賀小亮，滿莉

(1.第二炮兵工程大學(xué) 初級指揮學(xué)院，陜西 西安 710025； 2.國防大學(xué) 研究生學(xué)院，北京 100091)

0 引言

導(dǎo)彈主要用于打擊敵縱深戰(zhàn)略戰(zhàn)役目標(biāo)，其以射程遠(yuǎn)、精度高、毀傷大等優(yōu)點成為我軍聯(lián)合火力打擊行動中的一支重要力量。合理的目標(biāo)規(guī)劃是導(dǎo)彈火力運用的核心問題之一，對整個作戰(zhàn)進(jìn)程影響重大。由于目標(biāo)的多屬性特點，在規(guī)劃時各屬性存在一定的模糊特征。傳統(tǒng)的模糊聚類算法對目標(biāo)規(guī)劃分類時，對單一的隸屬度函數(shù)依賴較重，不能充分利用各模糊屬性信息，有一定的局限性。

直覺模糊集[1-5]是對Zadeh模糊集的一種重要擴(kuò)充和拓展，其隸屬度函數(shù)μA(x)、非隸屬度函數(shù)γA(x)及直覺指數(shù)πA(x)可以分別表述x對集A支持、反對及中立的程度，因而有效克服了Zadeh模糊集單一隸屬度函數(shù)的局限性，能夠更加細(xì)膩地描述客觀對象的模糊性本質(zhì)[6]。

基于此，本文利用直覺模糊集的這類優(yōu)點，將直覺模糊聚類算法用于導(dǎo)彈打擊目標(biāo)規(guī)劃領(lǐng)域。首先設(shè)計了隸屬度函數(shù)和非隸屬度函數(shù)，將目標(biāo)特征和規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行直覺模糊化，然后根據(jù)直覺模糊特征量的相似度函數(shù)和相異度函數(shù)構(gòu)建相似矩陣，并計算其等價矩陣，最后利用直覺模糊等價矩陣進(jìn)行聚類分析，實現(xiàn)了目標(biāo)的規(guī)劃。

1 目標(biāo)處理

鑒于導(dǎo)彈打擊目標(biāo)的特點，本文主要針對戰(zhàn)略性目標(biāo)開展研究。戰(zhàn)略目標(biāo)的相對重要性是受多屬性影響的，因此這是一個多屬性目標(biāo)規(guī)劃問題。經(jīng)查閱資料[7]，選擇以下8種影響因素：人口、面積、工業(yè)產(chǎn)值、政治重要性、軍事重要性、文化重要性、戰(zhàn)略地位及威脅程度。目標(biāo)的規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)可劃分為：重要、較重要、一般、不重要，4類標(biāo)準(zhǔn)等級，將每一個待評價的戰(zhàn)略目標(biāo)視為待規(guī)劃的具體對象，要決定它相對于4個標(biāo)準(zhǔn)等級的相對歸屬即決定其相對重要性。

設(shè)待規(guī)劃目標(biāo)包括n個對象A=A1,A2,…,An，每個對象包括8個屬性Ai=(xi1,xi2,…,xi8)，i=1,2，…,n。按照目標(biāo)規(guī)劃的需求，設(shè)定目標(biāo)規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)，同樣，規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)也具有8個屬性，設(shè)為B=B1,B2,B3,B4，Bi=(xi1,xi2,…,xi8)，i=1,2,3,4。

2 直覺模糊聚類算法

2.1 數(shù)學(xué)描述

定義1 直覺模糊集[1]：設(shè)X是一個給定論域，則X上的一個直覺模糊集A為

A=(x,μA(x),γA(x))|x∈X，

(1)

式中：μA(x):X→0,1和γA(x):X→0,1分別代表A的隸屬函數(shù)μA(x)和非隸屬函數(shù)γA(x)，且對于A上的所有x∈X,0≤μA(x)+γA(x)≤1成立。對于X中的每個直覺模糊子集，稱πA(x)=1-μA(x)-γA(x)為A中x的直覺指數(shù)，它是x對A的猶豫程度的一種測度。顯然，對于每一個x∈X,0≤πA(x)≤1。

定義2 將目標(biāo)原始信息直覺模糊特征化的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)分別為

(2)

(3)

式中：Amin和Amax分別為A(x)在論域X上的最小值和最大值；a≥1，用來調(diào)節(jié)猶豫度，當(dāng)a=1，猶豫度為0，當(dāng)a→∞，猶豫度→1-μA(x)，a一般取1～1.3[8]。

定義3 直覺模糊關(guān)系[9]。設(shè)X和Y是普通、有限、非空集合或論域。定義在直積空間X×Y上的直覺模糊子集成為從X到Y(jié)之間的二元直覺模糊關(guān)系。記為

R={[(x,y),μR(x,y),γR(x,y)]|x∈X,y∈Y}，

(4)

