胡昌勝

（樅陽縣宏實(shí)中學(xué) 安徽 安慶 246700）

等量異種點(diǎn)電荷的電場(chǎng)是靜電場(chǎng)中的重要內(nèi)容，也是難點(diǎn)內(nèi)容.準(zhǔn)確全面認(rèn)識(shí)等量異種點(diǎn)電荷的電場(chǎng)，對(duì)學(xué)好靜電場(chǎng)的內(nèi)容尤為重要.本文通過理論分析輔助多媒體作圖確定等量異種點(diǎn)電荷的電場(chǎng)分布情況.下面我們按照從簡單到復(fù)雜的原則，先從兩條線（等量異種點(diǎn)電荷的連線、連線的中垂線）上的電場(chǎng)入手進(jìn)行分析.

1 等量異種點(diǎn)電荷連線上的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)

等量異種點(diǎn)電荷的電場(chǎng)分布圖如圖1所示，根據(jù)電場(chǎng)線的疏密程度，我們知道連線上越靠近中點(diǎn)O場(chǎng)強(qiáng)越小，兩側(cè)關(guān)于連線中點(diǎn)O對(duì)稱.

可進(jìn)行理論證明如下：

圖1

設(shè)兩點(diǎn)電荷電荷量分別為＋Q和－Q，兩電荷間的距離為2L，以O(shè)為原點(diǎn)，連線為x軸建立直角坐標(biāo)系如圖2所示，我們討論連線或連線的延長線上P（x，0）點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.

圖2

規(guī)定＋x方向?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度E的正方向，則由點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式及電場(chǎng)的疊加原理知P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為［1］

可見E是x的函數(shù)，用幾何畫板作圖如圖3所示（以從正電荷指向負(fù)電荷為電場(chǎng)強(qiáng)度E的正方向）.

圖3

結(jié)論1：在等量異種點(diǎn)電荷的連線上，從連線中點(diǎn)沿連線向兩電荷移動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度逐漸增大，在連線的延長線上，離點(diǎn)電荷越遠(yuǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度越小，且二者連線上電場(chǎng)強(qiáng)度大小關(guān)于中點(diǎn)O對(duì)稱，中點(diǎn)位置的電場(chǎng)強(qiáng)度最小，但不為零.

【例1】（2009年高考上海卷第3題）兩帶電荷量分別為q和－q的點(diǎn)電荷放在x軸上，相距為L，能正確反映兩電荷連線上場(chǎng)強(qiáng)大小E與x關(guān)系的是圖4中的

圖4

解析：根據(jù)等量異種點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線的分布情況可知，靠近兩點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度較大，中點(diǎn)的最小，但不是零，因此正確的選項(xiàng)為A；或直接由圖3知正確答案為A.

電勢(shì)高低變化.

理論推導(dǎo)：規(guī)定無限遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，則由點(diǎn)電荷電場(chǎng)的電勢(shì)的計(jì)算式可得圖2中P（x，0）點(diǎn)的電勢(shì)為［2］

可見φ是x的函數(shù)，用幾何畫板作圖如圖5所示.

圖5

結(jié)論2：在等量異種點(diǎn)電荷的連線上，從正電荷向負(fù)電荷移動(dòng)時(shí)，電勢(shì)逐漸降低；連線中點(diǎn)電勢(shì)為零，靠近正電荷一側(cè)電勢(shì)大于零，靠近負(fù)電荷一側(cè)電勢(shì)小零.在連線的延長線上，離正點(diǎn)電荷越遠(yuǎn)電勢(shì)越低，離負(fù)點(diǎn)電荷越遠(yuǎn)電勢(shì)越高.

【例2】（2011年高考上海卷第14題）兩個(gè)等量異種點(diǎn)電荷位于x軸上，相對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱分布，正確描述電勢(shì)φ隨位置x變化規(guī)律的是圖6中的

圖6

解析：由于沿電場(chǎng)線方向電勢(shì)降低，所以正電荷處電勢(shì)最高，負(fù)電荷處電勢(shì)最低.由于兩電荷電荷量相等，其連線中點(diǎn)電勢(shì)為零，故選A；或由圖5知，圖6中A圖正確.

2 等量異種點(diǎn)電荷連線的中垂線（面）上電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)

以連線中點(diǎn)O為原點(diǎn)，連線為x軸建立直角坐標(biāo)系如圖7所示.設(shè)等量異種點(diǎn)電荷連線的中垂線上P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y），則由點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式得：

圖7

電荷＋Q在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為

電荷－Q在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為

方向與連線的夾角均為θ，則由場(chǎng)的疊加原理得

而

從上式可以看出，當(dāng)y絕對(duì)值增大時(shí)，E減小.

幾何畫板作圖如圖8所示.

圖8

結(jié)論3：在等量異種點(diǎn)電荷連線的中垂線（面）上，從垂足沿中垂線（面）向外側(cè)移動(dòng)時(shí)，中垂線（面）上的各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度減小且中垂線（面）上關(guān)于中點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)相同，方向始終垂直于中垂線（面）指向負(fù)電荷一側(cè).

