田雪坤，李 忱，王海任，趙 麗

(1.太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024；2.山西省煤炭管理干部學(xué)院，030006)

薄殼作為一個(gè)重要的結(jié)構(gòu)部件在石油化工、國(guó)防、能源、制藥等行業(yè)應(yīng)用非常廣泛。在工程實(shí)際中，薄殼在靜力或動(dòng)力荷載作用下薄殼結(jié)構(gòu)破壞的主要形式是屈曲失穩(wěn)，且呈現(xiàn)強(qiáng)烈的突然性，造成的損失是不可估量的。所以，薄殼結(jié)構(gòu)由于失穩(wěn)引起的安全性和耐久性問題是人們一直普遍關(guān)注的研究課題。對(duì)于薄殼穩(wěn)定理論的研究大體可分為兩個(gè)階段：第一階段是針對(duì)完善結(jié)構(gòu)的線性彈性理論，第二階段是非線性彈性理論。殼體計(jì)算的理論可分為兩類：薄殼理論和彎曲理論。薄殼理論也稱為無矩理論，是最早產(chǎn)生發(fā)展也比較快的[1]。在薄殼理論中，所有的外力都可以看作是作用于殼體中間曲面的力。殼體在外力作用下發(fā)生變形，運(yùn)用張量以理性力學(xué)的角度可以很好地描述殼體曲面的薄膜張力和抗彎剛度。

在經(jīng)典彈性理論的基礎(chǔ)上，通常對(duì)殼體采用了如下假設(shè)：(1)直法線假設(shè)：變形前正交于殼體中面的法線段，在殼體變形后仍為正交于變形后的殼體中面的直線段，而且保持長(zhǎng)度不變。按照這條假設(shè)，在結(jié)合變形的概念，可得出：ε13=ε23=0,ε33=0；(2)切平面應(yīng)力假設(shè)：與殼體中面平行的截面互相不擠壓，也就是正應(yīng)力σ33比應(yīng)力分量σ11,σ22,σ12=σ21小得多，因此它對(duì)殼體變形的影響可以忽略不計(jì)，即：σ33=0；(3)作用在殼體上的所有外力都可以轉(zhuǎn)換到殼體的中面。

1 線性本構(gòu)方程

物體形變分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系式也就是物體的物理本構(gòu)關(guān)系[2]，在線性范圍內(nèi)軸對(duì)稱球形殼體的線性物理本構(gòu)關(guān)系如下所示：

(1)

其中D=Et3/12(1-μ2)、t是薄球殼厚度，E是彈性模量，μ是泊松比。κφ和κθ分別是φ和θ方向的曲率。

2 非線性本構(gòu)方程

本構(gòu)理論研究的是應(yīng)力張量與物體運(yùn)動(dòng)歷史的關(guān)系。材料在變形過程中必須遵循本構(gòu)關(guān)系的規(guī)律。客觀性原理又是建立本構(gòu)關(guān)系所必須遵守的基本前提。Reiner得出：自變量為對(duì)稱仿射量E，如果仿射量函數(shù)K(E)是各向同性的，則它可以表示為：K=φ0I+2φ1E+3φ2E2.對(duì)于任意有限數(shù)目的張量自變量和任意緊點(diǎn)群，存在一個(gè)由有限數(shù)目不變量構(gòu)成的函數(shù)基，并且關(guān)于任意類型的張量值函數(shù)存在一個(gè)由有限數(shù)目形式不變量構(gòu)成的完備表示[3-5]。對(duì)于各向同性材料，現(xiàn)有文獻(xiàn)指出，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系可以寫為：

(2)

其本構(gòu)方程可以表示為應(yīng)變張量E的主跡的完備的一次(n=2)式形式：

(3)

(4)

二階本構(gòu)方程：

(5)

前人早已提出過許多形式的應(yīng)變能函數(shù)，然而從數(shù)學(xué)的角度上說，無論應(yīng)變能函數(shù)有多復(fù)雜，始終可以將其表達(dá)成為一個(gè)非線性多項(xiàng)式。對(duì)于各向同性彈性體材料，建立Green彈性體共軛應(yīng)力張量K、應(yīng)變張量E與應(yīng)變能函數(shù)W之間的積分關(guān)系：

