楊文萍

目前關(guān)于文科生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難方面的研究，從所收集的文獻(xiàn)資料來(lái)看，多數(shù)集中在從智力因素到非智力因素全面的說(shuō)明學(xué)生基礎(chǔ)差的原因，并且在實(shí)施差生轉(zhuǎn)化策略時(shí)也沒(méi)有針對(duì)某一知識(shí)點(diǎn)或者某一方面。盡管這些研究富有啟發(fā)性，但范圍實(shí)屬寬泛。本研究為了更加具有針對(duì)性，且基于學(xué)生在立體幾何學(xué)習(xí)方面表現(xiàn)出不佳的情況來(lái)看，本研究?jī)?nèi)容鎖定為學(xué)生學(xué)習(xí)垂直所遇到的困難。因此，決定選擇廣州市某普通中學(xué)的高二一個(gè)文科普通班中的12個(gè)學(xué)生作為研究對(duì)象，本文確定研究?jī)?nèi)容為：（1）用范希爾的幾何思維水平來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生的立體幾何垂直證明的思維水平；（2）根據(jù)學(xué)生的思維水平發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何垂直證明存在的困難。本研究方法主要是以?xún)?nèi)容分析法為主，分析對(duì)象主要是學(xué)生平時(shí)的作業(yè)以及測(cè)驗(yàn)卷。

1 理論基礎(chǔ)

有關(guān)范希爾幾何思維水平的介紹很多，本文采用鮑建生介紹的“范希爾幾何思維分為視覺(jué)、分析、非形式化的演繹、形式化的演繹、嚴(yán)密性五個(gè)層次”[1]。下面將對(duì)這五個(gè)層次進(jìn)行介紹。

（1）層次0：視覺(jué)（visuality）

對(duì)于圖形，學(xué)生不僅能夠簡(jiǎn)單的對(duì)圖形進(jìn)行操作，比如整體辨認(rèn)、繪畫(huà)或仿畫(huà)，而且還能對(duì)圖形進(jìn)行描述，不管使用標(biāo)準(zhǔn)的還是不標(biāo)準(zhǔn)的名稱(chēng)。但是這種操作無(wú)法深入達(dá)到分析圖形的狀態(tài)，也無(wú)法概括論述圖形。

（2）層次1：分析（analysis）

學(xué)生能對(duì)圖形進(jìn)行進(jìn)一步的操作，即分析圖形的基本結(jié)構(gòu)及其特征從而解決基本的幾何問(wèn)題。雖然可以通過(guò)分析來(lái)區(qū)分兩個(gè)圖形，并進(jìn)行分類(lèi)，但是對(duì)圖形性質(zhì)間的關(guān)系比較模糊，也不知如何使用公式，更不會(huì)導(dǎo)出公式。

學(xué)生可以清晰地解釋圖形及其性質(zhì)之間的關(guān)系，會(huì)使用公式，達(dá)到演繹的狀態(tài)。但在陌生前提的條件下，無(wú)法使用定理證明結(jié)果，沒(méi)有定理間的網(wǎng)絡(luò)知識(shí)結(jié)構(gòu)。

（4）層次3：形式化的演繹（formal deduction）

學(xué)生在達(dá)到前面三種水平的基礎(chǔ)上，可以對(duì)幾何證明進(jìn)行演繹的推理，能猜測(cè)并能證明。能理解證明中的必要和充分條件。

（5）層次4：嚴(yán)密性（rigior）

在這個(gè)層次，能在不同的公里體系下嚴(yán)密地建立定理，以分析比較不同的幾何體系，如歐氏幾何和非歐式幾何系統(tǒng)的比較。

由于范希爾理論是用0～4編號(hào)，本研究為了敘述的方便，在描述時(shí)會(huì)按照水平1～5的方式，編碼為L(zhǎng)1-L5。本文采用的是范希爾的五個(gè)層次的分類(lèi)。

2 內(nèi)容分析的設(shè)計(jì)與實(shí)施

內(nèi)容分析是教育中的一種重要的研究方法，用它可對(duì)有關(guān)研究文獻(xiàn)、實(shí)驗(yàn)記錄、訪(fǎng)談?dòng)涗?、觀察記錄、教材、課堂講授、學(xué)生作業(yè)等各種材料進(jìn)行分析。“探討心理與教育活動(dòng)的規(guī)律”[2]。

