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        一個修正的數(shù)值積分及在凸輪設(shè)計中的應(yīng)用①

        2014-07-09 01:59:56王小煉金玲玲王勇勇章雷宇
        關(guān)鍵詞:數(shù)值積分辛普森四階

        王小煉, 金玲玲, 趙 鋒, 王勇勇, 章雷宇

        (臺州學(xué)院數(shù)學(xué)系,浙江臨海317000)

        在凸輪構(gòu)中,由加速度進行積分求得位移是設(shè)計凸輪運動特性的一個重要方法之一[1,2].當(dāng)前實際生產(chǎn)中是使用正弦函數(shù)或變形正弦的加速度,通用加速度曲線[3].它由于計算簡單,因此被廣泛使用.但這種加速在邊界上是不光滑的,因此在高速運動時,會產(chǎn)生明顯的振動.為了解決這個問題,許多學(xué)者采用樣條函數(shù)來設(shè)計角加速度[4~7],但由于其函數(shù)表達式比較復(fù)雜,很難給出其角位移函數(shù)的初等表達式,因而常常采用數(shù)值積分的方法來計算角位移.但這種計算需要兩次數(shù)值積分,因此它會產(chǎn)生較大的累計誤差.為了解決這個問題,在此引入一種修正的梯形公式來優(yōu)化樣條函數(shù)的數(shù)值積分.

        1 主要結(jié)果

        1.1 常用數(shù)值積分公式

        1.1.1 復(fù)合梯形法

        設(shè)函數(shù) f(x)在[a,b]上連續(xù),對[a,b]n等分,則復(fù)合梯形公式為:

        其中 yi=f(xi),i=1,2,…,n,xi為等分點.

        1.1.2 辛普森法

        辛普森法(Simpson's rule)是一種數(shù)值積分方法,是以二次曲線逼近的方式取代矩形或梯形積分公式,以求得定積分的數(shù)值近似解.

        將積分區(qū)間[a,b]作2n等分,設(shè)h=(b-a)/(2n).

        1.1.3 四階 Adams法

        假設(shè)已經(jīng)求得tn,tn-1,…,tn-k等k+1 個節(jié)點處的函數(shù)值 fn,fn-1,…,fn-k,根據(jù)插值原理可以構(gòu)造一個多項式來逼近函數(shù)f(t,y),經(jīng)過計算處理可以得到

        4階阿達姆斯顯式公式

        1.2 改進梯形法

        文獻[8]給出了下列Euler公式

        定理1 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上具有(n-1)階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),自然數(shù)m≤n/2,記

        如果 n=2r- 1,r≥1,那么

        當(dāng)r=2時,那么對積分取近似值得

        當(dāng)r=3時,那么對積分取近似值得

        將(7)式兩邊關(guān)于b積分,得到

        經(jīng)過化簡可以得到,

        再將(7)式兩邊關(guān)于a積分,化簡得到

        其中,F(xiàn)(t)是f(t)初值為零的原函數(shù).

        將(10)與(11)相加除以2得到了式(12)

        定理2 (1)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則f(x)的兩次數(shù)值積分可用下式近似

        (2)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上具有(n-1)階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),自然數(shù)m≤n/2,則

        其中h=b-a.

        在式(13)只要選取適當(dāng)?shù)膍,就可得到了一種可以將精度提高到六階甚至更高階的方法.

        注:在凸輪曲線的設(shè)計中,改進梯形法式(12)只需一次就可以得到位移曲線,比(7)需兩次進行數(shù)值積分,其計算量少了一次.

        2 數(shù)值例子

        結(jié)合以下實例:

        利用上述函數(shù)對各種數(shù)值積分法進行對比檢驗.其中辛普森法、四階Adams法的精度只有四階.對此在式(13)只要選取適當(dāng)?shù)膍,就可得到了一種可以將精度提高到六階甚至更高階的方法.

        表1 復(fù)合梯形法的數(shù)值解θ的逐點誤差最大值與階數(shù)

        由表1可以得到,梯形法的誤差的階數(shù)為二階.

        表2 辛普森法的數(shù)值解θ的逐點誤差最大值與階數(shù)

        由表2可以得到,辛普森法的誤差的階數(shù)為四階.

        表3 Adams 法的數(shù)值解θ的逐點誤差最大值與階數(shù)

        由表3可以得到,Adams法的誤差的階數(shù)為四階.

        表4 改進梯形法式(13)選取(m=2)θ的誤差最大值與階數(shù)

        由表4可以得到,改進梯形法(m=2)的誤差的階數(shù)為四階.

        表5 改進梯形法式(13)選取(m=3)θ的誤差最大值與階數(shù)

        由表5可以得到,改進梯形法(m=3)的誤差的階數(shù)為六階.

        表6 6種方法的數(shù)值解的θ的逐點誤差最大值比較

        改進梯形式(12)4.0037e-008 2.5021e-009 1.5638e-010

        對以上表格進行分析,在分割間隙相同時,改進梯形法的誤差優(yōu)于辛普森法的誤差再優(yōu)于Adams法的誤差,最差的是復(fù)合梯形法.由此可知,改進梯形法的誤差最?。?/p>

        表7 兩種改進梯形法式(7)與式(12)的對比

        在凸輪曲線的設(shè)計中,改進梯形法式(12)只需一次就可以得到位移曲線,比(7)需兩次進行數(shù)值積分,其計算量少了一次.且其精度也比(7)較優(yōu)約提高10%左右.

        謝辭:本文的寫作得到了臺州學(xué)院數(shù)學(xué)系趙岳清副教授的精心指導(dǎo),在此表示感謝.

        [1] Chen F Y.Kinematic Synthesis of Camprofiles for Prescribed Acceleration by a Finite Integration Method[J].Engineering for Industry,1973(2):519 -524.

        [2] 齊維浩,李雨宏.按復(fù)雜邊界條件設(shè)計凸輪曲線[J].機械工程學(xué)報,1985,(3):60-66.

        [3] 劉昌祺.凸輪機構(gòu)設(shè)計[M].北京:機械工業(yè)出版社,2005,10.

        [4] 韋日鈺,滕弘飛,隋允康.五次樣條配氣凸輪型線動力優(yōu)化設(shè)計[J].內(nèi)燃機學(xué)報,1993(4):360-367.

        [5] 韋日鈺.具有給定加速度特性的五次樣條凸輪曲線設(shè)計[J].廣西大學(xué)學(xué)報,1998,(9):249-254.

        [6] 徐健,常學(xué)芳,薄玉成.三次樣條在轉(zhuǎn)管武器凸輪曲線中的應(yīng)用[J].機械工程師,2007(7):83-84.

        [7] 張洪.探討一種凸輪理論曲線的通用方程式[J].機械傳動,2007(4):99-101.

        [8] Lj.Dedic,M.Matic,J.Pecaric.On Euler Trapezoid Formulae[J].Appl.Math.And Compu.123(2001):37 -62.

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