王蓬
請看例題:例1:如圖1,已知橢圓C:■+■=1,左右焦點分別為M、N。點P為橢圓上一點,點H在線段MP的延長線上,且NP=PH,求點H的軌跡。
分析:剛看到這道題目的時候,好多同學(xué)可能無從下手,覺得好復(fù)雜??!好多同學(xué)的解題思路會是這樣的:先假設(shè)點P(x,y),因為點M(3,0)、N(-3,0),PM、PN的長度就都能計算出來了,而且直線MP的方程也能計算出來了,這樣可以設(shè)出點H的坐標,然后利用NP=PH進行化簡??墒莿倓傋龅竭@里的時候,好多同學(xué)就不想再做下去了,因為形式太復(fù)雜了??墒俏覀冊俸煤萌シ治鲆幌逻@道題目,因為它是橢圓,既然是橢圓,那么橢圓上任意一個點到M、N的距離之和不是一個定值嗎。這樣一來思路來了。
例2:如圖2,已知點Q為雙曲線C:■-■=1上的一個點,G,H為左右焦點,且QG⊥QH,求點Q到x軸的距離。
分析:當我們看到這道題目的時候,大家第一反應(yīng)是求出點Q的坐標,因為點Q到x軸的距離就是點Q的縱坐標的絕對值,這樣一來,我們可以假設(shè)點Q(x,y),又G(-5,0)、H(5,0),所以我們可以得出■=(x+5,y),■=(x-5,y),因為QG⊥QH,所以■·■=0,所以(x+5,y),(x-5,y)=0,即x2+y2-25=0。又因為■+■=1,將這兩個式子進行聯(lián)立,就可以解除y,而點Q到x軸的距離便是y。這種方法相當不錯的,可是里面運算不是很簡便,而且容易出錯,尤其是含有平方,運算要相當小心。那么有沒有既方法簡單又運算簡便的思路呢?
點評:當我們看完這道題目的時候,我們會發(fā)現(xiàn)這道題目里面用到了雙曲線的定義,就是雙曲線上任意一點到兩個焦點的距離之差的絕對值為定值,并且解答中采用的方程變形十分巧妙,最后運用了直角三角形面積計算兩次的方法,成功得到了點Q到x軸的距離。而開始“分析”中的這種方法比較普遍,而且運算不簡單。因此,這道題目充分體現(xiàn)了雙曲線定義的數(shù)學(xué)應(yīng)用。
例3:如圖3,已知拋物線C∶y2=4x,它的焦點為F,準線為l,直線m為y=x+2,點P為拋物線上任意一點,點P到y(tǒng)軸的距離為H1,點P到直線m的距離為H2,求H1+H2的最小值。
分析:當我們剛看到這道題目的時候,會想到,既然點P到y(tǒng)軸的距離為H1,那么點P到準線的距離為H1+1,所以點P到焦點的距離也為H1+1,過點P作PH⊥m于H,最終要求的即為PF+PH-1,因此,只要求出PF+PH的最小值就可以了。
下面,我們就給出這道題目的詳細解答過程:
解:由條件的F(1,0),準線l∶x=-1, 將y=x+2代入y2=4x中得:x2+4=0,該方程無解,所以直線m與拋物線C無公共點。因為點P到y(tǒng)軸的距離為H1,所以點P到準線的距離為H1+1,點P到焦點的距離也為H1+1,過點P作PH⊥m于H,所以H1+H2=PF+PH-1。當F、P、H三點共線時,PF+PH的值最小,PF+PH的最小值就是點F(1,0)到直線m的距離。由點到直線距離公式可得:d=■=■=■■,所以H1+H2的最小值為■■-1。
點評:本題中用到的思想方法還是比較多的,而且比較靈活,不大容易想到。首先利用了拋物線的定義,其次在求解PF+PH的最小值的時候,運用了“三角形兩邊之和大于第三邊,直角三角形中斜邊大于直角邊”這一知識點,最后介入了點到直線距離公式。
(江蘇省宜興市官林中學(xué))