馮回祥，華中科技大學(xué)附屬小學(xué)數(shù)學(xué)教師，湖北省特級(jí)教師，中學(xué)高級(jí)教師?，F(xiàn)任湖北省武漢市數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)理事，華中師范大學(xué)碩士研究生首批校外導(dǎo)師。

批改學(xué)生作業(yè)時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)一些讓人哭笑不得的“低級(jí)”錯(cuò)誤。如，教師在教授了“長(zhǎng)方體和正方體”的知識(shí)以后，要求學(xué)生完成單元檢測(cè)中關(guān)于填上合適的單位名稱的填空題。有的學(xué)生就會(huì)給出“一塊橡皮的體積大約3立方分米”，“一間教室的面積大約是50平方厘米”等不合情理的答案。

為什么學(xué)生會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤呢？除開粗心、馬虎這類性格上的原因外，這很大程度上與學(xué)生對(duì)數(shù)和量缺乏足夠的認(rèn)識(shí)，沒有養(yǎng)成良好的數(shù)感有關(guān)。作為教師，在分析學(xué)生出錯(cuò)原因的同時(shí)，是否也應(yīng)該反思一下我們的課堂教學(xué)呢？

早在2001年，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)就明確提出“要重視培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)感”，但在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，很多教師忽視了這一點(diǎn)，學(xué)生造成以上的錯(cuò)誤也就不足為奇了。作為數(shù)學(xué)教師，要想很好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，自己必須要學(xué)習(xí)和研究一些有關(guān)“數(shù)感”的基本理論和方法，并將它們切實(shí)落實(shí)到課堂教學(xué)中去。

提高對(duì)數(shù)感內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)

數(shù)感是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中的核心概念之一。總目標(biāo)中指出：“建立數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維?！逼渲小皵?shù)感”擺在了首要的位置，可見理解“數(shù)感”這個(gè)概念，并讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中建立數(shù)感，是《標(biāo)準(zhǔn)》十分強(qiáng)調(diào)和重視的問題。

什么是數(shù)感？《標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。

美國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)教師委員會(huì)對(duì)數(shù)感作了如下解釋：充分了解數(shù)的意義；了解數(shù)與數(shù)之間的多種關(guān)系；可以辨別數(shù)的相對(duì)大??；知道數(shù)運(yùn)算的實(shí)際效果；能把數(shù)學(xué)知識(shí)與他們周圍環(huán)境中常見的物體和情境相聯(lián)系。

可見，數(shù)感不僅是一個(gè)概念，更是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要結(jié)構(gòu)變量，是認(rèn)知數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)而形成數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種心智技能，是學(xué)生根據(jù)積累的數(shù)的經(jīng)驗(yàn)所發(fā)展出的一整套認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)感表現(xiàn)最顯著的特點(diǎn)是對(duì)數(shù)的感知、感悟和反應(yīng)，而這種感知反應(yīng)是一個(gè)民族歷史文化的沉淀。明確了對(duì)數(shù)感內(nèi)涵的基本認(rèn)識(shí)，教師有了足夠底氣，教學(xué)時(shí)才能做到有的放矢。

明確數(shù)感的教育價(jià)值

第一，建立數(shù)感有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。作為公民素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不是用計(jì)算能力的強(qiáng)弱和解決書本問題能力的大小就能衡量的。能否數(shù)學(xué)地思考問題，是否具有理解和解釋實(shí)際問題的數(shù)學(xué)敏感，這才是衡量一個(gè)人是否有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。

例如，一個(gè)小學(xué)一年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)了自然數(shù)的意義之后，懂得了自然數(shù)可以表示物體的個(gè)數(shù)，當(dāng)他看見盤子里的蘋果時(shí)，不再是注意蘋果的顏色，而是關(guān)注蘋果的個(gè)數(shù)，并且懂得比較兩個(gè)盤子中蘋果的多少。這樣，我們可以認(rèn)為這個(gè)小學(xué)生具有了自然數(shù)感，這是他數(shù)學(xué)素養(yǎng)提高的標(biāo)志。還有，當(dāng)學(xué)生能運(yùn)用所學(xué)的百分?jǐn)?shù)知識(shí)來理解商場(chǎng)促銷活動(dòng)，能解決促銷中的相關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，這說明學(xué)生具有良好的“數(shù)感”。

