馬 強，汪 云，姜 偉

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非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)能控性參數(shù)分析

馬 強1，汪 云1，姜 偉2

(1. 湖北文理學院 機械與汽車工程學院，湖北 襄陽 441053；2. 華中科技大學 機械科學與工程學院，湖北 武漢 430074)

文章研究了一類非線性組合系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)能控性，將非線性系統(tǒng)模型置于非交換環(huán)上用以得到非線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(矩陣). 根據(jù)頻域上線性系統(tǒng)能控的系統(tǒng)傳遞函數(shù)不存在零極點抵消的判據(jù)，獲得非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)能控的條件，并用實例證明所獲得的判據(jù)對分析非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)能控性是可行的.

非線性系統(tǒng)；結(jié)構(gòu)能控性；傳遞函數(shù)；非交換環(huán)；多項式環(huán)

能控性概念最早由Kalman 在線性系統(tǒng)分析中提出，它是描述線性系統(tǒng)特性的一個重要概念. 對于狀態(tài)空間描述的線性時不變系統(tǒng)，能控性可以用秩條件表示，即rank(B, AB, …，AB)=. 一個能控的線性系統(tǒng)一般可以通過狀態(tài)反饋使得系統(tǒng)穩(wěn)定，因此能控性分析在線性系統(tǒng)理論中有重要作用. 而對于非線性系統(tǒng)能控性研究也已經(jīng)有了較多成果.

Sussmann與Jurdjevi[1]分析了非線性系統(tǒng)的能控性. 對于非線性系統(tǒng)，他們指出可達集的幾何結(jié)構(gòu)實際上是一個子流形. 同時對于某個點的可達集在什么時候具有非空內(nèi)部給出了一個完整答案. Sussmann[2]利用Lie代數(shù)工具對具有標量輸入的非線性系統(tǒng)進行分析，并給出了系統(tǒng)能控的充分條件. Stefani[3]研究了標量輸入的非線性系統(tǒng)，并給出了系統(tǒng)局部能控的條件. Zheng與Cao[4]將傳遞函數(shù)概念引入到非線性系統(tǒng)分析中，為研究非線性系統(tǒng)特性提供了一個新的代數(shù)工具. 利用傳遞函數(shù)工具分析非線性系統(tǒng)，可以得到系統(tǒng)的全局性質(zhì)，而不是某個工作點附近的近似特性. 同時還可以得到系統(tǒng)的輸入輸出描述，這為組合非線性系統(tǒng)性質(zhì)分析指出了一個方向. Zheng等[5]利用傳遞函數(shù)方法研究了非線性系統(tǒng)的能控性. Halas與Kotta[6]將傳遞函數(shù)應用到非線性離散系統(tǒng)，并研究其性質(zhì). Halas[7]利用傳遞函數(shù)研究了非線性時滯系統(tǒng).

本文的工作主要是將參量空間引入到非線性系統(tǒng)中，利用傳遞函數(shù)工具得到SISO非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)能控性條件. 一個結(jié)構(gòu)能控的非線性系統(tǒng)，當參數(shù)在參量空間中任意取值時，得到的具體系統(tǒng)幾乎一定是能控的. 與Fradellos等[8]的分析不同，本文的重點在于分析參數(shù)對系統(tǒng)性質(zhì)的作用或影響，而Fradellos等的工作在于分析非線性系統(tǒng)在擾動作用下系統(tǒng)依然保持能控性，則稱之為結(jié)構(gòu)能控的.

1 非線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

對于如下一個由狀態(tài)空間模型描述的SISO非線性系統(tǒng)

其中函數(shù)F也是meromorphic函數(shù).

對于一個SISO系統(tǒng)，它一般可以由一個高階輸入輸出微分方程描述

對于高階輸入輸出方程(3)與狀態(tài)空間描述(4)之間是等價的. 但是對于非線性系統(tǒng)而言，一般來說每個狀態(tài)空間描述有一個與之相對應的高階輸入輸出方程，但反之卻不盡然. 本文主要考慮SISO的輸入輸出微分方程所描述的系統(tǒng)(2).

對進行求導運算有

這樣的一個多項式環(huán)稱之為skew polynomial環(huán).

進一步得到

等式(9)即為SISO非線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù).

2 組合非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)能控性

定義1 令K(z)表示所有的含有參量z的meromorphic函數(shù)域，稱之為多元meromorphic函數(shù)域或簡稱為多元函數(shù)域.

根據(jù)微分代數(shù)的定義，一個非線性系統(tǒng)稱之為能控的是指其不存在自治變量.

由(6)-(9)式可知非線性系統(tǒng)(10)的傳遞函數(shù)為

對于非線性系統(tǒng)的組合方式也可以分為串聯(lián)，并聯(lián)與反饋連接. 本文主要關(guān)注串聯(lián)與并聯(lián)連接方式.

