伍利美

分類與整合思想的考查在高考中占有比較重要的位置，通常以解答題為主進(jìn)行考查.為什么要分類？如何分類？如何整合？這就要求學(xué)生必須有嚴(yán)謹(jǐn)、周密的邏輯思維能力和一定的分析問題、解決問題的能力.

一、對含有參數(shù)的字母進(jìn)行分類與整合

例1：已知a∈R，求f（x）=x2eax的單調(diào)區(qū)間.

解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)：f'（x）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax；

（1）當(dāng)a=0時，若x<0，則f'（x）<0；若x>0，則f'（x）>0.

所以當(dāng)a=0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù).

（2）當(dāng)a>0時，由2x+ax2>0，解得x<-■或x>0，

由2x+ax2<0，解得-■

所以，當(dāng)a>0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-■）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（-■，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)；

（3）當(dāng)a<0時，由2x+ax2>0，解得0-■.

所以，當(dāng)a<0時，函數(shù)f （x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，-■）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（-■，+∞）內(nèi)為減函數(shù).

評注：數(shù)學(xué)問題中含有變量或參數(shù)，這些變量或參數(shù)取不同的值時會導(dǎo)致不同的結(jié)果，故需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，再適當(dāng)進(jìn)行整合.

二、對排列、組合、概率問題中各種可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分類與整合

例2：盒子有大小相同的球10個，其中標(biāo)號為1的球3個，標(biāo)號為2的球4個，標(biāo)號為5的球3個，第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球（假設(shè)取到每個球的可能性都相同），記第一次與第二次取到球的標(biāo)號之和為ξ，求ξ的分布列.

解：記ξ=k為所取兩球標(biāo)號之和，則k=2，3，4，6，7，10.

P（ξ=2）=■×■=■；

P（ξ=3）=2×■×■=■；

P（ξ=4）=■×■=■；

P（ξ=6）=2×■×■=■；

P（ξ=7）=2×■×■=■；

P（ξ=10）= ■×■=■.

∴ξ的分布列為

評注：排列、組合、概率問題是考查分類與整合思想的重要載體，應(yīng)使學(xué)生學(xué)會如何分步研究解決或分類研究解決，然后再由它們整合出所要求的結(jié)果.

三、對幾何問題中元素的形狀、位置變化情況進(jìn)行分類整合

例3：在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的邊長為2，寬為1、AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點與坐標(biāo)原點重合（如圖所示），將矩形折疊，使A點落在線段DC上.（Ⅰ）若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程；（Ⅱ）求折痕的長的最大值.

解：（1）當(dāng)k=0時，此時A點與D點重合，折痕所在的直線方程y=■；

（2）當(dāng)k≠0時，將矩形折疊后A點落在線段CD上的點為G（a，l），所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有kOGk=-1，■k= -1？圯a=-k；故G點坐標(biāo)為G（-k，l），從而折痕所在的直線與OG的交點坐標(biāo)（線段OG的中點）為M（-■，■），折痕所在的直線方程y-■=k（x+■），即y=kx+■+■.

（Ⅱ）（1）當(dāng)k=0時，折痕的長為2.

（2）當(dāng)k≠0時，折痕所在的直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)為N（0，■），P（-■，0），設(shè)PN=d，

d=PN2=（■）2+（-■）2=■

d'=■

令d'=0，解得k=-■

∴PN■■=■，PNmax=■<2

由折痕可知k<0，所以折痕的長度的最大值2.

評注：涉及各種圖形元素的位置關(guān)系時應(yīng)考慮周密，不重不漏.

在重視分類與整合思想的應(yīng)用時，也應(yīng)防止見凡參數(shù)就討論的輕率做法，能整體解決的就不必分類討論，辯證地運用分類與整合來解題.

責(zé)任編輯 羅峰

分類與整合思想的考查在高考中占有比較重要的位置，通常以解答題為主進(jìn)行考查.為什么要分類？如何分類？如何整合？這就要求學(xué)生必須有嚴(yán)謹(jǐn)、周密的邏輯思維能力和一定的分析問題、解決問題的能力.

一、對含有參數(shù)的字母進(jìn)行分類與整合

例1：已知a∈R，求f（x）=x2eax的單調(diào)區(qū)間.

解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)：f'（x）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax；

（1）當(dāng)a=0時，若x<0，則f'（x）<0；若x>0，則f'（x）>0.

所以當(dāng)a=0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù).

（2）當(dāng)a>0時，由2x+ax2>0，解得x<-■或x>0，

由2x+ax2<0，解得-■

所以，當(dāng)a>0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-■）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（-■，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)；

（3）當(dāng)a<0時，由2x+ax2>0，解得0-■.

所以，當(dāng)a<0時，函數(shù)f （x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，-■）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（-■，+∞）內(nèi)為減函數(shù).

評注：數(shù)學(xué)問題中含有變量或參數(shù)，這些變量或參數(shù)取不同的值時會導(dǎo)致不同的結(jié)果，故需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，再適當(dāng)進(jìn)行整合.

二、對排列、組合、概率問題中各種可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分類與整合

例2：盒子有大小相同的球10個，其中標(biāo)號為1的球3個，標(biāo)號為2的球4個，標(biāo)號為5的球3個，第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球（假設(shè)取到每個球的可能性都相同），記第一次與第二次取到球的標(biāo)號之和為ξ，求ξ的分布列.

解：記ξ=k為所取兩球標(biāo)號之和，則k=2，3，4，6，7，10.

P（ξ=2）=■×■=■；

P（ξ=3）=2×■×■=■；

P（ξ=4）=■×■=■；

P（ξ=6）=2×■×■=■；

P（ξ=7）=2×■×■=■；

P（ξ=10）= ■×■=■.

