王 磊 馮守燦

(江蘇省沛縣中學(xué) 江蘇 徐州 221600)

題目：圖1為平靜海面上兩艘拖船A和B拖著駁船C運(yùn)動(dòng)的示意圖.A和B的速度分別沿著纜繩CA和CB的方向，A，B，C不在一條直線上，由于纜繩不可伸長(zhǎng)，因此C的速度 在CA，CB方向的投影分別與A，B的速度相等.由此可知C的

A.速度大小可以介于A，B的速度大小之間

B.速度大小一定不小于A，B的速度大小

C.速度方向可能在CA，CB的夾角范圍外

D.速度方向一定在CA，CB的夾角范圍內(nèi)

圖1

本題涉及連接體間的關(guān)聯(lián)速度問題，處理此類問題的方法是運(yùn)動(dòng)的合成與分解.由于不可伸長(zhǎng)的繩兩端所拉物體方向沿繩方向的分速度相同，所以可把圖中的C船速度沿AC繩子方向和垂直AC繩子方向分解；也可沿BC繩子方向和垂直BC繩子方向分解．分解圖見圖2.

由于A，B兩船速度方向沿繩的方向向前，從圖中不難看出，“C船速度在兩繩子方向的投影分別等于A和B的速度”，由于C船的速度的分解對(duì)大多數(shù)學(xué)生來講是困難的，因此題目把3船間速度關(guān)系作為已知條件直接給出，可以有效地降低試題難度．C船速度大小的判斷不難，那么C船的速度方向又該如何分析？

圖2

駁船C由于是無動(dòng)力船， 其運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向顯然與拖船A，B速度有關(guān)，由于A，B兩船速度關(guān)系不明，我們不妨結(jié)合題給條件分情況加以討論.

(1)若A和B兩船的速度相等，即C船速度沿兩纜繩方向的投影相等，此時(shí)C船的速度方向與兩纜繩的夾角應(yīng)相等，故C船的速度方向必沿兩纜繩夾角的角平分線方向．

(2)若兩船的速度有較小的差別，且vA>vB，此時(shí)C船的速度方向?qū)⒉辉傺貎衫|繩夾角平分線方向，為了便于分析，設(shè)此時(shí)兩繩之間的夾角為θ，C船速度方向與纜繩CA的夾角為α，C船速度方向與纜繩CB的夾角應(yīng)為θ-α，C船的速度為vC，由題意知

vCcosα=vA

(1)

vCcos(θ-α)=vB

(2)

因

vA>vB

有

即C船的速度方向靠近CA，如圖3所示.

圖3

A，B兩船速度差值越大，C船的速度方向?qū)?huì)越靠近纜繩CA，當(dāng)滿足

vAcosθ=vB

(3)

由式(1)、(2)、(3)可求得α=0，C船將沿纜繩CA運(yùn)動(dòng)，且vC=vA．

(3)再增大A船速度，若兩拖船滿足

vAcosθ>vB

(4)

情況又如何呢？

由式(1)、(2)、(4)得

vCcosαcosθ>vCcos(θ-α)=

vCcosαcosθ+vCsinαsinθ

結(jié)果

vCsinαsinθ<0

因sinθ>0,有sinα<0，即

α<0

即表明C船的速度方向應(yīng)在兩纜繩夾角之外．

綜上所述可知，C船速度可大于或等于兩船速度，即一定不小于A，B兩船速度，選項(xiàng)B正確；而C船的速度方向則取決于兩船的速度大小關(guān)系，當(dāng)vA(vB)cosθvB(vA)時(shí)，C船的速度方向在兩纜繩夾角之外．故答案C是正確的．

接下來，不妨再分析一下，若保持兩拖船速度不變，隨著兩拖船的運(yùn)動(dòng)，兩拖船間距離增大，兩纜繩間的夾角也將增大，C船的速度又將發(fā)生怎樣的變化呢？

(1)若C船速度方向原來在兩纜繩之間，隨著兩纜繩間夾角的增大，vC與纜繩間夾角增大，由于拖船速度大小不變，可知vC將增大；既然C船速度方向原來在兩纜繩之間則應(yīng)有

vA(vB)cosθ≤vB(vA)

隨著θ的增大，上式仍然成立，小船將仍在兩纜繩之間運(yùn)動(dòng)，但C船運(yùn)動(dòng)的具體方向?qū)⒂兴兓?/p>

(2)若原來C船速度方向在兩纜繩夾角之外，即vA(vB)cosθ>vB(vA)，隨著兩纜繩夾角θ的增大，當(dāng)滿足vA(vB)cosθ≤vB(vA)時(shí)，C船將回到兩纜繩之間運(yùn)動(dòng)．且C船的速度大小先減后增．至此，有關(guān)C船的速度的解釋就比較完整了．

其實(shí)，生活中拖船和駁船運(yùn)動(dòng)的真實(shí)情況并不是這樣，為了拖船和被拖駁船都能穩(wěn)定的前進(jìn)，拖船和駁船的速度大小和運(yùn)動(dòng)方向其實(shí)都是相同的，如圖4所示．

圖4

本題貼近生活，情境較真實(shí)，由于題所給插圖和兩根繩子吊住一物體的平衡問題非常相似，不少同學(xué)在解題時(shí)，混淆了運(yùn)動(dòng)和力，把兩者進(jìn)行了錯(cuò)誤類比，認(rèn)為C船速度是兩拖船速度合成，由于纜繩夾角未知,故C船速度可大于或小于A和B兩船速度,其方向一定在兩速度之間，從而錯(cuò)選A，D；有些同學(xué)想到運(yùn)動(dòng)合成和分解，但在平時(shí)的練習(xí)中接觸的大多的是繩拉兩個(gè)物體間的關(guān)聯(lián)速度問題，而在本題中出現(xiàn)了3個(gè)物體，速度分解圖容易畫亂、畫錯(cuò)，造成錯(cuò)解；也有同學(xué)認(rèn)為在生活中沒看到拖船在纜繩夾角外情況，就憑經(jīng)驗(yàn)直接選了D．

本題的難點(diǎn)和亮點(diǎn)就是C船速度方向的判斷，能否正確解答此題可甄別學(xué)生對(duì)運(yùn)動(dòng)的合成與分解掌握的熟練程度，以及解題中思維的發(fā)散度和靈活度，該題具有較好的高考選拔功能，實(shí)屬一道好題．