楊明月，孫玲玲，王曉樂，高 陽

（山東大學(xué)高效潔凈機械制造教育部重點實驗室，濟南 250061）

兩端剪力薄膜支撐圓柱殼體的點導(dǎo)納特性

楊明月，孫玲玲，王曉樂，高 陽

（山東大學(xué)高效潔凈機械制造教育部重點實驗室，濟南 250061）

針對兩端剪力薄膜支撐各向同性圓柱殼體的動力響應(yīng)問題，基于多種經(jīng)典薄殼理論及模態(tài)疊加原理，考慮到非徑向振動慣性項的貢獻，同時計入正余弦模態(tài)的響應(yīng)，推導(dǎo)了圓柱殼體同時受簡諧集中力與力矩激勵下的力導(dǎo)納、力矩導(dǎo)納以及耦合導(dǎo)納的完整解析表達式。算例表明，圓柱殼體運動方程中的非徑向振動慣性項對各階模態(tài)及導(dǎo)納幅頻的預(yù)估精度影響顯著；耦合導(dǎo)納實部具有可負(fù)性規(guī)律，對輸入殼體的振動能量起著重要作用。旨在為兩端剪力薄膜支撐圓柱殼體結(jié)構(gòu)的減振降噪和以其為支承基礎(chǔ)的主被動隔振系統(tǒng)的設(shè)計提供理論指導(dǎo)。

振動與波；圓柱殼體；模態(tài)分析；導(dǎo)納；隔振

圓柱殼體結(jié)構(gòu)以其良好的幾何和力學(xué)性能在國防、工業(yè)及民用領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。安裝在圓柱殼體基礎(chǔ)上動力裝置產(chǎn)生的振動，不僅會影響其內(nèi)機電設(shè)備的使用功能，還會以彈性波的形式在殼體中傳播，同時輻射大量噪聲，降低駕乘人員的舒適度抑或軍事武器的隱蔽性和作戰(zhàn)性能［1］。

導(dǎo)納概念在研究線性系統(tǒng)受力、力矩等動態(tài)激勵下的振動機理，定量分析傳遞到結(jié)構(gòu)的振動能量中發(fā)揮了重要作用［2］。鑒于圓柱殼體運動方程及邊界條件的繁雜性，對其導(dǎo)納完整解析式的研究不多。而兩端具有蓋板的圓柱殼體因其適用范圍廣，振型函數(shù)簡單，多數(shù)研究殼體導(dǎo)納的文獻均涉及此類邊界條件（即簡支，稱剪力薄膜更準(zhǔn)確［3］，縮寫為SD）。Warburton［4］運用Goldenveizer-Novozhilov薄殼理論和模態(tài)疊加法，計算了SD-SD支撐圓柱殼體在徑向集中簡諧力作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但未給出力矩激勵下的響應(yīng)。Ming［5］采用Flügge-Byrne-Lur'ye殼體理論，推導(dǎo)了端部復(fù)雜激勵下有限長圓柱殼體的低階模態(tài)點導(dǎo)納函數(shù)，并應(yīng)用于端部耦合圓柱殼體的功率流傳遞特性研究。盛美萍等［6－8］對SD-SD支承加筋圓柱殼及板殼耦合結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納特性進行了大量研究，不過較少探討不同激勵及響應(yīng)組分之間的耦合導(dǎo)納特性。鄭繼周［9］利用省略非徑向（周向和軸向）振動慣性項的Donnell-Mushtari殼體方程，給出了復(fù)雜激勵下SD-SD支撐圓柱殼體彎曲振動的點導(dǎo)納解析解，因其未計入余弦模態(tài)響應(yīng)組分，給出的點導(dǎo)納表達式并不完整。

本文對兩端剪力薄膜支撐各向同性圓柱殼體的點導(dǎo)納進行了理論推導(dǎo)，考慮到非徑向振動慣性項的貢獻，同時計入正余弦模態(tài)的響應(yīng)，給出完整的力、力矩以及耦合導(dǎo)納解析表達式。結(jié)合算例探討非徑向振動慣性項對圓柱殼體各階模態(tài)及導(dǎo)納幅頻的預(yù)估精度影響，分析耦合導(dǎo)納實部的可負(fù)性規(guī)律。

