高卓

（華南農(nóng)業(yè)大學 珠江學院，廣東 廣州 510900）

淺析轉移矩陣分析法的應用

高卓

（華南農(nóng)業(yè)大學 珠江學院，廣東 廣州 510900）

隨機變量只要具有馬爾可夫隨機過程的特征，都可以用轉移矩陣法構建數(shù)學模型進行分析.通過教學質量評價的實例來說明怎么使用轉移矩陣分析法，并得到用轉移矩陣分析法進行評價能更好地反映學習的轉變情況.

馬爾可夫鏈；轉移矩陣分析法；數(shù)學模型

1 知識背景

20世紀初，俄國數(shù)學家馬爾科夫提出了轉移矩陣，他發(fā)現(xiàn)：一個系統(tǒng)的某些因素在轉移中，第n次結果只受第n-1的結果影響，即只與當前所處狀態(tài)有關，而與過去狀態(tài)無關.就像荷花池中的一只青蛙的跳躍一樣，青蛙依照它起跳瞬間的念頭從一片荷葉跳到另一片荷葉上，因為青蛙是沒有記憶的，當現(xiàn)在所處位置已知時，它下一步跳往何處和它以往走過的路徑無關.現(xiàn)假設所有可能的狀態(tài)為1,2,…,n，則Pij表示系統(tǒng)由狀態(tài)i經(jīng)過一次轉移后到達狀態(tài)j的概率，那么轉移矩陣為

如果從初始狀態(tài)S0出發(fā)，經(jīng)過n步轉移之后的狀態(tài)Sn=S0Pn，那么當n→∞時的極限狀態(tài)就為齊次馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布.設平穩(wěn)分布為S，則有S=SP，即(I-PT)ST=0可以得到平穩(wěn)分布S=(s1,s2,…, sn)，其中I為單位矩陣.

2 實例分析

實例分析怎樣運用轉移矩陣分析法對兩名數(shù)學教師的教學質量進行評估.

設某校同一年級相同專業(yè)的兩個班A、B，每個班各有48名學生，第一學期由同一個數(shù)學老師任教高等數(shù)學（上），但第二學期分別由兩名老師任教高等數(shù)學（下），以下兩表為兩個班的高等數(shù)學（上、下）期末成績，試分析哪班的數(shù)學老師教學效果更好一些.

表1 A班考試成績

表2 B班考試成績

如果單從均分來衡量兩個班的教學效果，則根據(jù)A班高等數(shù)學（下）的平均分為58.83，而B班為68.69，顯然B班要好于A班.但是A班高等數(shù)學（上）的平均分為62.81，B班為72.88，明顯B班高于A班，所以單憑均分考慮的話就忽略了兩個班學生的基礎差異，學生從第一學期到第二學期學習進步情況沒有反應出來，并不能真實反應教師的教學質量.而利用轉移矩陣分析法就可以較好地彌補這一缺陷.

3 數(shù)學模型

我們將學生的考試成績分為五個等級：不及格[0,60)、及格[60,70)、中[70,80)、良[80,90)和優(yōu)[90,100]，分別用狀態(tài)1,2,3,4,5表示.成績的變化過程可以看做以{1,2,3,4,5}為狀態(tài)空間的馬爾可夫鏈.我們用ni表示高等數(shù)學（上）處于狀態(tài)i的總人數(shù)，nij表示由高等數(shù)學（上）的狀態(tài)i轉移到高等數(shù)學（下）的狀態(tài)j的人數(shù)，則反映學生從i轉移到j的可能性大小，Pij構成轉移矩陣P.由表1和表2得到A班和B班的轉移數(shù)據(jù)如表3.

表3 兩個班的轉移數(shù)據(jù)

由此得到A班和B班的轉移矩陣分別為：

分別代入 (I-PT)ST=0，并加入方程s1+s2+s3+s4+s5=1，得到兩個方程組，如下：

利用Excel可以解出方程組A的解為：

從這兩組解可以看出，如果兩個班的教學條件一直保持不變，兩個班的不及格率都達到一半以上，并且比較接近，都為56%左右.若為了對遠期的整體情況進行評估，可取每個狀態(tài)的中值為等級分，比如狀態(tài)1不及格[0,60)為30分，狀態(tài)2及格[60,70)為65分，以此類推，狀態(tài)5優(yōu)[90,100]為95分，則兩個班的預期總分分別為：

由此可見，SA>SB，即A班教師的教學效果高于B班教師，這和我們單從平均分來評價兩個班數(shù)學老師教學效果是恰恰相反的.

4 應用結論

轉移矩陣分析法是在馬爾可夫過程假設前提下，通過分析隨機變量的現(xiàn)時變化情況來預測未來變化情況的一種預測方法.這種方法已成為市場預測的有效工具，同時也應用在企業(yè)的人力資源管理上.當然，如果隨機變量滿足馬爾可夫隨機現(xiàn)象的特征，則都可以運用轉移矩陣分析法.比如本文中評價教師教學效果的實例，在教師、學生、教學條件等情況基本穩(wěn)定不變的條件下，全過程的教學情況趨于穩(wěn)定性，由相鄰兩階段的變化情況可以推測后面的變化情況.從而運用轉移矩陣分析法來評價教學效果就比單純用分數(shù)評價更具合理性.

〔1〕S.M.勞斯.隨機過程[M].北京:中國統(tǒng)計出版社, 1997:114-148.

〔2〕彭玉忠.基于馬爾可夫鏈的教學階段性評價和遠期預測模型[J].安慶師范學院學報（自然科學版）,2009,15(4):92-95.

〔3〕張雅清.馬爾可夫鏈在教學質量評價中的應用[J].湖北廣播電視大學學報,2010,30(3):128-129.

〔4〕朱風琴,徐伯華.大學生數(shù)學成績轉移的實證研究與啟示[J].大學教育,2012,1(12):38-40.

〔5〕沈晉會.馬爾可夫鏈法在教學質量評估中的應用[J].內蒙古師范大學學報（教育科學版）,2013, 26(6):10-13.

O151.21

A

1673-260X（2014）03-0001-03

華南農(nóng)業(yè)大學珠江學院2012年度科技基金項目資助（HZKJ201220）