn)[10].

稱左R-模M是Gorenstein平坦模[3],如果存在一個平坦左R-模的正合列

稱左R-模M是弱Gorenstein內(nèi)射模[7],如果存在一個內(nèi)射左R-模的正合列

稱左R-模M是強Gorenstein平坦模[6],如果存在一個投射左R-模的正合列

稱左R-模N是fp-平坦模[8],如果對任意有限表示右R-模的單同態(tài)K→L, K?RN→L?RN是單同態(tài).稱左R-模M是fp-內(nèi)射模[8],如果對任意有限表示左R-模的單同態(tài)K→L,HomR(L,M)→HomR(K,M)是滿同態(tài).對偶地可定義fp-投射模.

稱左R-模M是FP-內(nèi)射模[11],如果對任意有限表示左R-模

稱R是左IF環(huán)[12],如果每個內(nèi)射左R-模是平坦模.

2 Gorenstein fp-平坦模

定義2.1稱M是Gorenstein fp-平坦左R-模,如果存在一個平坦左R-模的正合列

注2.1(1)每個Gorenstein fp-平坦模是Gorenstein平坦模.

(2)Gorenstein fp-平坦模類關(guān)于直和封閉.

(3)若L=………→L1→L0→L0→L1→………滿足定義2.1,則由對稱性可知,L的所有核、像和上核都是Gorenstein fp-平坦模.

(4)如果M是Gorenstein fp-平坦左R-模,那么對任意的fp-內(nèi)射右R-模Q及正整數(shù)

(5)平坦模是Gorenstein fp-平坦模.

定義2.2稱左R-模M是Gorenstein fp-內(nèi)射模,如果存在一個內(nèi)射左R-模的正合列

定理2.1如果M是Gorenstein fp-平坦左R-模,那么M+是Gorenstein fp-內(nèi)射右R-模.

證明因為M是Gorenstein fp-平坦左R-模,所以存在平坦左R-模的正合列

是正合的,并且

是內(nèi)射右R-模的正合列,使得M+Im((F0)+→(F1)+).由伴隨同構(gòu)可得,

是正合的.因此,M+是Gorenstein fp-內(nèi)射右R-模.

定理2.2在凝聚環(huán)上Gorenstein fp-平坦模類是投射可解類,并且關(guān)于直和項封閉.

證明類似于文獻(xiàn)[4]中定理3.7的證明.

命題2.1設(shè)R是左Noether環(huán).則M是Gorenstein fp-平坦右R-模當(dāng)且僅

當(dāng)M是Gorenstein平坦的.

證明?)由注2.1,結(jié)論顯然.

?)設(shè)M是Gorenstein平坦右R-模.因為R是左Noether環(huán),所以R是左凝聚環(huán).故由文獻(xiàn)[9]中定理2.4,每個fp-內(nèi)射左R-模是FP-內(nèi)射的.在左Noether環(huán)上FP-內(nèi)射左R-模是內(nèi)射的,于是在左Noether環(huán)上fp-內(nèi)射左R-模是內(nèi)射的.因此,M是Gorenstein fp-平坦的.

命題2.2設(shè)R是雙邊IF環(huán).則每個弱Gorenstein內(nèi)射模是Gorenstein fp-平坦模.

證明設(shè)M是弱Gorenstein內(nèi)射模,于是存在內(nèi)射模的正合列

3 強Gorenstein fp-平坦模

定義3.1稱M是強Gorenstein fp-平坦左R-模,如果存在一個投射左R-模的正合列

注3.1(1)強Gorenstein fp-平坦模是強Gorenstein平坦模.

(2)強Gorenstein fp-平坦模類關(guān)于直和封閉.

(3)若L=………→L1→L0→L0→L1→………滿足定義3.1,則由對稱性可知,L的所有核、像和上核都是強Gorenstein fp-平坦模.

(4)投射模是強Gorenstein fp-平坦模.

引理3.1M是強Gorenstein fp-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)存在一個投射R-模的正合列

引理3.2設(shè)M是強Gorenstein fp-平坦模,Q是fp-平坦模.則有,對于i≥1,

引理3.3設(shè)M是R-模,Q是fp-平坦R-模.如果對任意正整數(shù)i有那么對于M的任意投射分解P,HomR(P,Q)是正合的.

命題3.1M是強Gorenstein fp-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)存在R-模的短正合列

其中P是投射模,N是強Gorenstein fp-平坦模.

證明?)由定義3.1,結(jié)論顯然.