第二，建立數(shù)感有助于學(xué)生構(gòu)建數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)。我們知道，數(shù)感是關(guān)于數(shù)概念的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)是接受數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)平臺(tái)。數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的形成和穩(wěn)定是數(shù)感建立的關(guān)鍵，數(shù)感的建立有助于學(xué)生構(gòu)建數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)體系。

例如，學(xué)生在為參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的全體運(yùn)動(dòng)員編號(hào)時(shí)，老師要求從號(hào)碼上就可以分辨出年級(jí)和班級(jí)，區(qū)分出男生和女生，標(biāo)示出參加的項(xiàng)目類別。這是一個(gè)實(shí)際問題，它沒有固定的編排方式，而且不同的編排方式在實(shí)用性上是不同的。依托自我建立的數(shù)感，學(xué)生就能有效地解決這一問題了。

第三，建立數(shù)感有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。學(xué)生在建立數(shù)感的過程中，有很多機(jī)會(huì)接觸現(xiàn)實(shí)問題，在解決現(xiàn)實(shí)問題的過程中，他們可以和朋友交流，表達(dá)自己對(duì)有關(guān)數(shù)的問題的個(gè)性化看法，他們可以嘗試用不同的方式思考和解決同一問題，這無疑能對(duì)他們?cè)械臄?shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行改造，從而激發(fā)創(chuàng)新活力。

例如，用一根36米的籬笆來圍一個(gè)花壇，怎樣圍花壇的面積最大？針對(duì)這一問題，學(xué)生可以設(shè)計(jì)一些能“圍成”的可行方案，經(jīng)過一系列的操作、計(jì)算、比較，最后歸納得出，圍成圓形花壇時(shí)面積最大。通過解決這樣的問題，學(xué)生不僅豐富了面積大小的數(shù)感，而且在解決問題的過程中，創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力也得到了發(fā)展。

通過多種途徑來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感

注重學(xué)習(xí)過程，體驗(yàn)數(shù)感。學(xué)生數(shù)感的建立不是一蹴而就的，是在學(xué)習(xí)過程中逐步體驗(yàn)和建立起來的，教學(xué)過程中教師應(yīng)結(jié)合有關(guān)內(nèi)容，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)。對(duì)具體數(shù)量的感知與體驗(yàn)，是學(xué)生建立數(shù)感的基礎(chǔ)，這對(duì)學(xué)生理解數(shù)的意義會(huì)有很大幫助。如，為了建立“1公頃”的概念，可以把學(xué)生帶到與1公頃相當(dāng)?shù)膶W(xué)校、廣場(chǎng)、社區(qū)等地方去“步測(cè)”和“目測(cè)”，加深他們對(duì)公頃的感性認(rèn)識(shí)。

此外，在教學(xué)時(shí)，我們還要借助圖形來提升學(xué)生的認(rèn)知水平。如教學(xué)（a+b）（c+d）時(shí)，可以用矩形面積的計(jì)算來直觀解釋（如左圖），也可以用圖形來解釋說明兩位數(shù)乘兩位數(shù)（如右圖）。

這樣教學(xué)，不僅有利于建構(gòu)對(duì)數(shù)意義，也滲透了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法，有利于學(xué)生建立數(shù)感。

加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)操作，內(nèi)化數(shù)感。小學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)基本上要借助于直觀手段和實(shí)際操作活動(dòng)，這是由大部分學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知水平?jīng)Q定的。通過操作活動(dòng)，能夠促使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，從而建立數(shù)感、發(fā)展數(shù)感。

