于可心

摘 要：通過考試來檢驗學(xué)生的階段性學(xué)習(xí)成效是當前高中學(xué)校采取的最主要的考察手段，但在學(xué)習(xí)科目多、時間緊的情況下如何根據(jù)考試成績采取科學(xué)合理的改進措施一直是教師和學(xué)生面臨的一個難題。文章將信息熵及熵權(quán)法的概念引入學(xué)生的考試成績評價分析，設(shè)計了一個基于熵權(quán)的成績提升策略判斷矩陣和成績分析折線圖，根據(jù)判斷矩陣和折線圖，學(xué)生可快速確定自身當前最需改進和最容易改進的薄弱課程，進而制定科學(xué)的學(xué)習(xí)提升策略，不斷提升學(xué)生的考試成績。

關(guān)鍵詞：熵 熵權(quán)法 成績評價 提升策略

中圖分類號：G252.62 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）02（a）-0001-03

通過考試來判斷學(xué)生的學(xué)習(xí)效果是當下大部分高中采取的最主要考察方式，根據(jù)筆者所在地區(qū)大多數(shù)高中的教學(xué)情況，學(xué)生每學(xué)期一般至少要進行兩次階段性考試和期中、期末等四次考試，盡管每次考試后學(xué)校都進行考試分析，教師也都會與同學(xué)進行個別座談，但效果并不盡理想，因為各科教師除與學(xué)生交流考試問題所在及如何采取合理的學(xué)習(xí)方法外，往往都要求學(xué)生在本科目上要花費更多的學(xué)習(xí)盡快趕上，但學(xué)生往往會感到很茫然[1-2]，面對多達9門的學(xué)習(xí)課程，如何合理分配各科學(xué)習(xí)時間，優(yōu)先解決哪門課的學(xué)習(xí)能盡快縮小與他人的學(xué)習(xí)差距，提振學(xué)習(xí)信心和學(xué)習(xí)興趣是很多學(xué)生面臨的一個難題[3-5]，這導(dǎo)致很多學(xué)生感到無所適從，在這種壓力下，有的學(xué)生甚至?xí)员┳詶?，對學(xué)習(xí)更加沒有動力[6]。在多課程中快速找到能盡快提升成績的課程，是現(xiàn)代管理學(xué)中的一個多目標綜合判斷和優(yōu)化問題[7]，本文針對這一問題，結(jié)合信息論中的信息熵原理，通過熵權(quán)法[8]客觀判斷每位學(xué)生當前的最優(yōu)提升課程，并給出了一個判斷矩陣和折線圖，協(xié)助學(xué)生對最需改進和最容易改進的薄弱課程進行優(yōu)先考慮，快速提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績。

1 熵與熵權(quán)法

熵本來是熱力學(xué)中的一個概念，是對物理系統(tǒng)無序性或紊亂程度的一種度量，根據(jù)最大熵原理，一個孤立系統(tǒng)的熵總是自發(fā)地趨于極大，至最大時系統(tǒng)趨于平衡。1948年，C.E.Shannon[9]將熵引入信息論，用于評價離散系統(tǒng)的不確定性，稱之為信息熵?；谛畔㈧卦碓O(shè)計的熵權(quán)法是一種在綜合考慮各因素所提供信息熵的基礎(chǔ)上，客觀確定各評價指標的相對權(quán)重，并對評價結(jié)果進行比較評價的一種決策評價算法。熵權(quán)法的實現(xiàn)步驟一般包括原始數(shù)據(jù)矩陣標準化、各指標信息熵計算、各指標熵權(quán)計算、各樣本單位評價分值計算等四個步驟。該文中，我們將結(jié)合實例，對熵權(quán)法的計算過程進行描述。

2 數(shù)據(jù)來源

該文選取某高中高一某班的某次段考的10名同學(xué)考試成績作為分析案例，段考包含語文、數(shù)學(xué)、英語、政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物9門課程，其中政治、歷史、地理滿分為50分，其他課程滿分為100分，該10名同學(xué)考試總成績在班級的名次分列第1、5、10……45名，具體數(shù)據(jù)見表1。因10名同學(xué)在同一班級，任課教師及班級管理等師資條件完全相同，但考試成績卻相差較大，對這10名同學(xué)來說，該如何根據(jù)段考成績來調(diào)整各科目的學(xué)習(xí)時間從而使得考試成績最優(yōu)呢？