∴ξ的分布列為

評注：排列、組合、概率問題是考查分類與整合思想的重要載體，應(yīng)使學(xué)生學(xué)會如何分步研究解決或分類研究解決，然后再由它們整合出所要求的結(jié)果.

三、對幾何問題中元素的形狀、位置變化情況進(jìn)行分類整合

例3：在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的邊長為2，寬為1、AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點與坐標(biāo)原點重合（如圖所示），將矩形折疊，使A點落在線段DC上.（Ⅰ）若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程；（Ⅱ）求折痕的長的最大值.

解：（1）當(dāng)k=0時，此時A點與D點重合，折痕所在的直線方程y=■；

（2）當(dāng)k≠0時，將矩形折疊后A點落在線段CD上的點為G（a，l），所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有kOGk=-1，■k= -1？圯a=-k；故G點坐標(biāo)為G（-k，l），從而折痕所在的直線與OG的交點坐標(biāo)（線段OG的中點）為M（-■，■），折痕所在的直線方程y-■=k（x+■），即y=kx+■+■.

（Ⅱ）（1）當(dāng)k=0時，折痕的長為2.

（2）當(dāng)k≠0時，折痕所在的直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)為N（0，■），P（-■，0），設(shè)PN=d，

d=PN2=（■）2+（-■）2=■

d'=■

令d'=0，解得k=-■

∴PN■■=■，PNmax=■<2

由折痕可知k<0，所以折痕的長度的最大值2.

評注：涉及各種圖形元素的位置關(guān)系時應(yīng)考慮周密，不重不漏.

在重視分類與整合思想的應(yīng)用時，也應(yīng)防止見凡參數(shù)就討論的輕率做法，能整體解決的就不必分類討論，辯證地運用分類與整合來解題.

責(zé)任編輯 羅峰

分類與整合思想的考查在高考中占有比較重要的位置，通常以解答題為主進(jìn)行考查.為什么要分類？如何分類？如何整合？這就要求學(xué)生必須有嚴(yán)謹(jǐn)、周密的邏輯思維能力和一定的分析問題、解決問題的能力.

一、對含有參數(shù)的字母進(jìn)行分類與整合

例1：已知a∈R，求f（x）=x2eax的單調(diào)區(qū)間.

解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)：f'（x）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax；

（1）當(dāng)a=0時，若x<0，則f'（x）<0；若x>0，則f'（x）>0.

所以當(dāng)a=0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù).

（2）當(dāng)a>0時，由2x+ax2>0，解得x<-■或x>0，

由2x+ax2<0，解得-■

所以，當(dāng)a>0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-■）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（-■，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)；

（3）當(dāng)a<0時，由2x+ax2>0，解得0-■.

所以，當(dāng)a<0時，函數(shù)f （x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，-■）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（-■，+∞）內(nèi)為減函數(shù).

評注：數(shù)學(xué)問題中含有變量或參數(shù)，這些變量或參數(shù)取不同的值時會導(dǎo)致不同的結(jié)果，故需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，再適當(dāng)進(jìn)行整合.

二、對排列、組合、概率問題中各種可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分類與整合

例2：盒子有大小相同的球10個，其中標(biāo)號為1的球3個，標(biāo)號為2的球4個，標(biāo)號為5的球3個，第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球（假設(shè)取到每個球的可能性都相同），記第一次與第二次取到球的標(biāo)號之和為ξ，求ξ的分布列.

解：記ξ=k為所取兩球標(biāo)號之和，則k=2，3，4，6，7，10.

P（ξ=2）=■×■=■；

P（ξ=3）=2×■×■=■；

P（ξ=4）=■×■=■；

P（ξ=6）=2×■×■=■；

P（ξ=7）=2×■×■=■；

P（ξ=10）= ■×■=■.

∴ξ的分布列為

評注：排列、組合、概率問題是考查分類與整合思想的重要載體，應(yīng)使學(xué)生學(xué)會如何分步研究解決或分類研究解決，然后再由它們整合出所要求的結(jié)果.

三、對幾何問題中元素的形狀、位置變化情況進(jìn)行分類整合

例3：在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的邊長為2，寬為1、AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點與坐標(biāo)原點重合（如圖所示），將矩形折疊，使A點落在線段DC上.（Ⅰ）若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程；（Ⅱ）求折痕的長的最大值.

解：（1）當(dāng)k=0時，此時A點與D點重合，折痕所在的直線方程y=■；

（2）當(dāng)k≠0時，將矩形折疊后A點落在線段CD上的點為G（a，l），所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有kOGk=-1，■k= -1？圯a=-k；故G點坐標(biāo)為G（-k，l），從而折痕所在的直線與OG的交點坐標(biāo)（線段OG的中點）為M（-■，■），折痕所在的直線方程y-■=k（x+■），即y=kx+■+■.

（Ⅱ）（1）當(dāng)k=0時，折痕的長為2.

（2）當(dāng)k≠0時，折痕所在的直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)為N（0，■），P（-■，0），設(shè)PN=d，

d=PN2=（■）2+（-■）2=■

d'=■

令d'=0，解得k=-■

∴PN■■=■，PNmax=■<2

由折痕可知k<0，所以折痕的長度的最大值2.

評注：涉及各種圖形元素的位置關(guān)系時應(yīng)考慮周密，不重不漏.

在重視分類與整合思想的應(yīng)用時，也應(yīng)防止見凡參數(shù)就討論的輕率做法，能整體解決的就不必分類討論，辯證地運用分類與整合來解題.

責(zé)任編輯 羅峰