因?yàn)镵和E均為對(duì)稱仿射量，故有：

所以應(yīng)變能函數(shù)可以表示為：

(6)

3 非線性熱應(yīng)力本構(gòu)方程

研究殼體的溫度變形和熱應(yīng)力問題，不論在理論上還是在工程實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中都有很重要的意義。在分析因溫度變化而引起的應(yīng)力和變形時(shí)，需要在彈性本構(gòu)方程中增加溫度對(duì)應(yīng)變的影響[6]。對(duì)于各向同性材料在溫度固定的環(huán)境下處于零應(yīng)力狀態(tài)，假如物體在溫度T0時(shí)是無應(yīng)力的，當(dāng)溫度變化到時(shí)應(yīng)力仍然為零，則有線性定律：

εij=αij(T-T0)

(7)

假如物體受到約束，以至于當(dāng)溫度從T0變化到T時(shí)，εij=0，則物體內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力：

σij=-βij(T-T0)

(8)

αij和βij是材料常數(shù)的對(duì)稱張量，在溫度T0下分別由零應(yīng)力狀態(tài)和零應(yīng)變狀態(tài)測(cè)得。

將方程(7)與方程(8)結(jié)合，得到熱彈性理論的杜哈姆-諾依曼(Duhamel-Neumann)定律：

σij=Cijklekl-βij(T-T0)

對(duì)于各向同性材料，二階張量βij也必是各向同性的，可以得到：

其中：α為材料的線性膨脹系數(shù)，△T=T-T0為溫度的改變量，得到熱本構(gòu)方程：

(9)

同樣可以得到應(yīng)變能函數(shù)W：

4 薄球殼非線性應(yīng)力

根據(jù)假設(shè)，我們可以寫出球殼的應(yīng)力張量和應(yīng)變張量：

進(jìn)而可以寫出E的3個(gè)主跡I1I2I3分別為：

這樣，將K、E及E的三個(gè)主跡I1I2I3帶入到方程(5)中，可以得到：

記：a1=k3+3k4+3k5,a2=k1+2k2,a3=k3+k4,a4=k1,a5=2k4+3k5

此時(shí)，本構(gòu)方程系數(shù)再次簡(jiǎn)化為5個(gè)：

從將三維問題轉(zhuǎn)為二維問題的目的出發(fā)，可將位移和應(yīng)變進(jìn)行簡(jiǎn)化，為此在板殼理論中簡(jiǎn)化計(jì)算應(yīng)力時(shí)，引入沿板殼厚度的積分來表示力與力矩[7-9]，再結(jié)合上述結(jié)論，可以得到薄球殼非線性內(nèi)力及內(nèi)矩分量：

同樣，將K、E及E的三個(gè)主跡I1I2I3帶入到方程(9)中，可以得到薄殼熱應(yīng)力：

記：b0=k2T+k6T2,b1=3k5+k4+3k9,b2=k1+k7T+2(k3+k8T),b3=k4+k5,b4=k1+k7T,b5=2k5+3k9,b6=k5，其中，b1=b3+b5，以T代表△T.

此時(shí)，本構(gòu)方程系數(shù)簡(jiǎn)化為6個(gè)：

同樣可以得到薄球殼非線性熱內(nèi)力及內(nèi)矩分量：

5 結(jié)論

本文用含有高階彈性張量的張量多項(xiàng)式分別表示以應(yīng)變?yōu)閱巫兞恳约皯?yīng)變和溫度為雙變量的應(yīng)力張量函數(shù)。在各向同性情況下，推導(dǎo)出了薄球殼的非線性本構(gòu)方程和非線性熱應(yīng)力本構(gòu)方程，得到如下結(jié)論：

(1)對(duì)于各向同性材料，在n=3時(shí)，2n階彈性張量獨(dú)立分量有5個(gè)，與文獻(xiàn)[3]的結(jié)論一致；

(2)非線性熱應(yīng)力本構(gòu)方程比非線性本構(gòu)方程多了一個(gè)獨(dú)立常數(shù)，主要因?yàn)樵黾恿艘粋€(gè)關(guān)于溫度T的常數(shù)；

(3)對(duì)于非線性熱應(yīng)力本構(gòu)方程，若不考慮溫度與應(yīng)變二次項(xiàng)，與文獻(xiàn)[3]中的本構(gòu)方程完全相同。

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