式中：μR(x):X×Y→0,1和γR(x):X×Y→0,1滿足條件0≤μR(x,y)+γR(x,y)≤1，?(x,y)∈X×Y；

用IFR(X×Y)來表示X×Y上的直覺模糊子集的全體。若X和Y為有限集時，即X=x1,x2,…,xm，Y=y1,y2,…,yn，則從X到Y(jié)之間的二元直覺模糊關(guān)系R可以用矩陣表示，記為R=(μij,γij)m×n。

定義4 直覺模糊相似矩陣[10]。若直覺模糊關(guān)系矩陣R=(μij,γij)m×n滿足下列條件：

(1) 自反性。(μii,γii)=(1,0),i=1,2,…,n；

(2) 對稱性。(μij,γij)=(μji,γji),i,j=1,2,…,n，

則稱R為直覺模糊相似矩陣。

本文利用直覺模糊相似度[11]和相異度[12]，構(gòu)造直覺模糊相似矩陣。設(shè)論域包括n個待規(guī)劃對象A={A1,A2,…,An}，每個對象包括m個屬性Ai=(xi1,xi2,…,xim)，對象的屬性數(shù)據(jù)均使用直覺模糊集表示，記其隸屬度為μAi(xk)，非隸屬度為γAi(xk)，直覺指數(shù)為πAi(xk)=1-μAi(xk)-γAi(xk)，其中i=1,2,…,n；k=1,2,…,m。Ai與Aj之間的相似度為

(5)

Ai與Aj之間的相異度為

(6)

設(shè)μij=S(Ai,Aj)，γij=D(Ai,Aj)，則R=(μij,γij)n×n為滿足定義3的關(guān)于n個對象A=A1,A2,…,An的直覺模糊相似矩陣[13]。

直覺模糊關(guān)系矩陣的合成運算，完全是直覺模糊關(guān)系合成的一種矩陣表達(dá)形式，合成矩陣的每個元素也是“∧-∨”運算的結(jié)果，目的是得到等價矩陣。

定義6 直覺模糊等價矩陣。若直覺模糊矩陣R=(μij,γij)n×n滿足下列條件：

(1) 自反性同定義3；

(2) 對稱性同定義3；

(3) 傳遞性。R2=R°R?R，即

則稱R為直覺模糊等價矩陣。

定義7 直覺模糊集的截集[13]：設(shè)A={(x,μA(x),γA(x))|x∈X}為有限論域X上的一個直覺模糊集，對0≤α,β≤1，且α+β≤1，稱集合A(α,β)={x|μA(x)≥α,γA(x)≥β,x∈X}為直覺模糊集A的(α,β)截集，(α,β)稱為置信水平或置信度。

設(shè)R=(μij,γij)n×n為直覺模糊等價矩陣，定義其(α,β)截矩陣為R(α,β)=(r(α,β)ij)n×n，其中

(7)

顯然，截矩陣R(α,β)是布爾矩陣，用模糊聚類的方法，可由截矩陣R(α,β)按照目標(biāo)規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)實現(xiàn)對象A=A1,A2,…,An的規(guī)劃分類。

2.2 計算步驟

(1) 將目標(biāo)的指標(biāo)值和目標(biāo)規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)建立增廣的目標(biāo)指標(biāo)值矩陣

所謂增廣的目標(biāo)指標(biāo)值矩陣，是將n個待規(guī)劃目標(biāo)對象A和目標(biāo)規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)B的指標(biāo)值構(gòu)造成矩陣。據(jù)此得到增廣的目標(biāo)指標(biāo)值矩陣X。

(8)

式中：i=1,2，…,n+4；j=1,2，…,8。

(2) 建立標(biāo)準(zhǔn)化矩陣[7]

將步驟1得到的增廣的目標(biāo)指標(biāo)值矩陣X，按照式(9)，計算得出標(biāo)準(zhǔn)化矩陣Y。

(9)

Y=(yij)(n+4)×8，i=1,2，…,n+4；j=1,2，…,8.

(3) 建立直覺模糊特征矩陣

根據(jù)定義2，將步驟2得到的標(biāo)準(zhǔn)化矩陣Y，按照式(2)，(3)分別求出目標(biāo)信息的直覺模糊特征，隸屬度μAi(xj)和非隸屬度γAi(xj)，進(jìn)而得出直覺模糊特征矩陣Y′。

Y′=(μAi(xj),γAi(xj))(n+4)×8，i=1,2，…,n+4;

j=1,2，…,8

(4) 建立直覺模糊相似矩陣

根據(jù)定義4，直覺模糊特征矩陣Y′按照式(5)，(6)，計算得到直覺模糊矩陣的相似度和相異度，構(gòu)造直覺模糊相似矩陣R。

R=(μij,γij)(n+4)×(n+4)，i=1,2，…,n+4；

j=1,2，…,n+4.