如思考：學(xué)校有900人在吃午餐，如果每次都用一次性筷子，估計(jì)一下一年用多少雙這樣的筷子？大約需要多少棵普通樹才能做成？教師可以讓學(xué)生課外去收集10雙這樣的筷子，然后以它的體積作為單位去估算。與此同時(shí)，讓學(xué)生思考10所這樣的學(xué)校、一個(gè)城市幾百所這樣的學(xué)校，如果都使用這樣的筷子，一年將要砍伐多少棵樹。對(duì)這個(gè)問題的分析思考就是一個(gè)“數(shù)學(xué)化”的過程，學(xué)生可以在這個(gè)過程中逐步學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)地理解和認(rèn)識(shí)事物”。

加強(qiáng)估算訓(xùn)練，培養(yǎng)數(shù)感。加強(qiáng)估算是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的有效途徑之一，教師教學(xué)時(shí)要善于抓住各種有利時(shí)機(jī)，創(chuàng)造性地開發(fā)教學(xué)資源，以學(xué)生熟悉的、感興趣的生活內(nèi)容為題材，從中體會(huì)估算的價(jià)值，增強(qiáng)估算的意識(shí)，使學(xué)生在不斷地估算學(xué)習(xí)中發(fā)展數(shù)感。

例如，讓學(xué)生表述一個(gè)足球場(chǎng)大約有幾個(gè)籃球場(chǎng)大，家的具體位置在哪里（用方位說出可以增強(qiáng)方位感和空間觀念，從而訓(xùn)練坐標(biāo)觀念），你家離學(xué)校有多遠(yuǎn)（用米或千米說出，可以增強(qiáng)距離感），你家的房子面積有多大等。

注重“溫故知新”，發(fā)展數(shù)感。培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)感是一個(gè)循序漸進(jìn)，從量變到質(zhì)變的過程，在平時(shí)的教學(xué)中，我們要把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感貫穿在教學(xué)的始終，既作為當(dāng)前目標(biāo)，又作為長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)。在教學(xué)新知時(shí)，要注重與舊知建立聯(lián)系，讓一些不清晰的數(shù)感，在新知的學(xué)習(xí)中加以完善。

例如，學(xué)習(xí)“圓柱的表面積和體積”時(shí)，我們可以多花一點(diǎn)時(shí)間，讓學(xué)生回顧長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位以及求平面圖形的面積的方法。

回顧舊知的過程，既是一個(gè)喚醒數(shù)感的過程，也是一個(gè)“磨刀”的過程，是很重要的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)。在學(xué)習(xí)新知時(shí)，教師要常提醒學(xué)生，一是要關(guān)注方法的正確性，二是要關(guān)注數(shù)量單位的合理性。如果學(xué)生學(xué)習(xí)能做到“一步一回頭”，常溫故而知新，那么其數(shù)感就會(huì)自然的得到提升和發(fā)展。

責(zé)任編輯 嚴(yán) 芳

（欄目主持人：嚴(yán)芳 E-mail：761753566@qq.com）

馮回祥，華中科技大學(xué)附屬小學(xué)數(shù)學(xué)教師，湖北省特級(jí)教師，中學(xué)高級(jí)教師。現(xiàn)任湖北省武漢市數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)理事，華中師范大學(xué)碩士研究生首批校外導(dǎo)師。

批改學(xué)生作業(yè)時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)一些讓人哭笑不得的“低級(jí)”錯(cuò)誤。如，教師在教授了“長(zhǎng)方體和正方體”的知識(shí)以后，要求學(xué)生完成單元檢測(cè)中關(guān)于填上合適的單位名稱的填空題。有的學(xué)生就會(huì)給出“一塊橡皮的體積大約3立方分米”，“一間教室的面積大約是50平方厘米”等不合情理的答案。

為什么學(xué)生會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤呢？除開粗心、馬虎這類性格上的原因外，這很大程度上與學(xué)生對(duì)數(shù)和量缺乏足夠的認(rèn)識(shí)，沒有養(yǎng)成良好的數(shù)感有關(guān)。作為教師，在分析學(xué)生出錯(cuò)原因的同時(shí)，是否也應(yīng)該反思一下我們的課堂教學(xué)呢？

