朱代根+陳君若+李明

摘要：基于Fick擴散第二定律和Fourier定律，建立了胡蘿卜熱風干燥的二維數(shù)學模型，模型中熱空氣和胡蘿卜的物理性能均用局部溫度和濕度值表示，用有限元軟件COMSOL Multiphysics 3.3對熱質(zhì)耦合傳遞偏微分方程組進行求解，干燥過程的模型預測結(jié)果與試驗實測結(jié)果相吻合，所建立的模型可以用來預測食品熱風干燥過程。同時在干燥過程中初始溫度、空氣速度對胡蘿卜水分變化影響小，干燥溫度和物料尺寸大小對胡蘿卜水分變化影響大。

關(guān)鍵詞：胡蘿卜；干燥；熱質(zhì)傳遞；數(shù)學模型

中圖分類號： TS255.3文獻標志碼： A文章編號：1002-1302（2014）02-0201-03

收稿日期：2013-03-18

基金項目：國家自然科學基金（編號：31100424）；云南省教育廳科學研究基金（編號：2012C096）。

作者簡介：朱代根（1979—），男，福建順昌人，博士研究生，從事機械系統(tǒng)多相耦合理論及其數(shù)值模擬研究。E-mail：argen243 @163.com。

通信作者：陳君若，教授，博士生導師。E-mail：chenjunmo@126.com。熱風干燥是目前最簡單、經(jīng)濟的干燥方法之一，具有熱效率高、干燥速率快、設備投資費用低等優(yōu)勢。當干熱空氣流過物料的表面時，將熱量傳遞給物料的同時帶走物料的水分，從而便于物料的包裝、運輸、貯存、加工和使用。通常熱空氣的溫度為40 ℃到80 ℃，流動速度為0.5 m/s到5 m/s[1]。

干燥過程是一個復雜的傳熱傳質(zhì)過程，對干燥過程進行準確的預測，可提高物料的干燥品質(zhì)，減少能源消耗，為進一步優(yōu)化干燥工藝和設備研究提供理論依據(jù)。目前國內(nèi)外對胡蘿卜熱風干燥進行了大量的試驗和模擬研究。Doymaz[2]、劉正懷等[3]、彭桂蘭等[4]研究了不同干燥介質(zhì)溫度、濕度、速度以及胡蘿卜尺寸等因素對胡蘿卜熱風干燥的影響。由于影響干燥過程的因素很多，為了簡化干燥數(shù)學模型，因此研究人員[3-6]建立了薄層干燥模型。

劉國紅等基于Fick第二擴散定律和Fourier定律，建立了胡蘿卜熱風干燥的一維數(shù)學模型，采用有限差分法進行求解[7]。Aversa等建立了食品對流干燥的多物理場數(shù)學模型，用有限元法進行求解，分析不同干燥介質(zhì)溫度、濕度、速度以及胡蘿卜尺寸等因素對胡蘿卜熱風干燥的影響[1，8-11]。模型能夠模擬食物內(nèi)自由水和束縛水的傳遞，但其模擬結(jié)果[1，8]與實驗數(shù)據(jù)有一定的偏差，特別是干燥開始2 h后偏差更大。

本研究基于Fick擴散第二定律和Fourier定律，建立了胡蘿卜熱風干燥的二維數(shù)學模型，采用有限元法進行求解，分析干燥過程的熱質(zhì)耦合傳遞現(xiàn)象。

1數(shù)學模型

干燥過程的本質(zhì)是一個動量、能量和質(zhì)量的耦合傳遞過程[12]。一方面，物料從干燥介質(zhì)吸收熱量，能量由物料的外部向其內(nèi)部進行傳遞；另一方面，物料內(nèi)部的水分則由內(nèi)向外傳遞，直到物料的含水量降低至滿足工藝要求為止。在物料內(nèi)部熱量通過傳導來傳遞，水分通過擴散來傳遞。

1.1基本假設

為了簡化模型的建立和求解，做如下假設：（1）物料內(nèi)部熱量只通過傳導來傳遞；（2）物料內(nèi)部質(zhì)量只通過擴散來傳遞，不考慮其他傳遞方式；（3）干燥過程不考慮物料的收縮；（4）胡蘿卜塊各向同性；（5）不考慮蒸汽冷凝現(xiàn)象。