?)因為N是強Gorenstein fp-平坦模,所以存在投射R-模的正合列

使得N～=Im(P0→P0),并且對任意fp-平坦模Q,HomR(P?,Q)是正合的.于是存在正合列

且HomR(X,Q)是正合的.由引理3.1,

是正合的.于是可得R-模的正合列

且HomR(Y,Q)是正合的.由引理3.2和引理3.3,對于M的任意投射分解Z,HomR(Z,Q)是正合的.不妨設(shè)

將Y和Z接起來可得投射R-模的正合列

使得M～=Im(P0→P),并且HomR(W,Q)是正合的.因此,M是強Gorenstein fp-平坦模.

引理3.4設(shè)0→M′→M→M′→0是R-模的短正合列.如果M′和M′是強Gorenstein fp-平坦模,那么M也是強Gorenstein fp-平坦模.

證明類似于文獻(xiàn)[5]中引理3.1的證明.

定理3.1強Gorenstein fp-平坦模類是投射可解類.

證明由注3.1,投射模是強Gorenstein fp-平坦模.考慮正合列

其中M′是強Gorenstein fp-平坦模.若M′是強Gorenstein fp-平坦模,則M是強Gorenstein fp-平坦模.設(shè)M是強Gorenstein fp-平坦模.則存在R-模的短正合列

其中P是投射模,N是強Gorenstein fp-平坦模.考慮M→P和M→M′的推出:

因為N和M′′是強Gorenstein fp-平坦模,所以由引理3.4,A是強Gorenstein fp-平坦模.因為P是投射模,A是強Gorenstein fp-平坦模,所以由命題3.1,M′是強Gorenstein fp-平坦模.

推論3.1每個強Gorenstein fp-平坦右R-模是Gorenstein fp-平坦右R-模.

證明由注3.1和定理3.1知,類似于文獻(xiàn)[4]中命題1.4的證明.

定理3.2設(shè)0→M→N→L→0是R-模的短正合列.如果M和N是強Gorenstein fp-平坦模,那么L是強Gorenstein fp-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)對任意fp-平坦模

證明?)由引理3.2,結(jié)論顯然.

?)因為M是強Gorenstein fp-平坦模,所以存在R-模的短正合列

其中P是投射模,A是強Gorenstein fp-平坦模.考慮M→P和M→N的推出:

B是強Gorenstein fp-平坦模.于是存在R-模的短正合列0→B→H→C→0,其中H是投射模,C是強Gorenstein fp-平坦模.考慮B→L和B→H的推出:

證明?)由定義3.1和注3.1易得.

?)由引理3.2和引理3.3得,對于M的任意投射分解X,HomR(X,Q)是正合的.不妨設(shè)

另一方面,令A(yù)i=Im(Gi→Gi+1).因為G0是強Gorenstein fp-平坦模,所以由命題3.1,存在R-模的短正合列

其中P0是投射模,B是強Gorenstein fp-平坦模.考慮G0→A0和G0→P0的推出:

且HomR(G?,Q)是正合的.繼續(xù)同樣的方法.于是可得R-模的正合列

其中每個Pi是投射模,并且HomR(Y,Q)是正合的.將X和Y接起來,可得投射模的正合列

命題3.2每個強Gorenstein fp-平坦右R-模是Gorenstein fp-平坦右R-模.

證明由定義2.1,定義3.1,文獻(xiàn)[9]中引理2.1,類似于本文定理2.1的證明.

命題3.3設(shè)R是左凝聚環(huán).則M是強Gorenstein fp-平坦右R-模當(dāng)且僅當(dāng)M是強Gorenstein平坦右R-模.

證明?)由注3.1,M是強Gorenstein平坦右R-模.

?)設(shè)M是強Gorenstein平坦右R-模.因為R是左凝聚環(huán),所以由文獻(xiàn)[9]中定理2.4得,每個fp-平坦右R-模是平坦模.因此M是強Gorenstein fp-平坦右R-模.

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2010 MSC:16D40

《純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》稿約

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Gorenstein fp-flat and strongly Gorenstein fp- fl at modules

Chen Wenjing
(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou730070,China)

The notions of Gorenstein fp- fl at and strongly Gorenstein fp- fl at modules are introduced,and the properties,connections as well as stability of two classes of these modules are discussed.

Gorenstein fp- fl at module,strongly Gorenstein fp- fl at module,projectively resolving

O153.3

A

1008-5513(2014)03-0323-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.03.015

2013-11-17.

國家自然科學(xué)基金(11261050).

陳文靜(1989-),碩士生,研究方向：同調(diào)代數(shù).