早在2001年，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)就明確提出“要重視培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)感”，但在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，很多教師忽視了這一點(diǎn)，學(xué)生造成以上的錯(cuò)誤也就不足為奇了。作為數(shù)學(xué)教師，要想很好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，自己必須要學(xué)習(xí)和研究一些有關(guān)“數(shù)感”的基本理論和方法，并將它們切實(shí)落實(shí)到課堂教學(xué)中去。

提高對(duì)數(shù)感內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)

數(shù)感是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中的核心概念之一?？偰繕?biāo)中指出：“建立數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維。”其中“數(shù)感”擺在了首要的位置，可見理解“數(shù)感”這個(gè)概念，并讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中建立數(shù)感，是《標(biāo)準(zhǔn)》十分強(qiáng)調(diào)和重視的問題。

什么是數(shù)感？《標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。

美國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)教師委員會(huì)對(duì)數(shù)感作了如下解釋：充分了解數(shù)的意義；了解數(shù)與數(shù)之間的多種關(guān)系；可以辨別數(shù)的相對(duì)大??；知道數(shù)運(yùn)算的實(shí)際效果；能把數(shù)學(xué)知識(shí)與他們周圍環(huán)境中常見的物體和情境相聯(lián)系。

可見，數(shù)感不僅是一個(gè)概念，更是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要結(jié)構(gòu)變量，是認(rèn)知數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)而形成數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種心智技能，是學(xué)生根據(jù)積累的數(shù)的經(jīng)驗(yàn)所發(fā)展出的一整套認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)感表現(xiàn)最顯著的特點(diǎn)是對(duì)數(shù)的感知、感悟和反應(yīng)，而這種感知反應(yīng)是一個(gè)民族歷史文化的沉淀。明確了對(duì)數(shù)感內(nèi)涵的基本認(rèn)識(shí)，教師有了足夠底氣，教學(xué)時(shí)才能做到有的放矢。

明確數(shù)感的教育價(jià)值

第一，建立數(shù)感有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。作為公民素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不是用計(jì)算能力的強(qiáng)弱和解決書本問題能力的大小就能衡量的。能否數(shù)學(xué)地思考問題，是否具有理解和解釋實(shí)際問題的數(shù)學(xué)敏感，這才是衡量一個(gè)人是否有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。

例如，一個(gè)小學(xué)一年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)了自然數(shù)的意義之后，懂得了自然數(shù)可以表示物體的個(gè)數(shù)，當(dāng)他看見盤子里的蘋果時(shí)，不再是注意蘋果的顏色，而是關(guān)注蘋果的個(gè)數(shù)，并且懂得比較兩個(gè)盤子中蘋果的多少。這樣，我們可以認(rèn)為這個(gè)小學(xué)生具有了自然數(shù)感，這是他數(shù)學(xué)素養(yǎng)提高的標(biāo)志。還有，當(dāng)學(xué)生能運(yùn)用所學(xué)的百分?jǐn)?shù)知識(shí)來理解商場(chǎng)促銷活動(dòng)，能解決促銷中的相關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，這說明學(xué)生具有良好的“數(shù)感”。

第二，建立數(shù)感有助于學(xué)生構(gòu)建數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)。我們知道，數(shù)感是關(guān)于數(shù)概念的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)是接受數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)平臺(tái)。數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的形成和穩(wěn)定是數(shù)感建立的關(guān)鍵，數(shù)感的建立有助于學(xué)生構(gòu)建數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)體系。

例如，學(xué)生在為參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的全體運(yùn)動(dòng)員編號(hào)時(shí)，老師要求從號(hào)碼上就可以分辨出年級(jí)和班級(jí)，區(qū)分出男生和女生，標(biāo)示出參加的項(xiàng)目類別。這是一個(gè)實(shí)際問題，它沒有固定的編排方式，而且不同的編排方式在實(shí)用性上是不同的。依托自我建立的數(shù)感，學(xué)生就能有效地解決這一問題了。

第三，建立數(shù)感有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。學(xué)生在建立數(shù)感的過程中，有很多機(jī)會(huì)接觸現(xiàn)實(shí)問題，在解決現(xiàn)實(shí)問題的過程中，他們可以和朋友交流，表達(dá)自己對(duì)有關(guān)數(shù)的問題的個(gè)性化看法，他們可以嘗試用不同的方式思考和解決同一問題，這無疑能對(duì)他們?cè)械臄?shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行改造，從而激發(fā)創(chuàng)新活力。