電勢(shì)高低分析：

若規(guī)定無窮遠(yuǎn)電勢(shì)為零，則等量異種點(diǎn)電荷連線的中垂線（面）上P（0，y）的電勢(shì)為

結(jié)論4：等量異種點(diǎn)電荷連線的中垂線（面）上任意一點(diǎn)電勢(shì)均為零，即等量異種點(diǎn)電荷連線的中垂線（面）是零勢(shì)線（面）.

3 等量異種點(diǎn)電荷電場(chǎng)中幾類特殊點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)

3.1 關(guān)于連線中點(diǎn)對(duì)稱的任兩點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)

理論證明：如圖9所示，我們研究等量異種點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中關(guān)于連線中點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)M，N的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)的關(guān)系.兩電荷在M，N兩點(diǎn)均產(chǎn)生電場(chǎng)，方向如圖10所示.因M，N關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，故可設(shè)則根據(jù)點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式可知場(chǎng)強(qiáng)大小關(guān)系為.又由幾何知識(shí)可知四邊形AMBN為平形四邊形，因此EA1與EB2的方向相同，EA2與EB1的方向相同，即兩矢量分別相等EA1＝EB2，EA2＝EB1，合場(chǎng)強(qiáng)也相等.

圖9

圖10

結(jié)論5：等量異種點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的任兩個(gè)關(guān)于連線中點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度總相同，以中垂線為界靠近正電荷一側(cè)的各點(diǎn)的電勢(shì)總高于靠近負(fù)電荷一側(cè)的各點(diǎn)電勢(shì).

3.2 等量異種點(diǎn)電荷連線的垂線（面）上各點(diǎn)電勢(shì)

以等量異種點(diǎn)電荷的連線中點(diǎn)O為原點(diǎn)，連線為x軸建立直角坐標(biāo)系，研究直線x＝a（常數(shù)）上各點(diǎn)的電勢(shì)φ隨y的變化，即連線的某一垂線（面）內(nèi)各點(diǎn)電勢(shì)的變化情況，設(shè)點(diǎn)為P（a，y），如圖11所示.

圖11

由點(diǎn)電荷電勢(shì)的計(jì)算式及電勢(shì)的合成得

幾何畫板作圖如圖12所示.

圖12

結(jié)論6：若連線的垂線（面）在中垂線靠近正電荷一側(cè)，則從垂足沿垂線（面）往外側(cè)電勢(shì)逐漸降低，如圖12（a）；若連線的垂線（面）在中垂線靠近負(fù)電荷一側(cè)，則從垂足沿垂線（面）往外側(cè)電勢(shì)逐漸升高，如圖12（b），且關(guān)于連線對(duì)稱.如以連線上任一點(diǎn)為圓心在垂直連線的平面內(nèi)作圓，圓上各點(diǎn)電勢(shì)相等.

3.3 等量異種點(diǎn)電荷連線的平行線上各點(diǎn)電勢(shì)

以等量異種點(diǎn)電荷的連線中點(diǎn)O為原點(diǎn)，連線為x軸建立直角坐標(biāo)系，研究直線y＝b（常數(shù)）上各點(diǎn)的電勢(shì)φ隨x的變化，即連線的某一平行線上各點(diǎn)電勢(shì)的變化情況，設(shè)點(diǎn)為P（x，b），如圖13，則

圖13

幾何畫板作圖如圖14所示.

圖14

結(jié)論7：在等量異種點(diǎn)電荷連線的平行線上，從正電荷一側(cè)指向負(fù)電荷一側(cè)電勢(shì)逐漸降低，且關(guān)于中垂線對(duì)稱的兩點(diǎn)電勢(shì)絕對(duì)值相等.

【例3】如圖15所示，由ABCD－abcd作為定點(diǎn)構(gòu)成一正方體空間，在頂點(diǎn)A，c兩處放等量異種電點(diǎn)荷，則下列說法正確的是

A.a，C兩點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)相同

B.D，b兩點(diǎn)間電勢(shì)相等

C.D，d兩點(diǎn)間電勢(shì)差大于B，b兩點(diǎn)間電勢(shì)差

D.負(fù)電荷沿BCD從B點(diǎn)到D點(diǎn)電場(chǎng)力做正功

圖15

解析：設(shè)正方體的中心為O點(diǎn)，由正方體的空間特點(diǎn)可知，a與C關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，則由結(jié)論5可知答案A正確.D與b也關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，但D與b分別位于等量異種點(diǎn)電荷垂直平分線的兩側(cè)，其中D在靠近正電荷的一側(cè)，由結(jié)論5知電勢(shì)高于b點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò).

B和D在垂直A與c連線的同一面內(nèi)且到連線的距離相等，由結(jié)論6可知φB＝φD；b，d在垂直A，c連線的另一面內(nèi)，到連線的距離也相等，故φb＝φd，得UDd＝UBb，所以選項(xiàng)C和D均錯(cuò).

研究等量異種點(diǎn)電荷的電場(chǎng)時(shí)，理論分析輔以幾何畫板作圖，讓等量異種點(diǎn)電荷的電場(chǎng)理性但不失感性，抽象不乏形象，將無法感知的電場(chǎng)立體、生動(dòng)地呈現(xiàn)在我們眼前，同時(shí)也提供了數(shù)形結(jié)合法解決物理問題的絕好范例.

1 梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學(xué).北京：高等教育出版社 ，1980.12

2 陳燕.兩等量異種點(diǎn)電荷電場(chǎng)的探討.物理教師，2012（02）：21