第六，開(kāi)磷擁有生態(tài)環(huán)保競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)。國(guó)家通過(guò)環(huán)保政策和市場(chǎng)化去產(chǎn)能，像開(kāi)磷這樣擁有規(guī)模實(shí)力、先進(jìn)生產(chǎn)工藝和環(huán)保治理能力的大型企業(yè)將在結(jié)構(gòu)調(diào)整中占據(jù)有利地位。

根據(jù)內(nèi)容分析這種研究方法，本文將從以下五個(gè)方面來(lái)進(jìn)行本研究的具體實(shí)施過(guò)程的闡述：

研究目的的確定。本研究是屬于現(xiàn)狀分析，基于研究者所執(zhí)教的學(xué)生在考試時(shí)立體幾何得分率很低，學(xué)生對(duì)于立體幾何的學(xué)習(xí)叫苦連天。另外考慮到學(xué)生在做平行問(wèn)題時(shí)完成得不錯(cuò)，而在垂直證明的問(wèn)題上就表現(xiàn)出極大的阻力。再者高考中立體幾何垂直問(wèn)題占據(jù)一定位置，綜合這幾個(gè)因素確定本研究的目的是找出高二文科生的立體幾何垂直證明問(wèn)題的困難，并因此分析原因所在。

（2）分析單位。根據(jù)本文的研究目的是找出高二文科生的立體幾何垂直證明問(wèn)題的困難，并因此分析原因所在，因此本研究的分析單位就是文科生的有關(guān)立體幾何垂直證明所做過(guò)的題目（這里包括作業(yè)和測(cè)驗(yàn)卷），即已經(jīng)抽取了的研究材料。

（3）分析維度。根據(jù)3.3節(jié)范希爾幾何思維的5個(gè)水平，將本文的分析維度劃分為五個(gè)維度：層次0（視覺(jué)），編碼為L(zhǎng)1；層次1（分析），編碼為L(zhǎng)2；層次2（非形式化的演繹），編碼為L(zhǎng)3；層次3（形式化的演繹），編碼為L(zhǎng)4；層次4（嚴(yán)密性），編碼為L(zhǎng)5。把沒(méi)做題目的和只從條件題目得出一個(gè)結(jié)論的這兩種情況都視為層次0。其余的根據(jù)所寫(xiě)的情況分類(lèi)。

（4）分析材料。根據(jù)研究材料的確定，從來(lái)源抽樣，分析單位抽樣，日期抽樣三者結(jié)合在一起構(gòu)成了本研究的研究材料。第1題是關(guān)于線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明，此題需要通過(guò)作輔助線(xiàn)才能解決證明問(wèn)題。第2題是關(guān)于線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明，所考查的是勾股定理的逆定理以及線(xiàn)面垂直判定定理的運(yùn)用。第3題是關(guān)于線(xiàn)面垂直的證明，其中涉及的知識(shí)點(diǎn)有勾股定理的逆定理和面面垂直的性質(zhì)定理。第4題是2009—2010年廣州市期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)考試的一道立體幾何考試題目，本題是節(jié)選垂直的證明。第5題是2008—2009年廣州市期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)考試的一道立體幾何考試題目，本題是節(jié)選垂直的證明?！皳?jù)已有的數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)水平分類(lèi)可以把數(shù)學(xué)任務(wù)的認(rèn)知要求化分為3種類(lèi)型或?qū)哟?記憶、理解、探究”[3]，所選的五道題都屬于理解層次。

（5）評(píng)判記錄。在此對(duì)這12人在按照成績(jī)高低順序后，用英文大寫(xiě)字母X～I(xiàn)進(jìn)行編碼，題目編號(hào)就是1～5。字母和數(shù)字放在一起就表示某個(gè)人完成的某道題，如X1表示的就是第一個(gè)人完成的第一道題，A5表示第四個(gè)人完成的第五道題。為了能夠明顯看到學(xué)生幾何思維處于哪種水平，從而看到學(xué)生學(xué)習(xí)幾何垂直證明的學(xué)習(xí)情況，特制定以下表格1。表格的每一行表示某學(xué)生的每道題的思維水平，比如第二行表示學(xué)生X的思維水平，相對(duì)應(yīng)的每個(gè)空格表示每道題的思維水平情況。

