拉格朗日中值定理的一些應(yīng)用
2014-06-30 22:09:46劉磊
考試周刊 2014年35期
劉磊
摘 要： 拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基礎(chǔ)定理之一，它有眾多應(yīng)用，本文闡述了拉格朗日中值定理的一些應(yīng)用.
關(guān)鍵詞： 拉格朗日中值定理 極限 不等式 恒等式 零點(diǎn)
一、拉格朗日中值定理
若函數(shù)f（x）滿足如下條件：（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使f′（ξ）= .
二、拉格朗日中值定理的應(yīng)用
1.求極限
例1：求 .
解：令f（x）=tanx，則
= = = sec ξ=sec π=1（ξ介于x與π之間）
（介于與之間）
2.證明不等式
例2：證明
證明：設(shè)f（x）=ln（1+x）.則f（x）在[0，+∞）上連續(xù)，在（0，+∞）內(nèi)可導(dǎo).
對(duì)？坌x>0，在[0，x]上運(yùn)用拉格朗日中值定理可知：
f（x）-f（0）=ln（1+x）=f′（ξ）x= x，ξ∈（0，x）
于是 3.證明恒等式 例3：證明arctanx+arccotx= （x∈R）. 證明：令f（x）=arctanx+arccotx，對(duì)？坌x∈R，有f′（x）= - =0，于是f（x）=c（c為常數(shù)）.任取一實(shí)數(shù)，如 ，有 f（ ）=arctan +arccot = + = ，所以結(jié)論成立. 4.討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 例4：證明：方程x +x-1=0有唯一正根. 證明：令f（x）=x +x-1，顯然f（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，f（0）f（1）=-1<0，于是存在x ∈（0，1）使f（x ）=0即方程有正根. 下面用反證法證明正根的唯一性： 設(shè)f（x）還有一個(gè)根x >0，不妨設(shè)x 這與f′（x）=3x +1>0矛盾，于是該方程只有一個(gè)正根. 5.函數(shù)的單調(diào)性 例5：證明：若函數(shù)f（x）在[0，a）可導(dǎo)，f′（x）單調(diào)遞增，且f（0）=0，則函數(shù) 在（0，a）單調(diào)遞增. 證明：對(duì)任意x ，x ∈（0，a），且x f′ξ = = ，f′（ξ ）= ， 因?yàn)閒′（x）單調(diào)增加，于是f′（ξ ） ≤ ， 從而 ≤ ， 即函數(shù) 在（0，a）內(nèi)單調(diào)遞增. 參考文獻(xiàn)： [1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2001：139-145. [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2002. [3]南京大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析習(xí)題全解[M].合肥：安徽人民出版社，1999.
摘 要： 拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基礎(chǔ)定理之一，它有眾多應(yīng)用，本文闡述了拉格朗日中值定理的一些應(yīng)用.
關(guān)鍵詞： 拉格朗日中值定理 極限 不等式 恒等式 零點(diǎn)
一、拉格朗日中值定理
若函數(shù)f（x）滿足如下條件：（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使f′（ξ）= .
二、拉格朗日中值定理的應(yīng)用
1.求極限
例1：求 .
解：令f（x）=tanx，則
= = = sec ξ=sec π=1（ξ介于x與π之間）
（介于與之間）
2.證明不等式
例2：證明
證明：設(shè)f（x）=ln（1+x）.則f（x）在[0，+∞）上連續(xù)，在（0，+∞）內(nèi)可導(dǎo).
對(duì)？坌x>0，在[0，x]上運(yùn)用拉格朗日中值定理可知：
f（x）-f（0）=ln（1+x）=f′（ξ）x= x，ξ∈（0，x）
于是 3.證明恒等式 例3：證明arctanx+arccotx= （x∈R）. 證明：令f（x）=arctanx+arccotx，對(duì)？坌x∈R，有f′（x）= - =0，于是f（x）=c（c為常數(shù)）.任取一實(shí)數(shù)，如 ，有 f（ ）=arctan +arccot = + = ，所以結(jié)論成立. 4.討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 例4：證明：方程x +x-1=0有唯一正根. 證明：令f（x）=x +x-1，顯然f（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，f（0）f（1）=-1<0，于是存在x ∈（0，1）使f（x ）=0即方程有正根. 下面用反證法證明正根的唯一性： 設(shè)f（x）還有一個(gè)根x >0，不妨設(shè)x 這與f′（x）=3x +1>0矛盾，于是該方程只有一個(gè)正根. 5.函數(shù)的單調(diào)性 例5：證明：若函數(shù)f（x）在[0，a）可導(dǎo)，f′（x）單調(diào)遞增，且f（0）=0，則函數(shù) 在（0，a）單調(diào)遞增. 證明：對(duì)任意x ，x ∈（0，a），且x f′ξ = = ，f′（ξ ）= ， 因?yàn)閒′（x）單調(diào)增加，于是f′（ξ ） ≤ ， 從而 ≤ ， 即函數(shù) 在（0，a）內(nèi)單調(diào)遞增. 參考文獻(xiàn)： [1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2001：139-145. [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2002. [3]南京大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析習(xí)題全解[M].合肥：安徽人民出版社，1999.
摘 要： 拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基礎(chǔ)定理之一，它有眾多應(yīng)用，本文闡述了拉格朗日中值定理的一些應(yīng)用.
關(guān)鍵詞： 拉格朗日中值定理 極限 不等式 恒等式 零點(diǎn)
一、拉格朗日中值定理
若函數(shù)f（x）滿足如下條件：（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使f′（ξ）= .
二、拉格朗日中值定理的應(yīng)用
1.求極限
例1：求 .
解：令f（x）=tanx，則
= = = sec ξ=sec π=1（ξ介于x與π之間）
（介于與之間）
2.證明不等式
例2：證明
證明：設(shè)f（x）=ln（1+x）.則f（x）在[0，+∞）上連續(xù)，在（0，+∞）內(nèi)可導(dǎo).
對(duì)？坌x>0，在[0，x]上運(yùn)用拉格朗日中值定理可知：
f（x）-f（0）=ln（1+x）=f′（ξ）x= x，ξ∈（0，x）
于是 3.證明恒等式 例3：證明arctanx+arccotx= （x∈R）. 證明：令f（x）=arctanx+arccotx，對(duì)？坌x∈R，有f′（x）= - =0，于是f（x）=c（c為常數(shù)）.任取一實(shí)數(shù)，如 ，有 f（ ）=arctan +arccot = + = ，所以結(jié)論成立. 4.討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 例4：證明：方程x +x-1=0有唯一正根. 證明：令f（x）=x +x-1，顯然f（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，f（0）f（1）=-1<0，于是存在x ∈（0，1）使f（x ）=0即方程有正根. 下面用反證法證明正根的唯一性： 設(shè)f（x）還有一個(gè)根x >0，不妨設(shè)x 這與f′（x）=3x +1>0矛盾，于是該方程只有一個(gè)正根. 5.函數(shù)的單調(diào)性 例5：證明：若函數(shù)f（x）在[0，a）可導(dǎo)，f′（x）單調(diào)遞增，且f（0）=0，則函數(shù) 在（0，a）單調(diào)遞增. 證明：對(duì)任意x ，x ∈（0，a），且x f′ξ = = ，f′（ξ ）= ， 因?yàn)閒′（x）單調(diào)增加，于是f′（ξ ） ≤ ， 從而 ≤ ， 即函數(shù) 在（0，a）內(nèi)單調(diào)遞增. 參考文獻(xiàn)： [1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2001：139-145. [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2002. [3]南京大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析習(xí)題全解[M].合肥：安徽人民出版社，1999.
