秦仙蓉，張立冬，張 氫，孫遠(yuǎn)韜

（同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804）

移動(dòng)質(zhì)量作用下梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題在各個(gè)工程領(lǐng)域都很常見(jiàn)，如重物－橋吊系統(tǒng)的耦合振動(dòng)、車－橋耦合系統(tǒng)的振動(dòng)及火炮后座等，這些振動(dòng)系統(tǒng)往往可以簡(jiǎn)化為移動(dòng)質(zhì)量－梁耦合系統(tǒng).早期的理論模型僅僅研究集中力作用下等截面梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，研究者多采用振型疊加法或積分變換的方法獲得解析解，將解析解與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，得出移動(dòng)載荷相對(duì)于梁的質(zhì)量較小時(shí)可以忽略移動(dòng)載荷慣性力對(duì)梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)影響的結(jié)論［1－2］.長(zhǎng)期以來(lái)，這一結(jié)論在工程領(lǐng)域被廣泛接受.隨著機(jī)械系統(tǒng)向著高速、重載的趨勢(shì)發(fā)展，工程實(shí)際中遇到越來(lái)越多的具有大質(zhì)量、高速度的移動(dòng)載荷作用在梁上的問(wèn)題，這就要求模型中不能忽略移動(dòng)載荷慣性力的影響.由于載荷是移動(dòng)的，而且載荷本身也是具有質(zhì)量的系統(tǒng)，這使得移動(dòng)質(zhì)量－梁耦合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性隨著載荷位置的移動(dòng)而不斷變化.耦合系統(tǒng)振動(dòng)方程的系數(shù)矩陣是時(shí)變的，這給理論分析帶來(lái)了極大的困難.研究表明，具有時(shí)變系數(shù)的動(dòng)力學(xué)方程很難得到解析解，通常需要通過(guò)有限元方法獲得數(shù)值解［3－4］.

本文考慮移動(dòng)質(zhì)量慣性力對(duì)梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，建立具有時(shí)變系數(shù)的移動(dòng)質(zhì)量－梁耦合系統(tǒng)振動(dòng)方程，采用Newmarkβ逐步積分法，對(duì)不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)移動(dòng)質(zhì)量作用下梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值模擬.

1 移動(dòng)質(zhì)量－梁耦合系統(tǒng)建模

考察如圖1所示的移動(dòng)質(zhì)量－梁耦合系統(tǒng)，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的簡(jiǎn)支梁上有一質(zhì)量為M，以初速度v0，勻加速度a向前運(yùn)動(dòng)的物體.梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的質(zhì)量為m，抗彎剛度為EI，梁上x處在t時(shí)刻的瞬時(shí)撓度為u（x，t），其值設(shè)為小量.梁的科氏力、向心力以及梁的阻尼對(duì)耦合系統(tǒng)響應(yīng)的影響很小，故此處均忽略不計(jì)，從而可以寫出梁的振動(dòng)方程為

式中：用撇表示對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，用圓點(diǎn)表示對(duì)t的導(dǎo)數(shù)；和Mau′分別為牽連慣性力和相對(duì)慣性力對(duì)梁橫向振動(dòng)的影響項(xiàng)［5］；g為重力加速度；δ為狄拉克函數(shù)；s＝v0t＋（1／2）at2為移動(dòng)質(zhì)量走過(guò)的路程.設(shè)

式中：φi（x）（i＝1，2，…，N）為簡(jiǎn)支梁的第i階振型的振型函數(shù)，qi（t）為第i階振型的廣義坐標(biāo).將式（2）代入式（1）有

式中：mi，Ki分別為梁的第i階模態(tài)主質(zhì)量和第i階模態(tài)主剛度.所以有

又因?yàn)橛?/p>

圖1 耦合系統(tǒng)的力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of the coupling system

于是式（6）可以寫為

式（9）也可以寫成如下的矩陣形式：

其中，

式中：Φ（s）為梁的模態(tài)函數(shù)矩陣，Φ′（s）和Φ″（s）分別是Φ（s）關(guān)于移動(dòng)質(zhì)量的位置坐標(biāo)s的一階和二階導(dǎo)數(shù)矩陣.