例如，用一根36米的籬笆來圍一個(gè)花壇，怎樣圍花壇的面積最大？針對(duì)這一問題，學(xué)生可以設(shè)計(jì)一些能“圍成”的可行方案，經(jīng)過一系列的操作、計(jì)算、比較，最后歸納得出，圍成圓形花壇時(shí)面積最大。通過解決這樣的問題，學(xué)生不僅豐富了面積大小的數(shù)感，而且在解決問題的過程中，創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力也得到了發(fā)展。

通過多種途徑來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感

注重學(xué)習(xí)過程，體驗(yàn)數(shù)感。學(xué)生數(shù)感的建立不是一蹴而就的，是在學(xué)習(xí)過程中逐步體驗(yàn)和建立起來的，教學(xué)過程中教師應(yīng)結(jié)合有關(guān)內(nèi)容，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)。對(duì)具體數(shù)量的感知與體驗(yàn)，是學(xué)生建立數(shù)感的基礎(chǔ)，這對(duì)學(xué)生理解數(shù)的意義會(huì)有很大幫助。如，為了建立“1公頃”的概念，可以把學(xué)生帶到與1公頃相當(dāng)?shù)膶W(xué)校、廣場(chǎng)、社區(qū)等地方去“步測(cè)”和“目測(cè)”，加深他們對(duì)公頃的感性認(rèn)識(shí)。

此外，在教學(xué)時(shí)，我們還要借助圖形來提升學(xué)生的認(rèn)知水平。如教學(xué)（a+b）（c+d）時(shí)，可以用矩形面積的計(jì)算來直觀解釋（如左圖），也可以用圖形來解釋說明兩位數(shù)乘兩位數(shù)（如右圖）。

這樣教學(xué)，不僅有利于建構(gòu)對(duì)數(shù)意義，也滲透了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法，有利于學(xué)生建立數(shù)感。

加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)操作，內(nèi)化數(shù)感。小學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)基本上要借助于直觀手段和實(shí)際操作活動(dòng)，這是由大部分學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知水平?jīng)Q定的。通過操作活動(dòng)，能夠促使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，從而建立數(shù)感、發(fā)展數(shù)感。

如思考：學(xué)校有900人在吃午餐，如果每次都用一次性筷子，估計(jì)一下一年用多少雙這樣的筷子？大約需要多少棵普通樹才能做成？教師可以讓學(xué)生課外去收集10雙這樣的筷子，然后以它的體積作為單位去估算。與此同時(shí)，讓學(xué)生思考10所這樣的學(xué)校、一個(gè)城市幾百所這樣的學(xué)校，如果都使用這樣的筷子，一年將要砍伐多少棵樹。對(duì)這個(gè)問題的分析思考就是一個(gè)“數(shù)學(xué)化”的過程，學(xué)生可以在這個(gè)過程中逐步學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)地理解和認(rèn)識(shí)事物”。

加強(qiáng)估算訓(xùn)練，培養(yǎng)數(shù)感。加強(qiáng)估算是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的有效途徑之一，教師教學(xué)時(shí)要善于抓住各種有利時(shí)機(jī)，創(chuàng)造性地開發(fā)教學(xué)資源，以學(xué)生熟悉的、感興趣的生活內(nèi)容為題材，從中體會(huì)估算的價(jià)值，增強(qiáng)估算的意識(shí)，使學(xué)生在不斷地估算學(xué)習(xí)中發(fā)展數(shù)感。

例如，讓學(xué)生表述一個(gè)足球場(chǎng)大約有幾個(gè)籃球場(chǎng)大，家的具體位置在哪里（用方位說出可以增強(qiáng)方位感和空間觀念，從而訓(xùn)練坐標(biāo)觀念），你家離學(xué)校有多遠(yuǎn)（用米或千米說出，可以增強(qiáng)距離感），你家的房子面積有多大等。

