張哲　楊會(huì)杰

摘要：澳元被稱為“商品貨幣”其匯率變動(dòng)可以對(duì)分析和預(yù)測(cè)未來(lái)國(guó)際大宗商品行情，并為人民幣匯率的變化提供指引。本文用ARMA模型對(duì)澳元2009年9月4日至2013年12月27日的周收盤價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并預(yù)測(cè)出未來(lái)一周的收盤價(jià)數(shù)據(jù)。結(jié)果表明預(yù)測(cè)澳元匯率與實(shí)際匯率誤差較小，ARMA模型非常適合于短期預(yù)測(cè)，我們給出了相應(yīng)的投資建議。

關(guān)鍵詞：澳元；預(yù)測(cè)；ARMA與ARMAX模型

一、 引言

澳大利亞元，簡(jiǎn)稱澳元，澳元又被稱為“商品貨幣”，世界大宗商品價(jià)格如黃金、原油價(jià)格與澳元匯率密切相關(guān)。目前國(guó)內(nèi)對(duì)澳元的研究文獻(xiàn)較少，徐燕，陳平雁SN-ARMA（u，v）-GARCH（p，q）模型對(duì)澳元兌美元日收益率擬合研究，通過(guò)構(gòu)造基于偏正態(tài)分布的SN-ARMA-GARCH模型對(duì)澳元的日收益率進(jìn)行了擬合。經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列分析預(yù)測(cè)的理論與方法眾多，ARMA模型不考慮其他解釋變量的作用，而是依據(jù)變量本身的變化規(guī)律，利用外推機(jī)制描述時(shí)間序列的變化對(duì)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行短期趨勢(shì)的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率較高。本文數(shù)據(jù)選取時(shí)間從1994年5月15日至2013年12月27日的澳元周線收盤價(jià)，數(shù)據(jù)來(lái)源于英國(guó)興業(yè)資本市場(chǎng)。

二、ARMA模型簡(jiǎn)介

（一）ARMA模型

ARMA模型（Auto—Regressive and moving Average Model）由美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家博克斯（Box）和英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家詹金斯（Jenkins）在20世紀(jì)70年代提出的時(shí)間序列分析模型，即自回歸移動(dòng)平均模型。對(duì)于非平穩(wěn)的時(shí)間序列，不能直接用ARMA模型去描述，只有經(jīng)過(guò)某種處理后，產(chǎn)生一個(gè)平穩(wěn)的新序列，才可應(yīng)用ARMA（p，q）模型。

式中p和q為模型的自回歸階數(shù)和移動(dòng)平均階數(shù)；α0為常數(shù)，αi和βj為待定系數(shù)；εt為殘差服從白噪聲過(guò)程，yt為平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時(shí)間序列。

（二）ARMAX模型與變量選取

一個(gè)時(shí)間序列可能會(huì)受其他外生變量X的影響，考慮在原來(lái)ARMA模型中加入外生變量x，即

式中γn為外生變量參數(shù)；x（t，n）為外生變量；nr為外生變量的個(gè)數(shù)；t為時(shí)間。

本文選取黃金價(jià)格，日元與歐元匯率作為模型中的外生變量。

1. 現(xiàn)貨黃金價(jià)格g：世界商品價(jià)格特別是黃金價(jià)格對(duì)澳元匯率有著較為重要的影響。當(dāng)黃金價(jià)格上漲時(shí)澳元匯率也隨之上漲，金屬價(jià)格回調(diào)時(shí)澳元也隨之回調(diào)。二者之間呈現(xiàn)一種正相關(guān)關(guān)系。

2. 歐元匯率eur：澳大利亞和歐元區(qū)經(jīng)濟(jì)的緊密聯(lián)系，外匯市場(chǎng)中澳元匯率與歐元匯率之間也有同漲共跌的關(guān)系。

三、澳元時(shí)間序列模型的建立

ARMA模型的識(shí)別主要依賴于對(duì)相關(guān)圖與偏相關(guān)圖的分析。判斷時(shí)間序列數(shù)據(jù)是否平穩(wěn)，一般采用ADF檢驗(yàn)（Augmented Dickey—Fuller Test）方法來(lái)判斷該序列的平穩(wěn)性。如果該序列為非平穩(wěn)序列，這時(shí)，應(yīng)對(duì)該時(shí)間序列進(jìn)行差分，同時(shí)分析差分序列的相關(guān)圖以判斷差分序列的平穩(wěn)性，直至得到一個(gè)平穩(wěn)序列。估計(jì)的模型形式并不是唯一的，選取AIC和SC值的最小的模型。在ARMA模型中，參數(shù)的T檢驗(yàn)并不要求太嚴(yán)格，考慮模型的整體擬合效果，調(diào)整R2、AIC準(zhǔn)則和SC準(zhǔn)則都是選擇模型的重要標(biāo)準(zhǔn)；同時(shí)還應(yīng)滿足全部的特征根倒數(shù)必須小于I；模型的殘差序列必須通過(guò)Q檢驗(yàn)，即—個(gè)白噪聲序列。