從理論推導(dǎo)過(guò)程可以看出，上述計(jì)算對(duì)梁的邊界條件未加任何限制，只要能寫出梁的模態(tài)函數(shù)的解析表達(dá)式就能應(yīng)用，因而適用范圍較廣.

2 方程求解

由于移動(dòng)質(zhì)量在梁上的位置不斷變化，方程（10）中的質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C、剛度矩陣K都在隨時(shí)間不斷變化，這使得移動(dòng)質(zhì)量－梁的耦合系統(tǒng)動(dòng)力平衡方程組成為一個(gè)二階時(shí)變系數(shù)的微分方程組，同時(shí)方程組的系數(shù)矩陣M，C，K還隨著運(yùn)動(dòng)參數(shù)v0和a的變化而變化.對(duì)于此類微分方程組，最有效、最常見(jiàn)的方法是逐步積分法.

逐步積分法的基本原理是人為假定一個(gè)反應(yīng)規(guī)律，通過(guò)每一個(gè)微小時(shí)間增量Δt來(lái)逐步計(jì)算整個(gè)結(jié)構(gòu)體系的反應(yīng).在計(jì)算中通常忽略體系在Δt時(shí)間內(nèi)的不平衡，而體系的時(shí)變特性則是由一連串不斷改變的時(shí)不變體系來(lái)無(wú)限逼近.目前，常用的逐步積分法主要有線性加速度法、Willsonθ法以及Newmarkβ法.此處采用Newmarkβ法.

設(shè)t＋Δt時(shí)刻三組未知量和它們滿足動(dòng)力學(xué)方程式（10），即

式中：γ，β為 Newmark參數(shù).式（15）～（17）是Newmarkβ法的基本公式，將式（16）和（17）整理，代入式（15），得到t＋Δt時(shí)刻的加速度、速度和位移分別為

其中，

3 移動(dòng)質(zhì)量作用下梁的動(dòng)力響應(yīng)分析

參照某型號(hào)塔式起重機(jī)起重臂參數(shù)，取移動(dòng)質(zhì)量M＝3 000kg，梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度質(zhì)量m＝126kg·m－1，L＝65m，EI＝1.26×108N·m2.取積分步長(zhǎng)Δt＝0.01s，Newmark參數(shù)γ＝0.25，β＝0.5.

首先分析移動(dòng)質(zhì)量在加速度為零時(shí)，初速度對(duì)梁跨中撓度的影響.圖2給出了移動(dòng)質(zhì)量分別以0.15，0.50，1.00m·s－1的初速度勻速通過(guò)簡(jiǎn)支梁時(shí)，梁跨中撓度的變化規(guī)律.可以看出，移動(dòng)質(zhì)量作用下梁的撓度曲線是以一定頻率圍繞靜撓度曲線的一種類正弦波動(dòng).隨著速度的增加，波動(dòng)的幅值越來(lái)越大，頻率越來(lái)越低，周期越來(lái)越長(zhǎng).這是由于移動(dòng)質(zhì)量參與振動(dòng)，使振動(dòng)頻率略有降低［6］.從局部放大圖中還可以知道，梁最大撓度并不總是發(fā)生在移動(dòng)質(zhì)量運(yùn)動(dòng)到梁跨中位置處，而是在跨中位置的前后.

圖2 不同速度移動(dòng)質(zhì)量作用下梁跨中撓度Fig.2 Deflection of beam subjected to the moving mass with variable velocity

移動(dòng)質(zhì)量加速度對(duì)梁跨中撓度的影響如圖3所示.可以看出，移動(dòng)質(zhì)量以不同的加速度過(guò)梁與勻速過(guò)梁時(shí)梁跨中撓度曲線相似.在同一初速度的情況下，移動(dòng)質(zhì)量加速運(yùn)動(dòng)時(shí)梁跨中撓度比勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)梁跨中撓度要大，且加速度越大，梁跨中位置的最大撓度也越大.移動(dòng)質(zhì)量加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，耦合系統(tǒng)的振動(dòng)相對(duì)平穩(wěn).同時(shí)可以看出，在勻加速運(yùn)動(dòng)的移動(dòng)質(zhì)量作用下，梁跨中撓度響應(yīng)曲線的峰值沿橫軸向后偏移，說(shuō)明由于移動(dòng)質(zhì)量慣性力的影響，梁最大撓度并不是發(fā)生在移動(dòng)質(zhì)量運(yùn)動(dòng)到梁跨中位置處，在移動(dòng)質(zhì)量的加速度不能忽略時(shí)，這種影響尤甚.