注重“溫故知新”，發(fā)展數(shù)感。培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)感是一個(gè)循序漸進(jìn)，從量變到質(zhì)變的過程，在平時(shí)的教學(xué)中，我們要把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感貫穿在教學(xué)的始終，既作為當(dāng)前目標(biāo)，又作為長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)。在教學(xué)新知時(shí)，要注重與舊知建立聯(lián)系，讓一些不清晰的數(shù)感，在新知的學(xué)習(xí)中加以完善。

例如，學(xué)習(xí)“圓柱的表面積和體積”時(shí)，我們可以多花一點(diǎn)時(shí)間，讓學(xué)生回顧長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位以及求平面圖形的面積的方法。

回顧舊知的過程，既是一個(gè)喚醒數(shù)感的過程，也是一個(gè)“磨刀”的過程，是很重要的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)。在學(xué)習(xí)新知時(shí)，教師要常提醒學(xué)生，一是要關(guān)注方法的正確性，二是要關(guān)注數(shù)量單位的合理性。如果學(xué)生學(xué)習(xí)能做到“一步一回頭”，常溫故而知新，那么其數(shù)感就會(huì)自然的得到提升和發(fā)展。

責(zé)任編輯 嚴(yán) 芳

（欄目主持人：嚴(yán)芳 E-mail：761753566@qq.com）

馮回祥，華中科技大學(xué)附屬小學(xué)數(shù)學(xué)教師，湖北省特級(jí)教師，中學(xué)高級(jí)教師。現(xiàn)任湖北省武漢市數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)理事，華中師范大學(xué)碩士研究生首批校外導(dǎo)師。

批改學(xué)生作業(yè)時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)一些讓人哭笑不得的“低級(jí)”錯(cuò)誤。如，教師在教授了“長(zhǎng)方體和正方體”的知識(shí)以后，要求學(xué)生完成單元檢測(cè)中關(guān)于填上合適的單位名稱的填空題。有的學(xué)生就會(huì)給出“一塊橡皮的體積大約3立方分米”，“一間教室的面積大約是50平方厘米”等不合情理的答案。

為什么學(xué)生會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤呢？除開粗心、馬虎這類性格上的原因外，這很大程度上與學(xué)生對(duì)數(shù)和量缺乏足夠的認(rèn)識(shí)，沒有養(yǎng)成良好的數(shù)感有關(guān)。作為教師，在分析學(xué)生出錯(cuò)原因的同時(shí)，是否也應(yīng)該反思一下我們的課堂教學(xué)呢？

早在2001年，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)就明確提出“要重視培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)感”，但在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，很多教師忽視了這一點(diǎn)，學(xué)生造成以上的錯(cuò)誤也就不足為奇了。作為數(shù)學(xué)教師，要想很好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，自己必須要學(xué)習(xí)和研究一些有關(guān)“數(shù)感”的基本理論和方法，并將它們切實(shí)落實(shí)到課堂教學(xué)中去。

提高對(duì)數(shù)感內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)

數(shù)感是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中的核心概念之一。總目標(biāo)中指出：“建立數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維?！逼渲小皵?shù)感”擺在了首要的位置，可見理解“數(shù)感”這個(gè)概念，并讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中建立數(shù)感，是《標(biāo)準(zhǔn)》十分強(qiáng)調(diào)和重視的問題。

什么是數(shù)感？《標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。

美國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)教師委員會(huì)對(duì)數(shù)感作了如下解釋：充分了解數(shù)的意義；了解數(shù)與數(shù)之間的多種關(guān)系；可以辨別數(shù)的相對(duì)大??；知道數(shù)運(yùn)算的實(shí)際效果；能把數(shù)學(xué)知識(shí)與他們周圍環(huán)境中常見的物體和情境相聯(lián)系。