1 圓柱殼體理論模態(tài)分析

采用柱坐標(biāo)系來描述圓柱殼體運動，原點位于殼體左端圓心，各坐標(biāo)軸及外施集中力、力矩方向（符合右手螺旋定則）如圖1所示。為簡化敘述，文中提到的力、力矩均指簡諧力、簡諧力矩。設(shè)圓柱殼體長度L，中面層半徑R，厚度h，楊氏模量E，泊松比μ，體密度ρ?；贙irchhoff-Love假設(shè)，并結(jié)合Hamilton原理給出圓柱殼體中面微元受分布力fx、fθ、fz和繞x，θ，z軸的分布力矩Tx、Tθ、Tz激勵時的運動方程：

圖1 圓柱殼體坐標(biāo)系及外施載荷Fig．1 Cylindrical shell coordinates system and applied loads

式中：u，v，w分別為殼體中面微元的軸向、周向和徑向變形位移；L1（u，v，w）、L2（u，v，w）和L3（u，v，w）為相應(yīng)的偏微分算子，其形式由所選用的薄殼理論確定。右端廣義分布力項具體為：px＝fx－（?Tz／?θ）／2R，pθ＝fθ＋0．5（?Tz／?x）＋Tx／R，pz＝fz－?Tθ／?x＋（?Tx／?θ）／R

根據(jù)模態(tài)疊加原理，兩端剪力薄膜支撐圓柱殼體的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)平動及轉(zhuǎn)動位移級數(shù)［10］可設(shè)為：

式中：Ψq（t）為圓柱殼體第q階模態(tài)的參入因子；Uq（x，θ），Vq（x，θ），Wq（x，θ）分別表示殼體結(jié)構(gòu)第q階模態(tài)的軸向、周向、徑向振型函數(shù)，共有兩組（亦稱奇偶模態(tài)或正余弦模態(tài)），相角差為π／（2n），對應(yīng)相同的固有頻率值。具體形式為：

式中：m為殼體振動軸向模態(tài)半波數(shù)，n為周向模態(tài)波數(shù)，兩值的組合決定模態(tài)階數(shù)q；Amni、Bmni和Cmni分別為第（m，n）階模態(tài)的軸向、周向和徑向幅值。

這里給出依據(jù)Goldenveizer-Novozhilov薄殼理論得出的結(jié)果。若采用其他薄殼理論，僅需重復(fù)上述步驟。

因為Amni、Bmni和Cmni存在非零解，故式（3）的系數(shù)行列式須為零，得頻率方程：

由式（4）可以計算出圓柱殼體每階模態(tài)的三個固有頻率值。其中最小者對應(yīng)殼體彎曲振動為主的固有頻率［10］，另兩者對應(yīng)面內(nèi)振動組分。為考慮殼體結(jié)構(gòu)內(nèi)阻，引入阻尼損耗因子η，將圓柱殼體有阻尼振動的固有頻率表示為＝（1＋jη），下標(biāo)i＝1，2，3代表三個固有頻率組分。雖無法單獨解出三個方向上的振幅分量Amni、Bmni和Cmni具體表達式，但由式（3）可得到兩個振幅比：

2 圓柱殼體導(dǎo)納函數(shù)推導(dǎo)

圓柱殼體結(jié)構(gòu)更多的是承受面外載荷，而且線性系統(tǒng)的響應(yīng)滿足疊加原理，故當(dāng)殼體上某點同時作用徑向集中力Fz和繞x，θ兩個坐標(biāo)軸的集中力矩Mx、Mθ時，另一點的徑向平動速度響應(yīng)以及繞兩個坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動速度響應(yīng)是所有激勵引起的速度響應(yīng)之和，寫成矩陣形式：

分布載荷可用集中載荷與Dirac Delta函數(shù)的乘積等效，故作用在殼體a點（xa，θa）的徑向集中力Fz可以表述為：

將式（8）、（10）和（11）分別代入式（7）、（9），可以求出各階模態(tài)參入因子Ψq（t），再把Ψq（t）代入式（2a，b）中，得到圓柱殼體b點（xb，θb）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)平動及轉(zhuǎn)動位移表達式，最后根據(jù)導(dǎo)納定義，將位移表達式對時間項exp（jωt）求導(dǎo)并除以相應(yīng)的激勵項，得出同時包含正余弦模態(tài)響應(yīng)的圓柱殼體點導(dǎo)納解析表達式：

