鄭 金

（凌源市職教中心 遼寧 朝陽(yáng) 122500）

在線性阻力作用下的拋體運(yùn)動(dòng)過程屬于瞬態(tài)過程，而線性力的沖量具有某一特性，因此對(duì)這類拋體運(yùn)動(dòng)問題的解答有規(guī)可循.

下面將利用兩個(gè)結(jié)論對(duì)3種不同形式的線性阻尼拋體運(yùn)動(dòng)問題進(jìn)行探究.

1 瞬態(tài)過程的結(jié)論

對(duì)于一個(gè)變量x＝f（t），設(shè)其初始值為x0＝f（0），穩(wěn)態(tài)值為x∞＝f（∞），若滿足一階常系數(shù)線性微分方程

則其解為

即

若變量x＝f（t）是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則式中的常系數(shù)τ為時(shí)間常量，其國(guó)際單位是s.

由此可見，瞬態(tài)過程變量x隨時(shí)間t按指數(shù)規(guī)律變化.

2 線性力沖量的結(jié)論

與速度成正比的力稱為正比例線性力，形如f＝kv.當(dāng)力與速度共線時(shí)，力在一段時(shí)間Δt內(nèi)的平均值為則其沖量為

這表明與速度共線的正比例線性力的沖量跟位移成正比.

3 結(jié)論應(yīng)用

【例1】一質(zhì)量為m的物體，由地面以初速度v0豎直向上拋出，空氣阻力為f＝－kv.求：

（1）物體到達(dá)最大高度所需時(shí)間；

（2）最大高度；

（3）位移與時(shí)間的關(guān)系式.

解析：（1）取地面為原點(diǎn)，以豎直向上為正方向，由牛頓第二定律有

由此得關(guān)于v的一階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

當(dāng)物體到達(dá)最大高度時(shí)，速度v＝0，則有

即

所以時(shí)間為

若kv0mg，則由公式

（2）對(duì)上升過程由動(dòng)量定理有

可得最大高度為

若kv0mg，則由公式

得

（3）對(duì)上升到任意高度y的過程由動(dòng)量定理有

將該式與速度關(guān)系式聯(lián)立，得位移關(guān)系式為

對(duì)于豎直上拋運(yùn)動(dòng)物體所受阻力與重力方向相同；而對(duì)于豎直下拋運(yùn)動(dòng)物體所受阻力與重力方向相反.因此在由牛頓第二定律和動(dòng)量定理列方程時(shí)要注意物理量的正負(fù)號(hào).

【例2】將一質(zhì)量為m的物體以初速度v0豎直向上拋出，已知物體在運(yùn)動(dòng)過程中所受空氣阻力的大小與其運(yùn)動(dòng)速率成正比，比例系數(shù)為k.若物體能夠上升的最大高度為H，則其上升過程所用的時(shí)間應(yīng)為

解法1：與例1的解法相同，由牛頓第二定律列微分方程

由瞬態(tài)過程的結(jié)論得速度隨時(shí)間變化的關(guān)系式

令v＝0，得時(shí)間為，題中沒有該選項(xiàng).

解法2：對(duì)上升過程由動(dòng)量定理有

得時(shí)間為

所以選項(xiàng)B正確.

利用例1的結(jié)果可知物體上升的最大高度為

將此式變形為

可見該題兩種解法所得結(jié)果是等價(jià)的，只是形式不同.

【例3】如圖1所示，質(zhì)量為m的小球在高度為h處自A點(diǎn)以水平速度v0拋出，在重力和空氣阻力作用下，經(jīng)一段時(shí)間后落在地面上B點(diǎn)，設(shè)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度為vt，其方向與水平方向成θ角，小球在運(yùn)動(dòng)中受到的空氣阻力為f＝－kv，其中k為正常量，v為小球在運(yùn)動(dòng)中的速度，試求：

（1）落地時(shí)的速度vt的大?。?/p>

（2）水平位移x的大??；

（3）運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的大小.

圖1

解析：（1）把運(yùn)動(dòng)沿著水平方向和豎直方向進(jìn)行分解，分別以初速度方向和豎直向下為正方向，由牛頓第二定律分別列微分方程為

將之化為標(biāo)準(zhǔn)形式為

則有

已知v0x＝v0，v0y＝0，由瞬態(tài)過程的結(jié)論可知速度隨時(shí)間變化的關(guān)系式為

分運(yùn)動(dòng)速度變化的瞬態(tài)過程如圖2所示.

圖2

（2）對(duì)水平分運(yùn)動(dòng)由動(dòng)量定理有

所以水平位移為

（3）對(duì)豎直分運(yùn)動(dòng)由動(dòng)量定理有

可得運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

所以

【例4】設(shè)質(zhì)量為m的拋射體初速度為v0，拋射角為α，在空氣中運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受阻力與速率成正比，比例系數(shù)為k，即f＝kv.取平面直角坐標(biāo)系xOy如圖3所示，起拋點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸沿水平方向，y軸垂直于地面向上.求

（1）速度變化規(guī)律；

（2）位移變化規(guī)律；

（3）運(yùn)動(dòng)軌跡方程；

（4）最高點(diǎn)坐標(biāo).

圖3

解析：（1）速度求解方法與例3相同，水平速度隨時(shí)間變化的關(guān)系式為

以豎直向上為正方向，由牛頓第二定律列微分方程為

化為標(biāo)準(zhǔn)形式為

則

已知v0y＝v0sinα，由瞬態(tài)過程的結(jié)論可知豎直分速度為

（2）對(duì)水平分運(yùn)動(dòng)由動(dòng)量定理有

得水平位移為

對(duì)豎直分運(yùn)動(dòng)由動(dòng)量定理有

得豎直位移為

（3）由水平位移關(guān)系式得

則

可得時(shí)間為

把上述關(guān)系式代入豎直位移關(guān)系式中得拋射體軌跡方程為

（4）上升到最大高度時(shí)，豎直分速度為零，由vy＝0，得

經(jīng)歷的時(shí)間為

對(duì)豎直分運(yùn)動(dòng)由動(dòng)量定理有

所以最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

綜上可見，在線性阻力作用下的拋體運(yùn)動(dòng)包括豎拋運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)和斜拋運(yùn)動(dòng)，對(duì)于曲線運(yùn)動(dòng)需分解為直線運(yùn)動(dòng).解題的關(guān)鍵是列出兩種方程，即由牛頓第二定律列合外力與加速度關(guān)系的微分方程；由動(dòng)量定理列沖量與動(dòng)量變化關(guān)系的方程.由于線性阻尼拋體運(yùn)動(dòng)過程為瞬態(tài)過程，因此可利用瞬態(tài)過程的結(jié)論和線性力沖量的結(jié)論使問題化繁為簡(jiǎn)，避免了微積分運(yùn)算，使解題思路和過程顯得非常清晰、簡(jiǎn)捷.

1 陽(yáng)喜元，蔣彬.有關(guān)大學(xué)物理微積分應(yīng)用的若干問題.物理通報(bào)，2011（6）：16

2 周青春.考慮空氣阻力時(shí)的上拋運(yùn)動(dòng).物理通報(bào)，2002（6）：11

3 趙堅(jiān).一道高三統(tǒng)一測(cè)試題引發(fā)的思考與爭(zhēng)議.物理通報(bào)，2004（10）：39～40

4 陸興中.阻尼斜拋運(yùn)動(dòng)的物理規(guī)律分析.物理通報(bào)，2004（7）：7～8