馬力力

(華北油田第五中學(xué) 河北 廊坊 065007)

在處理物理問題時(shí)，從對事物的極小部分(微元)的分析入手，達(dá)到解決事物整體問題的方法，叫作微元法．微元法在近幾年物理高考中嶄露頭角，體現(xiàn)出它獨(dú)特的解題魅力，并逐漸為廣大高中教師所重視．2013年高考全國理綜新課標(biāo)卷Ⅰ與高考天津卷的壓軸題，都運(yùn)用了微元思想．

筆者以這兩道題為例，剖析微元法之妙用，以期讓高中生在思維上拓展更廣闊的空間，也希望廣大教師注重課堂上進(jìn)行物理科學(xué)方法的培養(yǎng)．

1 高考試題例析

運(yùn)用動(dòng)量定理“微元法”求解2013年高考全國理綜新課標(biāo)卷Ⅰ第25題．

圖1

【例1】如圖1，兩條平行導(dǎo)軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L．導(dǎo)軌上端接有一平行板電容器，電容為C．導(dǎo)軌處于勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面．在導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為m的金屬棒，棒可沿導(dǎo)軌下滑，且在下滑過程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸．已知金屬棒與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g．忽略所有電阻．讓金屬棒從導(dǎo)軌上端由靜止開始下滑，求:

(1)電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系；

(2)金屬棒的速度大小隨時(shí)間變化的關(guān)系．

解析：(1) 設(shè)金屬棒下滑的速度大小為v,則感應(yīng)電動(dòng)勢為

E=BLv

平行板電容器兩極板之間的電勢差為

U=E

設(shè)此時(shí)電容器極板上積累的電荷量為Q，按定義有

聯(lián)立得

Q=CBLv

在時(shí)間間隔(t，t+Δt)內(nèi)，由動(dòng)量定理得

FΔt=mΔv

所以

(mgsinθ-μmgcosθ-Bil)Δt=mΔv

∑(mgsinθ-μmgcosθ-Bil)Δt=∑mΔv

設(shè)在時(shí)間間隔(t，t+Δt)內(nèi)流經(jīng)金屬棒的電荷量為ΔQ，則

則

mgtsinθ-μmgtcosθ-B2l2Cv=mv

為所求．

2 如何在教學(xué)中滲透“微元法”

2.1 新課教學(xué)提高認(rèn)知 滲透微元思想

微元法既是一種深刻的思想方法，又是解決問題的巧妙操作方法，它以物理學(xué)的力、電、熱、光等領(lǐng)域?yàn)檩d體，以近似、對稱、等效、數(shù)列、極限、積分、歸納等多種數(shù)學(xué)方法為手段，實(shí)現(xiàn)化曲為直、化變?yōu)楹?、化繁為簡，于微元法中解決變量物理問題的目的．

微元法思想在新課標(biāo)教材(人教版)中多次出現(xiàn)，《物理·必修1》第一章就有所滲透．在引入瞬時(shí)速度概念時(shí)，教材提出從t到t+Δt這段時(shí)間間隔內(nèi)，Δt越小運(yùn)動(dòng)的描述就越精確．當(dāng)Δt趨向于零時(shí)，Δt的平均速度就認(rèn)為是t時(shí)刻的瞬時(shí)速度．這也是數(shù)學(xué)中的微分思想．教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)以此為契機(jī)，提出Δt就是選取的“微元”，先將瞬時(shí)速度變化問題轉(zhuǎn)化為平均速度變化問題，再利用數(shù)學(xué)微分知識，將平均速度問題轉(zhuǎn)化為瞬時(shí)速度問題．又如，再講變力做功圖像法時(shí)，F(xiàn)-x圖像為一條不規(guī)則曲線，計(jì)算可以將位移分成許多很短的間隔Δx，由于每一段Δx都很小，就可以將每一段位移對應(yīng)的力F近似地看成恒力，這樣就能利用功的定義式計(jì)算出每一小段內(nèi)外力的功，再累加得到整個(gè)過程變力所做的總功，即為圖線與橫軸所圍成的面積．其中Δx為所取的“微元”，將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功，再利用數(shù)學(xué)中的積分思想由圖像面積求出變力做功．

在推導(dǎo)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式；“彈性勢能”中求彈簧彈力做功；安培分子環(huán)形電流假說；由洛倫茲力推導(dǎo)安培力公式等教學(xué)中，都可以滲透“微元法”思想．教師應(yīng)該充分利用教材中資源，抓住每個(gè)契機(jī)，提高學(xué)生認(rèn)知，在潛移默化中讓學(xué)生順理成章，自然地接受這種科學(xué)方法．