1.2控制方程

根據(jù)Fourier定律，通過能量守恒可得到被干燥胡蘿卜內(nèi)熱導的微分方程：

1.3初始條件

1.4邊界條件

1.5相間傳遞系數(shù)確定

1.6求解方法

控制方程和邊界條件組成了一非線性偏微分方程組，用解析方法不能求出方程組的解，因此本研究利用有限元軟件COMSOL Multiphysics 3.3求解。應用軟件中的廣義傳熱和擴散兩個模型來耦合求解方程組。該軟件實質(zhì)上是一個多重物理量偏微分方程求解工具，它一個重要特征是用戶可以集中于模型本身，而不必花太多時間考慮方程求解和結(jié)果可視化問題。

2結(jié)果與分析

2.1模型的驗證

計算結(jié)果與Bialobrzewski等[15]提供的試驗數(shù)據(jù)相比較進行驗證。通過本試驗獲得的數(shù)據(jù)（胡蘿卜的尺寸、初始水分含量、初始溫度，熱空氣的溫度、速度）。

圖1和圖2為胡蘿卜立方體邊長為10 mm，初始水分含量為8.2，初始溫度為25 ℃，熱空氣的速度為4 m/s時，在不同的干燥溫度下，熱風干燥過程胡蘿卜溫濕度隨時間變化的計算結(jié)果和實驗實測數(shù)據(jù)的比較。

2.2干燥參數(shù)對干燥過程中物料水分含量變化的影響

圖3給出了胡蘿卜不同初始溫度（25、30、35 ℃）對干燥過程其水分含量變化的影響。由公式（4）可知道，溫度越高，水分在物料內(nèi)的有效擴散系數(shù)越大，因此初始溫度為35 ℃時，胡蘿卜的水分含量下降最快，但不同初始溫度對胡蘿卜水含量的變化影響小。Aversa等[1]模擬結(jié)果表明，當初始溫度較低時，物料表面會出現(xiàn)冷凝現(xiàn)象，干燥開始階段物料的水分含量會有所上升。由于冷凝現(xiàn)象只出現(xiàn)在干燥的開始階段，且對干燥過程影響小，所以本研究所建的模型沒有考慮蒸汽冷凝問題。

根據(jù)相間傳遞系數(shù)確定方法可知，空氣速度的變化直接影響雷諾數(shù)，進而影響物料表面的熱質(zhì)傳遞系數(shù)hT和hm。提高空氣速度使物料表面的熱質(zhì)傳遞系數(shù)均增大，因此，空氣速度越大，則胡蘿卜的干燥速率越快。圖4顯示，空氣速度為4.0 m/s時，胡蘿卜的水分含量下降最快，但空氣速度對物料內(nèi)部的熱質(zhì)傳遞系數(shù)影響小，所以空氣速度對水分含量的變化影響小。

根據(jù)物料的性能參數(shù)和相間傳遞系數(shù)確定方法可知，隨著空氣溫度升高，則物料內(nèi)部和表面熱質(zhì)傳遞系數(shù)均增大。因此，空氣溫度越高，則胡蘿卜的干燥速率越快。結(jié)果（圖5）顯示，空氣溫度為90 ℃時，胡蘿卜的水分含量下降最快。胡蘿卜干燥過程中，空氣溫度一般不超過70 ℃，否則干燥產(chǎn)品質(zhì)量將顯著變差[2]。與物料初始溫度及空氣速度相比，干燥溫度對物料水分含量的影響較大。endprint

圖6給出了不同胡蘿卜厚度（立方體邊長為5、10、20 mm）對干燥過程其水分含量變化的影響。根據(jù)相間傳遞系數(shù)確定方法可知，隨著胡蘿卜尺寸增大，物料表面熱質(zhì)傳遞系數(shù)減小。同時尺寸增大，增長了物料內(nèi)部熱質(zhì)傳遞的路徑長度，進而降低了物料干燥速率。結(jié)果表明，胡蘿卜尺寸最小時，其干燥速率最快。