表1 被試垂直證明思維水平層次

3 研究結(jié)果

根據(jù)學(xué)生的作業(yè)和卷子的完成情況，運(yùn)用范希爾的幾何思維五種層次，研究者在表1中記錄學(xué)生的立體幾何中垂直證明的思維層次，顯示結(jié)果如表2所示。

表2 被試垂直證明思維水平層次顯示

不考慮題目的題號(hào)，不考慮學(xué)生的人數(shù)，表2中總共有60個(gè)層次結(jié)果。根據(jù)統(tǒng)計(jì)計(jì)算，大多數(shù)集中在第2層次，其次是第1層次，接著是第4層次、第3層次，最后才是第5層次。具體數(shù)據(jù)為：L2共計(jì)29個(gè)，L1共計(jì)14個(gè)，L3共計(jì)8個(gè)，L4共計(jì)9個(gè)，L5共計(jì)0個(gè)。按照總數(shù)為60個(gè)來(lái)計(jì)算百分比，第1層次占據(jù)23.3%，第2層次占據(jù)48.3%，第3層次占據(jù)13.3%，第4層次占據(jù)15%，第5層次占據(jù)0。具體如表3所示。

表3 各思維層次的數(shù)目及其百分比

由表3可以知道沒(méi)有一位學(xué)生達(dá)到范希爾的幾何思維第5層次，所以以下分析僅僅從范希爾的第1至第4層次思維分析學(xué)生的作業(yè)和卷子的完成情況。

（1）第1層次

在表3中我們可以看到L1出現(xiàn)的次數(shù)為14次，學(xué)生的垂直證明思維歸屬于此層次，主要是由于學(xué)生因?yàn)闆](méi)有作答或者只寫(xiě)出了一句話(huà)。沒(méi)有作答并不僅僅是因?yàn)椴恢廊绾瓮瓿稍擃}目，而是在做卷子時(shí)，由于時(shí)間限制未能在限定的時(shí)間解決出來(lái)以至于題目的空白。另外有位學(xué)生是因?yàn)槠綍r(shí)沒(méi)有完成作業(yè)的習(xí)慣，而導(dǎo)致所需做的題目空白。

（2）第2層次

在表3中我們可以看到L2出現(xiàn)的次數(shù)為29次，但是學(xué)生并沒(méi)有出現(xiàn)29種出錯(cuò)的情況，他們所犯錯(cuò)誤都有相同之處，歸納起來(lái)就是：①性質(zhì)定理的誤用。一見(jiàn)到面面垂直，就直接想到線(xiàn)面垂直；或者一見(jiàn)到面面垂直，就直接得出線(xiàn)線(xiàn)垂直，并沒(méi)有考慮面面垂直的性質(zhì)是什么。另外，兩個(gè)平面的交線(xiàn)在垂直的情況下會(huì)變得很特殊，即在兩個(gè)平面垂直的條件下，交線(xiàn)就會(huì)垂直于任一平面的所有直線(xiàn)。而對(duì)于矩形，就直接認(rèn)為矩形的對(duì)角線(xiàn)是互相垂直的。②知識(shí)的負(fù)遷移。學(xué)生在初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中已經(jīng)接觸過(guò)平行線(xiàn)，其傳遞性的性質(zhì)即“三條直線(xiàn)中，只要有兩條直線(xiàn)平行于第三條直線(xiàn)，則它們也相互平行”對(duì)學(xué)生的影響極大。學(xué)生們認(rèn)為在垂直中也有同樣的性質(zhì)，于是他們得出“若兩條直線(xiàn)垂直于同一直線(xiàn)，那么這兩條直線(xiàn)也互相垂直”的錯(cuò)誤結(jié)果。③知覺(jué)無(wú)恒常性。由于缺乏立體感，看到立體的圖形都用平面的直覺(jué)來(lái)表示，認(rèn)為看到的圖形就是真實(shí)的。④方法選取的不恰當(dāng)。比如，用全等三角形的方法來(lái)證明兩條直線(xiàn)垂直，不懂得怎樣作輔助線(xiàn)。⑤概念的誤解。比如，認(rèn)為直三棱柱的側(cè)面是互相垂直。⑥目標(biāo)不明確。在證明線(xiàn)面垂直時(shí)，得到的結(jié)果是面內(nèi)的直線(xiàn)垂直另外一個(gè)新的平面。