考慮由(10)式描述的兩個非線性系統(tǒng)：

∑1，它的傳遞函數(shù)表示為：

∑2，它的傳遞函數(shù)表示為：

其中根據(jù)引理2有

備注1 考慮到組合方式的不同及其非交換因素，對于組合系統(tǒng)∑21而言，其傳遞函數(shù)與∑12是不同的，因此以下引理成立：

對于并聯(lián)組合系統(tǒng)，同樣考慮(14)(15)兩個子系統(tǒng)，那么并聯(lián)組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以表示為：

定理2 串聯(lián)組合系統(tǒng)是結(jié)構(gòu)能控的，當各子系統(tǒng)是結(jié)構(gòu)能控的且組合系統(tǒng)傳遞函數(shù)分子與分母無域K上左公因子.

圖1 一個RLC無源網(wǎng)絡

考慮串聯(lián)方式∑12，則組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

式(23)經(jīng)過非交換乘法運算后變?yōu)?/p>

所以串聯(lián)組合系統(tǒng)∑12是結(jié)構(gòu)能控的. 如果考慮串聯(lián)方式∑21，則組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

顯然串聯(lián)組合方式∑21的傳遞函數(shù)無左公因子，所示串聯(lián)組合系統(tǒng)∑21是結(jié)構(gòu)能控的.

現(xiàn)在考慮兩個子系統(tǒng)的參數(shù)不同，則可以重新表示為：

僅考慮串聯(lián)組合方式∑，則該組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以表示為：

3 結(jié)語

本文利用非線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和參量空間分析了SISO非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)能控性，并對串聯(lián)與并聯(lián)組合系統(tǒng)的能控性進行了研究. 由于非線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)運算滿足非交換法則，所以一般線性系統(tǒng)頻域上的能控性條件不能簡單擴展到非線性系統(tǒng)研究中來. 本文中定義了新的多元函數(shù)域()及多元skew polynomial，為研究非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)建立的完善的數(shù)學框架. 研究非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，可以了解參數(shù)對系統(tǒng)性質(zhì)的影響和作用，為非線性系統(tǒng)的分析和設計提供理論依據(jù).

[1] Sussmann H J, Jurdjevic V. Controllability of nonlinear systems[J]. Differential Equations, 1972(12): 95-116.

[2] Sussmann H. Lie brackets and local controllability: a sufficient condition for scalar input Systems[J]. SIAM Journal on Control and Optimization, 1983(21): 686-713.

[3] G. Stefani. On the local controllability of a scalar input control system: Theory and Applications of Nonlinear Control Systems[M]. Amsterdam: A. Lindquist eds, 1986: 167-176.

[4] Zheng Y, Cao L. Transfer function description for nonlinear systems[J]. Journal of East China Normal University: Natural science, 1995(2): 15-26.

[5] Zheng Y, Willems J, Zhang C. A polynomial approach to nonlinear system controllability[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2001(46): 1782–1788.

[6] Kotta Halas. Extension of the concept of transfer function to discrete-time nonlinear control systems[M]. Greece: European control press, 2007.

[7] Halas M, algebras Ore. A polynomial approach to nonlinear time-delay systems[M]. Nantes: on time-delay systems, 2007.

[8] Fradellos G. Rapanakis M, Evans F.J. Structural controllability in non-linear systems[J]. Inter. J. Systems Science, 1977(8): 915-932.

[9] Qiang Ma. Some Results on Structural Controllability of Nonlinear Systems[C]. Proc. of International Conference on Intelligent Systems Design and Engineering Appilications (ISDEA2010), 2010: 391-394.

Parameters for Controllability in Nonlinear Structured Systems

MA Qiang1, WANG Yun1, JIANG Wei2

(1. School of Mechanical and Automotive Engineering, Hubei University of Arts and Science, Xiangyang 441053, China；2.School of Mechanical Science and Engineering, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China)

This paper investigates the structural controllability of a class of nonlinear composite system. The transfer function (matrix) of nonlinear composite systems is obtained by putting the nonlinear system model on non-commutative ring. Structural controllability conditions of nonlinear systems are presented according to the criterion of linear system structural controllability in frequency domain. Some examples are used to testify the presented conditions finally

Nonlinear systems; Structural controllability; Transfer function; Non-commutative ring; Polynomial ring

2014-07-15

國家自然科學基金項目(51307047); 國家863項目(2012AA111100)

馬 強(1981— ), 男, 河北定州人, 湖北文理學院機械與汽車工程學院講師, 博士.

TH123+.1

A

2095-4476(2014)08-0005-06

(責任編輯：徐 杰)