3 數(shù)據(jù)處理

表一中的原始數(shù)據(jù)可以看成一個矩陣，，其中，表示學(xué)生數(shù)，，表示課程數(shù)，。

3.1 數(shù)據(jù)標準化處理

數(shù)據(jù)標準化處理是建立數(shù)據(jù)間可比較性的基礎(chǔ)，一般包含兩個步驟，一是數(shù)據(jù)同趨化處理，即所有數(shù)據(jù)變化趨勢所表征的性質(zhì)必須相同，在本例中，數(shù)值越大表示考試成績越好，不需進行同趨化處理；二是無量綱化處理，所有數(shù)據(jù)都需統(tǒng)一到同一量綱下，從而解決數(shù)據(jù)的可比性問題，由于各科目滿分成績有的是100分，有的是50分，因此需要進行無量綱化處理，本例中采取成績權(quán)重歸一化方法進行無量綱化數(shù)據(jù)處理，形成標準化矩陣。其中：，其中，表示學(xué)生數(shù)，，表示課程數(shù)，，標準化后數(shù)據(jù)見表2。

3.2 計算各課程考試成績的信息熵

根據(jù)標準化矩陣可以計算各指標的信息熵[10]。令表示第個指標的熵，則計算公式為：

假定：當時，，令為波爾茲曼常數(shù)。

各課程考試成績的信息熵H（i）見表3。

3.3 求各課程考試成績的熵權(quán)

假設(shè)為第個指標的熵權(quán)，計算的公式為：

，

由上述計算步驟不難看出，如果某個指標的信息熵越小，就表明其指標值的變異程度越大，提供的信息量也越大，則其權(quán)重也就越大。各評價指標的熵權(quán)w（i）見表4。

4 結(jié)果分析與應(yīng)用

由信息熵定義可知，如果某門課程考試成績的信息熵越大，那么同學(xué)間成績的差異就會越小，當所有同學(xué)成績相同時，信息熵達到最大值。根據(jù)表三可知，L1、L7、L9三門課程的信息熵位居各科前三名，說明這三門課程成績差異不大，大多數(shù)同學(xué)的成績都位于一個相對集中的分數(shù)段，從表一原始成績中也能看出這一趨勢，例如信息熵最大的L1所代表的語文課程，成績分布區(qū)間都集中在69-82分數(shù)段，不像其他課程考試分數(shù)離散程度那么大；而信息熵最小的L4所代表的政治課程，在總分50分的情況下，成績分布區(qū)間卻離散在24-44分數(shù)段。

表四的熵權(quán)信息表所反映的是某門課程在學(xué)生成績評價和排名中的重要程度，一門課程的熵權(quán)越大，表示該課程成績對學(xué)生總體成績的影響就越大，而該門課程成績越高，對總成績的排名貢獻度也會越大。從各門課程熵權(quán)的排序看，信息熵越小，熵權(quán)越大，熵權(quán)排序也越靠前。表四中L4、L2、L6三門課程的熵權(quán)排序在前三位，這表明本次考試中，這三門課程的成績對學(xué)生總體成績排名的貢獻最大。

在教學(xué)、師資、管理等外部條件都相同的情況下，某門課程的熵權(quán)最大、信息熵最小，這說明學(xué)生對這門課程學(xué)習(xí)效果差異較大，由于外部條件基本相同，可以說這種差異主要來自學(xué)生自身的內(nèi)部學(xué)習(xí)動力，成績較差的同學(xué)應(yīng)該對該門課程引起足夠重視。從另一個方面看，差異大，也說明有一批同學(xué)對該門課程學(xué)習(xí)很好，可學(xué)習(xí)和借鑒的經(jīng)驗也較多，也容易形成互幫互助的氛圍，成績較差的同學(xué)提升成績也較容易。基于這一理論，我們設(shè)計了一個交叉判斷矩陣來快速確定每個同學(xué)的優(yōu)先提升課程，具體見表5。