可見，數(shù)感不僅是一個(gè)概念，更是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要結(jié)構(gòu)變量，是認(rèn)知數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)而形成數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種心智技能，是學(xué)生根據(jù)積累的數(shù)的經(jīng)驗(yàn)所發(fā)展出的一整套認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)感表現(xiàn)最顯著的特點(diǎn)是對(duì)數(shù)的感知、感悟和反應(yīng)，而這種感知反應(yīng)是一個(gè)民族歷史文化的沉淀。明確了對(duì)數(shù)感內(nèi)涵的基本認(rèn)識(shí)，教師有了足夠底氣，教學(xué)時(shí)才能做到有的放矢。

明確數(shù)感的教育價(jià)值

第一，建立數(shù)感有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。作為公民素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不是用計(jì)算能力的強(qiáng)弱和解決書本問題能力的大小就能衡量的。能否數(shù)學(xué)地思考問題，是否具有理解和解釋實(shí)際問題的數(shù)學(xué)敏感，這才是衡量一個(gè)人是否有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。

例如，一個(gè)小學(xué)一年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)了自然數(shù)的意義之后，懂得了自然數(shù)可以表示物體的個(gè)數(shù)，當(dāng)他看見盤子里的蘋果時(shí)，不再是注意蘋果的顏色，而是關(guān)注蘋果的個(gè)數(shù)，并且懂得比較兩個(gè)盤子中蘋果的多少。這樣，我們可以認(rèn)為這個(gè)小學(xué)生具有了自然數(shù)感，這是他數(shù)學(xué)素養(yǎng)提高的標(biāo)志。還有，當(dāng)學(xué)生能運(yùn)用所學(xué)的百分?jǐn)?shù)知識(shí)來理解商場(chǎng)促銷活動(dòng)，能解決促銷中的相關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，這說明學(xué)生具有良好的“數(shù)感”。

第二，建立數(shù)感有助于學(xué)生構(gòu)建數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)。我們知道，數(shù)感是關(guān)于數(shù)概念的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)是接受數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)平臺(tái)。數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的形成和穩(wěn)定是數(shù)感建立的關(guān)鍵，數(shù)感的建立有助于學(xué)生構(gòu)建數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)體系。

例如，學(xué)生在為參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的全體運(yùn)動(dòng)員編號(hào)時(shí)，老師要求從號(hào)碼上就可以分辨出年級(jí)和班級(jí)，區(qū)分出男生和女生，標(biāo)示出參加的項(xiàng)目類別。這是一個(gè)實(shí)際問題，它沒有固定的編排方式，而且不同的編排方式在實(shí)用性上是不同的。依托自我建立的數(shù)感，學(xué)生就能有效地解決這一問題了。

第三，建立數(shù)感有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。學(xué)生在建立數(shù)感的過程中，有很多機(jī)會(huì)接觸現(xiàn)實(shí)問題，在解決現(xiàn)實(shí)問題的過程中，他們可以和朋友交流，表達(dá)自己對(duì)有關(guān)數(shù)的問題的個(gè)性化看法，他們可以嘗試用不同的方式思考和解決同一問題，這無疑能對(duì)他們?cè)械臄?shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行改造，從而激發(fā)創(chuàng)新活力。

例如，用一根36米的籬笆來圍一個(gè)花壇，怎樣圍花壇的面積最大？針對(duì)這一問題，學(xué)生可以設(shè)計(jì)一些能“圍成”的可行方案，經(jīng)過一系列的操作、計(jì)算、比較，最后歸納得出，圍成圓形花壇時(shí)面積最大。通過解決這樣的問題，學(xué)生不僅豐富了面積大小的數(shù)感，而且在解決問題的過程中，創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力也得到了發(fā)展。

通過多種途徑來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感

注重學(xué)習(xí)過程，體驗(yàn)數(shù)感。學(xué)生數(shù)感的建立不是一蹴而就的，是在學(xué)習(xí)過程中逐步體驗(yàn)和建立起來的，教學(xué)過程中教師應(yīng)結(jié)合有關(guān)內(nèi)容，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)。對(duì)具體數(shù)量的感知與體驗(yàn)，是學(xué)生建立數(shù)感的基礎(chǔ)，這對(duì)學(xué)生理解數(shù)的意義會(huì)有很大幫助。如，為了建立“1公頃”的概念，可以把學(xué)生帶到與1公頃相當(dāng)?shù)膶W(xué)校、廣場(chǎng)、社區(qū)等地方去“步測(cè)”和“目測(cè)”，加深他們對(duì)公頃的感性認(rèn)識(shí)。