（一）數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗(yàn)

首先對(duì)1994～2013年澳元周收盤價(jià)數(shù)據(jù)作折線圖觀察，發(fā)現(xiàn)澳元時(shí)間序列并不平穩(wěn)。

粗略觀察差分后的數(shù)據(jù)時(shí)平穩(wěn)數(shù)據(jù)。更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，下面?duì)一階差分后的數(shù)據(jù)進(jìn)行ADF單位根檢驗(yàn)。t值-15.69667小于5%的水平臨界值-2.874143。在5%的水平上拒絕原假設(shè)，一階差分?jǐn)?shù)據(jù)平穩(wěn)。

同理對(duì)歐元和黃金一階差分后的數(shù)據(jù)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，如表2所示。

（二）模型的識(shí)別與選擇

澳元一階差分不好定階，考慮二階差分的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖如圖3所示。

通過(guò)對(duì)圖3分析可知，由偏相關(guān)圖知P可以選擇2，由自相關(guān)圖知q可以選擇2，由于是二次差分d=2，所以得到模型ARIMAX（2，2，2）。使用Eviews6.0對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)量得澳元與歐元，黃金的ARMAX模型數(shù)學(xué)表達(dá)式為（括號(hào)內(nèi)為t值）

估計(jì)出ARMA模型需對(duì)回歸模型的誤差項(xiàng)進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，以便驗(yàn)證模型是否能夠很好地反映實(shí)際數(shù)據(jù)的相關(guān)結(jié)構(gòu)，如果模型設(shè)定正確，則誤差項(xiàng)為白噪聲，如果殘差序列不是白噪聲，意味著誤差中還有有用的信息沒(méi)有提取，需要進(jìn)一步改進(jìn)模型。從圖4可知，接受原假設(shè)，誤差項(xiàng)是白噪聲序列，模型設(shè)定恰當(dāng)。

（三）模型的預(yù)測(cè)

在ARMAX模型中為了得到澳元的樣本外預(yù)測(cè)值，需有歐元和黃金的預(yù)測(cè)值。因此需要使用ARMA模型對(duì)歐元和黃金進(jìn)行短期預(yù)測(cè)。經(jīng)過(guò)模型識(shí)別定階，歐元使用MA（1）模型，黃金使用ARMA（1，2）進(jìn)行一步外推預(yù)測(cè)。

通過(guò)MA（1）模型可得歐元的一步預(yù)測(cè)值為1.380364；通過(guò)ARMA（1，2）模型可得黃金的預(yù)測(cè)值為1204.372. 將1.380364與1204.372帶入澳元的ARMA（2，2，2）模型可得澳元的一步靜態(tài)預(yù)測(cè)值為0.881725。預(yù)測(cè)精度如圖5所示。

平均絕對(duì)百分誤差0.010354小于10。偏差率bp（0.000570），方差率vp（0.001974）較小，值集中在協(xié)變率cp（0.997456）上，希爾不等系數(shù)較小。預(yù)測(cè)結(jié)果較為理想。

四、結(jié)論與建議

（一）使用時(shí)間序列分析的ARMA模型非常適合短期預(yù)測(cè)

從文中的模型預(yù)測(cè)中都可以看到平均絕對(duì)百分誤差<10。偏差率bp，方差率vp較小，值集中在協(xié)變率cp上，希爾不等系數(shù)較小。ARMA模型短期預(yù)測(cè)效果理想。

（二）澳元的走勢(shì)和黃金歐元密切相關(guān)

由文中的ARMAX模型可知黃金和歐元的二階差分都與澳元二階差分長(zhǎng)期呈現(xiàn)正相關(guān)，其系數(shù)分別是0.000147，0.378251。當(dāng)歐元匯率上漲時(shí)澳元匯率也隨之上漲，歐元對(duì)澳元的提振幅度在2009～2013年間比黃金大。？投資者可考慮在黃金、歐元較為低迷的時(shí)候，逢低買入澳元，而在黃金、歐元價(jià)格走高時(shí)，則應(yīng)該逢高沽空澳元。

（三）影響澳元走勢(shì)的因素

如朝鮮半島地緣政治局勢(shì)問(wèn)題、套利交易的延續(xù)及國(guó)內(nèi)政局動(dòng)蕩（礦業(yè)稅等）影響。

參考文獻(xiàn)：

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[3]張曉峒.計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ)[M].天津：南開(kāi)大學(xué)出版社，2007.

（作者單位：上海理工大學(xué)管理學(xué)院。楊會(huì)杰為本文通訊作者）