表中橫坐標是課程，括號內(nèi)數(shù)字是熵權(quán)排序，表中數(shù)據(jù)是學(xué)生各科成績排名，為了便于分析，表中只標注了成績排序后四位的排名，其中分數(shù)相同的排名也相同，根據(jù)表五，熵權(quán)排序第一的是L4，同學(xué)S9在該科目排名最后，因此該科目應(yīng)該引起該同學(xué)的足夠重視，而同學(xué)S3、S4在該科目排名也較后，也應(yīng)當引起重視。熵權(quán)排第二的L2課程中，同學(xué)S7、S8、S6由于排名靠后，所以在今后的學(xué)習(xí)中，應(yīng)該對該門課程引起重視。根據(jù)熵權(quán)和成績排序，學(xué)生可以在交叉判斷矩陣中找到自己需要提升的科目。

圖1給出了S1、S5、S9三位同學(xué)的標準化成績折線圖，學(xué)生也可以通過圖一所示的折線圖來確定自己的優(yōu)先改進科目。S9同學(xué)的L4課程在自己的9門課程中排序靠后，而L4課程熵權(quán)排序第一，因此應(yīng)選擇該門課作為優(yōu)先改進的課程，這一結(jié)果與表五的判斷矩陣的判斷結(jié)果一致。S5同學(xué)在自己的成績折線圖上也是L4課程排序最低，因此也應(yīng)優(yōu)先重視該課程的提升工作，另外從折線圖上看，該同學(xué)所有課程成績都比較均衡，在提升L4課程的同時，也可根據(jù)熵權(quán)對L2、L6、L8等熵權(quán)較大的課程進行優(yōu)先提升工作。S1在年級排名第一，各科成績都名列前茅，他應(yīng)該如何選擇自己的優(yōu)先改進課程呢？相對其他課程考試成績，該同學(xué)L1、L3、L5、L9四門課相對較低，熵權(quán)排序分別為9、5、6、7，根據(jù)熵權(quán)理論，應(yīng)確定熵權(quán)排序第五的L3課程作為優(yōu)先改進課程。

課程L1信息熵最大，熵權(quán)最小，但從學(xué)生的成績得分來看并不高，造成這種現(xiàn)象原因可能有二，或者試卷難度偏大，或者學(xué)生總體學(xué)習(xí)效果不理想，任課教師可以從外延和內(nèi)涵兩個方面來探索該門課程的教學(xué)努力方向，從外延來說，可以對比其他班級的考試成績，若與其他班級比成績較好或沒有明顯差距，基本可推斷出是試卷難度偏大問題。若與其他班級比有明顯差距，則要從自身的教和學(xué)生的學(xué)兩方面進行反思如何提升教學(xué)效果，具體辦法是將學(xué)生各題的得分進行熵權(quán)分析，找出薄弱環(huán)節(jié)進行改進。

5 結(jié)語

熵權(quán)法是一種根據(jù)評價指標信息熵進行多目標決策的客觀權(quán)重賦值算法，通過分析及實例演示，說明該方法可以很好地用于學(xué)生的學(xué)習(xí)改進中，及時幫助學(xué)生快速找出自己的優(yōu)先改進課程，同時由于這是一種客觀賦值算法，很容易通過構(gòu)造評價策略交叉判斷矩陣并在計算機上快速實現(xiàn)，對學(xué)生學(xué)習(xí)具有較大的幫助作用。另外，由于熵權(quán)法各項指標的客觀權(quán)重不是固定不變的，下次考試后，會隨著各科成績的變化即時變化，因此能及時有效地指導(dǎo)學(xué)生優(yōu)先改變自己的弱項課程，使得學(xué)生的提升目標具有很強的目的性。在這種及時指導(dǎo)和反饋下，每位學(xué)生都會不斷改進自己權(quán)重較大的弱項目標，從而會使得該門課程的信息熵不斷增大，熵權(quán)不斷減小，而隨著熵權(quán)降低，學(xué)生優(yōu)先提升目標就會逐步轉(zhuǎn)向其他熵權(quán)較大的弱項課程，從而使得學(xué)習(xí)成績不斷得到提升。