此外，在教學(xué)時(shí)，我們還要借助圖形來提升學(xué)生的認(rèn)知水平。如教學(xué)（a+b）（c+d）時(shí)，可以用矩形面積的計(jì)算來直觀解釋（如左圖），也可以用圖形來解釋說明兩位數(shù)乘兩位數(shù)（如右圖）。

這樣教學(xué)，不僅有利于建構(gòu)對(duì)數(shù)意義，也滲透了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法，有利于學(xué)生建立數(shù)感。

加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)操作，內(nèi)化數(shù)感。小學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)基本上要借助于直觀手段和實(shí)際操作活動(dòng)，這是由大部分學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知水平?jīng)Q定的。通過操作活動(dòng)，能夠促使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，從而建立數(shù)感、發(fā)展數(shù)感。

如思考：學(xué)校有900人在吃午餐，如果每次都用一次性筷子，估計(jì)一下一年用多少雙這樣的筷子？大約需要多少棵普通樹才能做成？教師可以讓學(xué)生課外去收集10雙這樣的筷子，然后以它的體積作為單位去估算。與此同時(shí)，讓學(xué)生思考10所這樣的學(xué)校、一個(gè)城市幾百所這樣的學(xué)校，如果都使用這樣的筷子，一年將要砍伐多少棵樹。對(duì)這個(gè)問題的分析思考就是一個(gè)“數(shù)學(xué)化”的過程，學(xué)生可以在這個(gè)過程中逐步學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)地理解和認(rèn)識(shí)事物”。

加強(qiáng)估算訓(xùn)練，培養(yǎng)數(shù)感。加強(qiáng)估算是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的有效途徑之一，教師教學(xué)時(shí)要善于抓住各種有利時(shí)機(jī)，創(chuàng)造性地開發(fā)教學(xué)資源，以學(xué)生熟悉的、感興趣的生活內(nèi)容為題材，從中體會(huì)估算的價(jià)值，增強(qiáng)估算的意識(shí)，使學(xué)生在不斷地估算學(xué)習(xí)中發(fā)展數(shù)感。

例如，讓學(xué)生表述一個(gè)足球場(chǎng)大約有幾個(gè)籃球場(chǎng)大，家的具體位置在哪里（用方位說出可以增強(qiáng)方位感和空間觀念，從而訓(xùn)練坐標(biāo)觀念），你家離學(xué)校有多遠(yuǎn)（用米或千米說出，可以增強(qiáng)距離感），你家的房子面積有多大等。

注重“溫故知新”，發(fā)展數(shù)感。培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)感是一個(gè)循序漸進(jìn)，從量變到質(zhì)變的過程，在平時(shí)的教學(xué)中，我們要把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感貫穿在教學(xué)的始終，既作為當(dāng)前目標(biāo)，又作為長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)。在教學(xué)新知時(shí)，要注重與舊知建立聯(lián)系，讓一些不清晰的數(shù)感，在新知的學(xué)習(xí)中加以完善。

例如，學(xué)習(xí)“圓柱的表面積和體積”時(shí)，我們可以多花一點(diǎn)時(shí)間，讓學(xué)生回顧長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位以及求平面圖形的面積的方法。

回顧舊知的過程，既是一個(gè)喚醒數(shù)感的過程，也是一個(gè)“磨刀”的過程，是很重要的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)。在學(xué)習(xí)新知時(shí)，教師要常提醒學(xué)生，一是要關(guān)注方法的正確性，二是要關(guān)注數(shù)量單位的合理性。如果學(xué)生學(xué)習(xí)能做到“一步一回頭”，常溫故而知新，那么其數(shù)感就會(huì)自然的得到提升和發(fā)展。

責(zé)任編輯 嚴(yán) 芳

（欄目主持人：嚴(yán)芳 E-mail：761753566@qq.com）