2.2 復(fù)習(xí)課中精選習(xí)題 總結(jié)微元法解題技巧

任何一種科學(xué)方法的運(yùn)用都離不開習(xí)題，教師在復(fù)習(xí)課中，要善于精選習(xí)題，精講精練，并根據(jù)習(xí)題特點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)微元法的解題技巧．提高學(xué)生敏銳的觀察力、選擇正確方法的判斷力和迅速解題的數(shù)學(xué)能力．微元法處理問題的主要環(huán)節(jié)一般為兩點(diǎn)：一是取“微元”，即對整體對象做無限分割，分割的對象可以是各種幾何體或各種物理量，從而得到選取的“元”．如線元、角元、面積元、質(zhì)量元、時(shí)間元、位移元、功元、電流元等等，它們均具有整體對象的基本特征；二是對微元進(jìn)行數(shù)學(xué)方法(如微分、積分、數(shù)列等)、物理思想(如牛頓定律、動(dòng)量定理、動(dòng)能定理等)處理．即從事物的極小部分(微元)分析入手，達(dá)到解決事物整體問題的目的．

下面以2013年高考天津理綜卷第12題壓軸題為例，說明微元法的運(yùn)用．

【例2】超導(dǎo)現(xiàn)象是20世紀(jì)人類重大發(fā)現(xiàn)之一，目前我國己研制出世界傳輸電流最大的高溫超導(dǎo)電纜并成功示范運(yùn)行．(1)略．

(2)為探究該圓環(huán)在超導(dǎo)狀態(tài)的電阻率上限ρ，研究人員測得撤去磁場后環(huán)中電流為I,并經(jīng)一年以上的時(shí)間t未檢測出電流變化．實(shí)際上儀器只能檢測出大于ΔI的電流變化，其中ΔI?I，當(dāng)電流的變化小于ΔI時(shí)，儀器檢測不出電流的變化，研究人員便認(rèn)為電流沒有變化．設(shè)環(huán)的橫截面積為S，環(huán)中定向移動(dòng)電子的平均速率為v，電子質(zhì)量為m,電荷量為e．試用上述給出的各物理量，推導(dǎo)出ρ的表達(dá)式．

解析：原題標(biāo)準(zhǔn)答案運(yùn)用能量守恒求解(略)．這里改用動(dòng)能定理微元法．

當(dāng)定向移動(dòng)電子的平均速度發(fā)生變化就會(huì)引起環(huán)中電流變化．電流變化大小為ΔI，相應(yīng)定向移動(dòng)電子的平均速率變化的大小為Δv,則ΔI=neSΔv取一小段時(shí)間Δt(選取適當(dāng)?shù)奈⒃?，則在時(shí)間間隔(t，t+Δt)內(nèi)，由動(dòng)能定理(采用恰當(dāng)?shù)奈锢硭枷?，得

W電=ΔEk

忽略高階小量(數(shù)學(xué)處理方法)，其中

則

∑I2RΔt=∑MvΔv(運(yùn)用數(shù)學(xué)積分思想)

得

為所求．

顯而易見，微元法的精妙之處也是它的難點(diǎn)所在．其一，判斷習(xí)題是否適用微元法就是一個(gè)難點(diǎn)；其二，微元的選擇是否恰當(dāng)將直接影響解決問題的成敗．取微元，對整體對象做無限分割是微元法的靈魂所在，微元對象必須既有整體事物的本質(zhì)特征，又能派生作為無窮小量所能發(fā)揮的特別功能；其三，微元的處理過程對學(xué)生的物理思維和數(shù)學(xué)功底要求更高．這也是微元法區(qū)別其他普通物理方法的顯著特點(diǎn)、精彩之處．

2.3 思想上予以重視 突出培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)方法創(chuàng)新思維

其實(shí)高考物理試題出現(xiàn)微元法的應(yīng)用并不陌生，江蘇省2006年到2009年這4年來高考物理卷中的最后一題，都與電磁感應(yīng)知識點(diǎn)相關(guān)，在標(biāo)準(zhǔn)答案中，都是用微元法求解．然而目前微元法往往只在奧賽教學(xué)中講解，一般普通高中并不講或者僅僅是點(diǎn)到為止．所以大部分高中生遇到這類問題都束手無策，對待這類高考壓軸題都采取放棄策略．高中教師不愿意花時(shí)間講解微元法主要原因是這種方法對學(xué)生的物理能力、數(shù)學(xué)能力要求相對較高，大部分高中生接受起來感到困難,效果不好．

如今高考壓軸題的分值往往在20分左右，其目的既能考查學(xué)生的物理能力，也有利于重點(diǎn)院校選拔人才，是區(qū)分普通優(yōu)秀生與最優(yōu)秀生的主要題目．針對重點(diǎn)院校或者能力較強(qiáng)的優(yōu)等生，教師不僅僅是在高三復(fù)習(xí)中講解高考試題滲透微元法教學(xué)，更重要的是教師要從思想上予以重視，充分利用教材所提供的素材,在平常的教學(xué)中突出各種科學(xué)方法的滲透，重視開展學(xué)生的各種探究活動(dòng)、實(shí)踐活動(dòng),啟迪學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力．特別是要重視運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與物理思想相結(jié)合，解決實(shí)際問題的能力．讓學(xué)生體會(huì)“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的喜悅，為我國重點(diǎn)大學(xué)院校輸送新時(shí)代優(yōu)秀人才．