參考文獻

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表中橫坐標是課程，括號內(nèi)數(shù)字是熵權(quán)排序，表中數(shù)據(jù)是學(xué)生各科成績排名，為了便于分析，表中只標注了成績排序后四位的排名，其中分數(shù)相同的排名也相同，根據(jù)表五，熵權(quán)排序第一的是L4，同學(xué)S9在該科目排名最后，因此該科目應(yīng)該引起該同學(xué)的足夠重視，而同學(xué)S3、S4在該科目排名也較后，也應(yīng)當引起重視。熵權(quán)排第二的L2課程中，同學(xué)S7、S8、S6由于排名靠后，所以在今后的學(xué)習(xí)中，應(yīng)該對該門課程引起重視。根據(jù)熵權(quán)和成績排序，學(xué)生可以在交叉判斷矩陣中找到自己需要提升的科目。

圖1給出了S1、S5、S9三位同學(xué)的標準化成績折線圖，學(xué)生也可以通過圖一所示的折線圖來確定自己的優(yōu)先改進科目。S9同學(xué)的L4課程在自己的9門課程中排序靠后，而L4課程熵權(quán)排序第一，因此應(yīng)選擇該門課作為優(yōu)先改進的課程，這一結(jié)果與表五的判斷矩陣的判斷結(jié)果一致。S5同學(xué)在自己的成績折線圖上也是L4課程排序最低，因此也應(yīng)優(yōu)先重視該課程的提升工作，另外從折線圖上看，該同學(xué)所有課程成績都比較均衡，在提升L4課程的同時，也可根據(jù)熵權(quán)對L2、L6、L8等熵權(quán)較大的課程進行優(yōu)先提升工作。S1在年級排名第一，各科成績都名列前茅，他應(yīng)該如何選擇自己的優(yōu)先改進課程呢？相對其他課程考試成績，該同學(xué)L1、L3、L5、L9四門課相對較低，熵權(quán)排序分別為9、5、6、7，根據(jù)熵權(quán)理論，應(yīng)確定熵權(quán)排序第五的L3課程作為優(yōu)先改進課程。

課程L1信息熵最大，熵權(quán)最小，但從學(xué)生的成績得分來看并不高，造成這種現(xiàn)象原因可能有二，或者試卷難度偏大，或者學(xué)生總體學(xué)習(xí)效果不理想，任課教師可以從外延和內(nèi)涵兩個方面來探索該門課程的教學(xué)努力方向，從外延來說，可以對比其他班級的考試成績，若與其他班級比成績較好或沒有明顯差距，基本可推斷出是試卷難度偏大問題。若與其他班級比有明顯差距，則要從自身的教和學(xué)生的學(xué)兩方面進行反思如何提升教學(xué)效果，具體辦法是將學(xué)生各題的得分進行熵權(quán)分析，找出薄弱環(huán)節(jié)進行改進。

5 結(jié)語

熵權(quán)法是一種根據(jù)評價指標信息熵進行多目標決策的客觀權(quán)重賦值算法，通過分析及實例演示，說明該方法可以很好地用于學(xué)生的學(xué)習(xí)改進中，及時幫助學(xué)生快速找出自己的優(yōu)先改進課程，同時由于這是一種客觀賦值算法，很容易通過構(gòu)造評價策略交叉判斷矩陣并在計算機上快速實現(xiàn)，對學(xué)生學(xué)習(xí)具有較大的幫助作用。另外，由于熵權(quán)法各項指標的客觀權(quán)重不是固定不變的，下次考試后，會隨著各科成績的變化即時變化，因此能及時有效地指導(dǎo)學(xué)生優(yōu)先改變自己的弱項課程，使得學(xué)生的提升目標具有很強的目的性。在這種及時指導(dǎo)和反饋下，每位學(xué)生都會不斷改進自己權(quán)重較大的弱項目標，從而會使得該門課程的信息熵不斷增大，熵權(quán)不斷減小，而隨著熵權(quán)降低，學(xué)生優(yōu)先提升目標就會逐步轉(zhuǎn)向其他熵權(quán)較大的弱項課程，從而使得學(xué)習(xí)成績不斷得到提升。