3結(jié)論

本研究基于Fick擴散第二定律和Fourier定律，建立了胡蘿卜熱風干燥的二維數(shù)學模型，模型中熱空氣和胡蘿卜的物理性能均用當前局部溫度和水分含量表示，并且充分考慮了熱質(zhì)耦合作用。用有限元法對熱質(zhì)耦合傳遞的偏微分方程組進行了求解。結(jié)果表明，所建模型的計算結(jié)果與試驗實測結(jié)果相吻合，可以用來模擬和預測物料的干燥過程，得到任意時刻物料內(nèi)部的溫度和水分含量。在干燥工藝參數(shù)中，物料初始溫度和空氣速度對物料水分含量變化影響小，物料的幾何尺寸和干燥溫度對水分含量變化影響大；提高干燥溫度和減小物料的幾何尺寸能明顯提高物料干燥速率。

參考文獻：

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[15]Bialobrzewski I，Zielinska M，Mujumdar A S，et al. Heat and mass transfer during drying of a bed of shrinking particles-Simulation for carrot cubes dried in a spout-fluidized-bed drier[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer，2008，51（19/20）：4704-4716.

[16]Bird R B，Stewart W E，Lightfoot E N. Transport phenomena[M]. New York：John Wiley & Sons Inc，2002.endprint

圖6給出了不同胡蘿卜厚度（立方體邊長為5、10、20 mm）對干燥過程其水分含量變化的影響。根據(jù)相間傳遞系數(shù)確定方法可知，隨著胡蘿卜尺寸增大，物料表面熱質(zhì)傳遞系數(shù)減小。同時尺寸增大，增長了物料內(nèi)部熱質(zhì)傳遞的路徑長度，進而降低了物料干燥速率。結(jié)果表明，胡蘿卜尺寸最小時，其干燥速率最快。

3結(jié)論

本研究基于Fick擴散第二定律和Fourier定律，建立了胡蘿卜熱風干燥的二維數(shù)學模型，模型中熱空氣和胡蘿卜的物理性能均用當前局部溫度和水分含量表示，并且充分考慮了熱質(zhì)耦合作用。用有限元法對熱質(zhì)耦合傳遞的偏微分方程組進行了求解。結(jié)果表明，所建模型的計算結(jié)果與試驗實測結(jié)果相吻合，可以用來模擬和預測物料的干燥過程，得到任意時刻物料內(nèi)部的溫度和水分含量。在干燥工藝參數(shù)中，物料初始溫度和空氣速度對物料水分含量變化影響小，物料的幾何尺寸和干燥溫度對水分含量變化影響大；提高干燥溫度和減小物料的幾何尺寸能明顯提高物料干燥速率。

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圖6給出了不同胡蘿卜厚度（立方體邊長為5、10、20 mm）對干燥過程其水分含量變化的影響。根據(jù)相間傳遞系數(shù)確定方法可知，隨著胡蘿卜尺寸增大，物料表面熱質(zhì)傳遞系數(shù)減小。同時尺寸增大，增長了物料內(nèi)部熱質(zhì)傳遞的路徑長度，進而降低了物料干燥速率。結(jié)果表明，胡蘿卜尺寸最小時，其干燥速率最快。

3結(jié)論

本研究基于Fick擴散第二定律和Fourier定律，建立了胡蘿卜熱風干燥的二維數(shù)學模型，模型中熱空氣和胡蘿卜的物理性能均用當前局部溫度和水分含量表示，并且充分考慮了熱質(zhì)耦合作用。用有限元法對熱質(zhì)耦合傳遞的偏微分方程組進行了求解。結(jié)果表明，所建模型的計算結(jié)果與試驗實測結(jié)果相吻合，可以用來模擬和預測物料的干燥過程，得到任意時刻物料內(nèi)部的溫度和水分含量。在干燥工藝參數(shù)中，物料初始溫度和空氣速度對物料水分含量變化影響小，物料的幾何尺寸和干燥溫度對水分含量變化影響大；提高干燥溫度和減小物料的幾何尺寸能明顯提高物料干燥速率。

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[16]Bird R B，Stewart W E，Lightfoot E N. Transport phenomena[M]. New York：John Wiley & Sons Inc，2002.endprint