（3）第3層次

在表3中我們可以看到L3出現(xiàn)的次數(shù)為8次，學(xué)生所犯錯(cuò)誤可以歸結(jié)于兩種情形：①理所當(dāng)然型。此類(lèi)型表現(xiàn)在學(xué)生答題思路雖然正確，但是在證明的過(guò)程中，有一步的某一條件需要證明的沒(méi)有給出證明，或者理所當(dāng)然認(rèn)為是條件已經(jīng)給出的，或?qū)W生自己假設(shè)，而這一步其實(shí)是可以從已知條件中推出的。②戛然而止型。在證明的過(guò)程中，前面進(jìn)行得很順利，但是在接近快要完成證明的時(shí)候突然停止沒(méi)再繼續(xù)往下證明，有時(shí)候就差一步就可以完成。

（4）第4層次

在表3中我們可以看到L4出現(xiàn)的次數(shù)為9次，相對(duì)于前面的三個(gè)層次來(lái)說(shuō)，此層次的水平要高，它表現(xiàn)在學(xué)生可以正確的完成題目，包括語(yǔ)言組織和思路的整理。

4 研究結(jié)論

本研究通過(guò)用范希爾的幾何思維水平理論來(lái)分析學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何垂直證明中的思維水平，進(jìn)而分析學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何垂直證明中存在的困難。經(jīng)過(guò)前面的分析，可以得出以下結(jié)論：

（1）學(xué)生在證明立體幾何垂直問(wèn)題方面表現(xiàn)出了興趣的缺乏。與學(xué)生相對(duì)沒(méi)那么抗拒的平行證明來(lái)說(shuō)，立體幾何垂直證明問(wèn)題牽涉的知識(shí)點(diǎn)要多。涉及的關(guān)系越多、知識(shí)點(diǎn)越多，需要學(xué)生所掌握的知識(shí)就越多。由此學(xué)生在證明時(shí)遇到了困難，表現(xiàn)出了極大的挫敗感，因?yàn)橹R(shí)的掌握不多，再加上挫敗感，讓學(xué)生幾乎喪失對(duì)此的學(xué)習(xí)。

（2）學(xué)生在學(xué)習(xí)三維的知識(shí)時(shí)會(huì)受到二維知識(shí)的影響，在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)會(huì)有負(fù)遷移的情況。其一，學(xué)生在學(xué)習(xí)面面垂直的性質(zhì)時(shí)表現(xiàn)出了極大的困難。這種困難就表現(xiàn)在學(xué)生沒(méi)有弄清在什么情況下才能從面面垂直得出線(xiàn)面垂直，看到“面面垂直”這個(gè)刺激物，就直接得出的反射結(jié)果“線(xiàn)面垂直”或者“線(xiàn)線(xiàn)垂直”?；蛘邚牧硗庖粋€(gè)角度來(lái)分析就是學(xué)生對(duì)于從面到線(xiàn)的變化有著迷惑，追溯到從線(xiàn)到面會(huì)有什么樣的性質(zhì)變化也是學(xué)生的困惑點(diǎn)。基于這樣的困惑點(diǎn)，學(xué)生在做題的時(shí)候就表現(xiàn)得一覽無(wú)余。其二，學(xué)生在學(xué)習(xí)垂直時(shí)往往會(huì)受到平行的一些性質(zhì)的影響。比如，由“同時(shí)平行于同一直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行”，學(xué)生可以得出“同時(shí)垂直于同一直線(xiàn)的兩直線(xiàn)垂直”。

（3）學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何垂直證明受到知覺(jué)無(wú)恒常性的影響。由于知覺(jué)無(wú)恒常性，導(dǎo)致缺乏立體感，看到立體的圖形都用平面的直覺(jué)來(lái)表示，認(rèn)為看到的圖形就是真實(shí)的，從而就有立體幾何圖形怎么看都不立體，怎么看都是平面。

（4）學(xué)生做立體幾何垂直證明題時(shí)不擅長(zhǎng)用分析法。分析法不擅長(zhǎng)表現(xiàn)在學(xué)生在證明時(shí)，目標(biāo)不明確，不明白自己所要證明的結(jié)論和題目或者是自己寫(xiě)的東西有什么聯(lián)系。

[1] 鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程[M].上海：上海教育出版社，2009：4-5.

[2] 董奇.心理與教育研究方法[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2004：304.

[3] 姚靜.數(shù)學(xué)任務(wù)框架:一種教學(xué)反思的理論[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2003（3）：31-35.