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表中橫坐標是課程，括號內(nèi)數(shù)字是熵權(quán)排序，表中數(shù)據(jù)是學(xué)生各科成績排名，為了便于分析，表中只標注了成績排序后四位的排名，其中分數(shù)相同的排名也相同，根據(jù)表五，熵權(quán)排序第一的是L4，同學(xué)S9在該科目排名最后，因此該科目應(yīng)該引起該同學(xué)的足夠重視，而同學(xué)S3、S4在該科目排名也較后，也應(yīng)當引起重視。熵權(quán)排第二的L2課程中，同學(xué)S7、S8、S6由于排名靠后，所以在今后的學(xué)習(xí)中，應(yīng)該對該門課程引起重視。根據(jù)熵權(quán)和成績排序，學(xué)生可以在交叉判斷矩陣中找到自己需要提升的科目。

圖1給出了S1、S5、S9三位同學(xué)的標準化成績折線圖，學(xué)生也可以通過圖一所示的折線圖來確定自己的優(yōu)先改進科目。S9同學(xué)的L4課程在自己的9門課程中排序靠后，而L4課程熵權(quán)排序第一，因此應(yīng)選擇該門課作為優(yōu)先改進的課程，這一結(jié)果與表五的判斷矩陣的判斷結(jié)果一致。S5同學(xué)在自己的成績折線圖上也是L4課程排序最低，因此也應(yīng)優(yōu)先重視該課程的提升工作，另外從折線圖上看，該同學(xué)所有課程成績都比較均衡，在提升L4課程的同時，也可根據(jù)熵權(quán)對L2、L6、L8等熵權(quán)較大的課程進行優(yōu)先提升工作。S1在年級排名第一，各科成績都名列前茅，他應(yīng)該如何選擇自己的優(yōu)先改進課程呢？相對其他課程考試成績，該同學(xué)L1、L3、L5、L9四門課相對較低，熵權(quán)排序分別為9、5、6、7，根據(jù)熵權(quán)理論，應(yīng)確定熵權(quán)排序第五的L3課程作為優(yōu)先改進課程。

課程L1信息熵最大，熵權(quán)最小，但從學(xué)生的成績得分來看并不高，造成這種現(xiàn)象原因可能有二，或者試卷難度偏大，或者學(xué)生總體學(xué)習(xí)效果不理想，任課教師可以從外延和內(nèi)涵兩個方面來探索該門課程的教學(xué)努力方向，從外延來說，可以對比其他班級的考試成績，若與其他班級比成績較好或沒有明顯差距，基本可推斷出是試卷難度偏大問題。若與其他班級比有明顯差距，則要從自身的教和學(xué)生的學(xué)兩方面進行反思如何提升教學(xué)效果，具體辦法是將學(xué)生各題的得分進行熵權(quán)分析，找出薄弱環(huán)節(jié)進行改進。

5 結(jié)語

熵權(quán)法是一種根據(jù)評價指標信息熵進行多目標決策的客觀權(quán)重賦值算法，通過分析及實例演示，說明該方法可以很好地用于學(xué)生的學(xué)習(xí)改進中，及時幫助學(xué)生快速找出自己的優(yōu)先改進課程，同時由于這是一種客觀賦值算法，很容易通過構(gòu)造評價策略交叉判斷矩陣并在計算機上快速實現(xiàn)，對學(xué)生學(xué)習(xí)具有較大的幫助作用。另外，由于熵權(quán)法各項指標的客觀權(quán)重不是固定不變的，下次考試后，會隨著各科成績的變化即時變化，因此能及時有效地指導(dǎo)學(xué)生優(yōu)先改變自己的弱項課程，使得學(xué)生的提升目標具有很強的目的性。在這種及時指導(dǎo)和反饋下，每位學(xué)生都會不斷改進自己權(quán)重較大的弱項目標，從而會使得該門課程的信息熵不斷增大，熵權(quán)不斷減小，而隨著熵權(quán)降低，學(xué)生優(yōu)先提升目標就會逐步轉(zhuǎn)向其他熵權(quán)較大的弱項課程，從而使得學(xué)習(xí)成績不斷得到提升。

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