對(duì)于移動(dòng)質(zhì)量減速運(yùn)動(dòng)的情況，只需要將加速度以負(fù)值代入式（10）計(jì)算即可.但要注意的是，如果移動(dòng)質(zhì)量在梁上減速到零，則只能按照式（10）計(jì)算到移動(dòng)質(zhì)量速度減到零的時(shí)刻，之后移動(dòng)質(zhì)量將停止在梁上與梁一起自由振動(dòng).

對(duì)于本文選取的初速度0.15，0.50，1.00 m·s－1，移動(dòng)質(zhì)量在減速度作用下速度很快減小到零隨后便靜止在梁上，同時(shí)移動(dòng)質(zhì)量運(yùn)動(dòng)的路程也較小，停止在梁上的位置距梁跨中還有一定距離.由力學(xué)常識(shí)可知，這種情況下梁跨中撓度值會(huì)比較小.

圖3 移動(dòng)質(zhì)量加速度對(duì)梁跨中撓度的影響Fig.3 Effect of acceleration for the moving mass on the deflction

圖4 移動(dòng)質(zhì)量減速度對(duì)梁跨中撓度的影響Fig.4 Effect of deceleration for the moving mass on the deflction

圖4揭示了移動(dòng)質(zhì)量的減速度對(duì)梁跨中撓度的影響.由圖可見(jiàn)，相比于加速情況，在移動(dòng)質(zhì)量減速運(yùn)動(dòng)情況下，梁跨中撓度較小，且減速度絕對(duì)值越大，梁跨中撓度值越小.這與加速運(yùn)動(dòng)時(shí)恰恰相反.這是由于當(dāng)移動(dòng)質(zhì)量加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，它受到梁作用的與其運(yùn)動(dòng)方向一致的摩擦力，同時(shí)梁受到移動(dòng)質(zhì)量施加的反作用力，這個(gè)力可以看作是作用在梁上的軸向壓力，該壓力將在梁內(nèi)產(chǎn)生附加彎矩，從而使梁的撓度加大.相反，當(dāng)質(zhì)量減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，梁將受到軸向拉力，該拉力在梁內(nèi)產(chǎn)生的附加彎矩使梁的撓度減?。?］.

4 結(jié)論

（1）在移動(dòng)質(zhì)量具有較大速度和較大加速度的情況下不能忽略其慣性力影響.

（2）移動(dòng)質(zhì)量作用下梁跨中撓度曲線是以一定頻率圍繞靜撓度線的一種類正弦波動(dòng)曲線.隨著速度的增加，振動(dòng)的幅值越來(lái)越大，頻率越來(lái)越低，周期越來(lái)越長(zhǎng).

（3）移動(dòng)質(zhì)量以不同的加速度與勻速過(guò)梁時(shí)梁跨中撓度曲線相似.在同一初速度的情況下，移動(dòng)質(zhì)量加速運(yùn)動(dòng)時(shí)梁跨中撓度比勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)梁跨中撓度要大，且加速度越大，梁跨中位置的最大撓度也越大.移動(dòng)質(zhì)量加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，耦合系統(tǒng)的振動(dòng)相對(duì)平穩(wěn).

（4）梁最大撓度并不總是發(fā)生在當(dāng)移動(dòng)質(zhì)量位于梁跨中時(shí)，而是發(fā)生在移動(dòng)質(zhì)量經(jīng)過(guò)跨中位置的前后時(shí)刻.移動(dòng)質(zhì)量對(duì)梁撓度的影響與速度、加速度等多個(gè)因素有關(guān)，是一個(gè)相對(duì)復(fù)雜但有一定規(guī)律可循的過(guò)程.

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