(5) 建立直覺模糊等價矩陣

根據(jù)定義5和定理1，通過合成運算，由相似矩陣R求取直覺模糊等價矩陣Rn。

(6) 建立截矩陣R(α,β)，進(jìn)行聚類分析[15]

根據(jù)定義7，對等價矩陣Rn，合理設(shè)定置信度(α,β)，得出截矩陣R(α,β)，之后進(jìn)行聚類分析。根據(jù)每列對應(yīng)元素是否為1，找出每列對應(yīng)的目標(biāo)和規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)等級，進(jìn)而得出聚類結(jié)果。

3 仿真應(yīng)用

根據(jù)目標(biāo)處理結(jié)果，每個戰(zhàn)略目標(biāo)包括8個指標(biāo)：人口、面積、工農(nóng)業(yè)產(chǎn)值、政治重要性、軍事重要性、文化重要性、戰(zhàn)略地位及威脅程度。在上述指標(biāo)中，人口單位：萬人；面積單位：km2；工農(nóng)業(yè)產(chǎn)值單位：萬；其余指標(biāo)均為[0,1]上無量綱數(shù)。設(shè)定待規(guī)劃戰(zhàn)略目標(biāo)個數(shù)為6，A=A1,A2,…,A6，目標(biāo)規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)B=B7,B8,B9,B10，分別對應(yīng)：重要、較重要、一般、不重要。參照文獻(xiàn)[7]的數(shù)據(jù)建立戰(zhàn)略目標(biāo)指標(biāo)值和規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值，如表1。

按照直覺模糊聚類算法，將表1中的6個目標(biāo),依照4個標(biāo)準(zhǔn)等級，進(jìn)行規(guī)劃分類。

(1) 構(gòu)造增廣的目標(biāo)指標(biāo)值矩陣

(2) 計算標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)值矩陣

(3) 計算直覺模糊特征矩陣

按照步驟3和定義2，取a=1.2，計算直覺模糊特征矩陣，

(4) 計算相似矩陣

按照步驟4，為了簡化計算取p=1，計算相似矩陣，

(5) 計算相似矩陣R的等價矩陣

采用平方的方法，進(jìn)行合成運算，發(fā)現(xiàn)R2≠R；再次進(jìn)行合成運算，R4≠R2；進(jìn)一步計算后，R16=R8，那么R8為直覺模糊等價矩陣，即

(6) 計算截矩陣和聚類分析

在設(shè)定置信度時，等價矩陣根據(jù)選取的置信度數(shù)值，按式(7)計算得出截矩陣，此時，設(shè)定的置信度水平，應(yīng)保證截矩陣每列為1的目標(biāo)元素對應(yīng)該列中為1的規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)元素僅有1個，即規(guī)劃分類的目標(biāo)僅對應(yīng)1個規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)。因此，取置信度(α,β)=(0.77,0.21)，按照步驟6，計算等價矩陣R8的截矩陣為

針對截矩陣R(0.77,0.21)的結(jié)果，進(jìn)行聚類分析。根據(jù)每列的元素是否為1進(jìn)行區(qū)分，得出聚類結(jié)果，A1,A3,B8，A2,A5,B10，A4,B7，A6,B9?？梢姡?個戰(zhàn)略目標(biāo)的規(guī)劃結(jié)果為：目標(biāo)A4為重要目標(biāo)，目標(biāo)A1和A3為較重要目標(biāo)，目標(biāo)A6為一般目標(biāo)，目標(biāo)A2和A5為不重要目標(biāo)。本算例所有計算是由Matlab編程實現(xiàn)。

4 結(jié)束語

本文通過對導(dǎo)彈打擊目標(biāo)信息的原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化和直覺模糊化，運用直覺模糊聚類算法，實現(xiàn)了對導(dǎo)彈打擊目標(biāo)的規(guī)劃分類。針對現(xiàn)有模糊聚類算法的局限性，利用直覺模糊集能夠更好地描述事物的模糊性本質(zhì)的優(yōu)勢，并運用隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)，實現(xiàn)對目標(biāo)信息原始數(shù)據(jù)的直覺模糊特征化；利用直覺模糊相似度和相異度構(gòu)造了直覺模糊相似矩陣，進(jìn)而計算得出等價矩陣；選取合適的置信度獲得截矩陣，從而實現(xiàn)目標(biāo)的規(guī)劃分類，該方法概念清晰，計算簡單。通過實例的仿真應(yīng)用，表明該方法能夠按照規(guī)劃需求，較快的對目標(biāo)進(jìn)行規(guī)劃分類，計算結(jié)果相對文獻(xiàn)[7]更加準(zhǔn)確，驗證了算法的有效性和準(zhǔn)確性。

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