需指出：式（12）～（20）中將面內(nèi)振動組分（基頻很高，對低頻段導(dǎo)納貢獻甚微）一并計入，作為完整的導(dǎo)納表達式；n＝0時對應(yīng)圓柱殼體軸對稱振動（亦稱“呼吸振動”）模態(tài)情況；若激勵點a與響應(yīng)點b重合，式（6）便成驅(qū)動點（原點）導(dǎo)納矩陣，為對稱陣，滿足線性系統(tǒng)互易性；由于圓柱殼體周向閉合，同一模態(tài)下，徑向力（力矩）激勵點處產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動速度（徑向平動速度）相位差為π／（2n），疊加后相抵，故而四個驅(qū)動點耦合導(dǎo)納（，，，）為零，并且圓柱殼體的驅(qū)動點導(dǎo)納與周向坐標(biāo)θ無關(guān)，只與軸向坐標(biāo)x相關(guān)。

3 計算實例及結(jié)果分析

取結(jié)構(gòu)鋼制薄壁圓柱殼體進行計算，其幾何尺寸和材料屬性如下：L＝1 m，R＝0．25 m，h＝0．005 m，ρ＝7 850 kg／m3，E＝210 GPa，μ＝0．3，η＝0．002。

通常，工程上感興趣的頻帶為0～1 000 Hz，由式（4）可得圓柱殼體面內(nèi)振動（包含軸向與扭轉(zhuǎn)振動）的基頻為2 452．30 Hz，遠超此頻帶范圍。為確定圓柱殼體面外彎曲振動的各階固有頻率值，表1列出了文獻［9］中頻率公式（省略非徑向慣性項的Donnell-Mushtari理論）和三種常用薄殼理論的計算值，并將其同商業(yè)有限元軟件（ANSYS 12．0，shell63單元建模，2 000個元素，14 400個節(jié)點）分析結(jié)果的偏差百分比繪于圖2。這里忽略有限元法模態(tài)分析固有的原理誤差影響，從圖2明顯看出，基于文獻［9］中頻率公式的計算值相對偏差最大，而采用Goldenveizer-Novozhilov薄殼理論計算的結(jié)果相對精度最高。值得說明的是，對于長徑比和厚徑比越小的圓柱殼體，各理論計算精度差別越小［3］。因此，文獻［9］中頻率公式實際上更適合于短而薄（一般L／R≤2，h／R≤0．01）的圓柱殼結(jié)構(gòu)固有頻率計算。另外，三種常用薄殼理論所得各階振型同F(xiàn)EA結(jié)果均相吻合，而利用文獻［9］中頻率公式所得振型，在第7、8、11～14階（具體周向振型樣式見圖3，正弦模態(tài)對應(yīng)振型只需順時針旋轉(zhuǎn)π／（2n）角即得）模態(tài)有較大出入，并在所關(guān)心頻帶范圍內(nèi)丟失了一階模態(tài)。這表明，圓柱殼體的非徑向振動慣性項對于各階固有頻率值及振型的預(yù)估精度影響顯著，同時有必要選用適用性更廣的Goldenveizer-Novozhilov薄殼理論確定殼體結(jié)構(gòu)的固有頻率及各階振型。

表1 圓柱殼體彎曲振動固有頻率（Hz）Tab.1 Natural frequencies of the flexure vibration of the circular cylindrical shell

圖2 固有頻率理論計算值同有限元分析值的偏差Fig．2 Deviations of the theoretical results compared with FEA

圖3 圓柱殼體周向模態(tài)振型（余弦模態(tài)）Fig．3 Circumferential mode shapes（Cosine modes）

圖4繪制了幾種理論在力導(dǎo)納幅值（跨點導(dǎo)納情況下，激勵點坐標(biāo)為（0．6L，π），響應(yīng)點坐標(biāo)為（0．3L，π））上的差別。為盡量減少模態(tài)截斷誤差的影響，將圓柱殼體的120階（m＝1～8，n＝0～14）模態(tài)計入導(dǎo)納函數(shù)進行疊加。

圖4 力導(dǎo)納函數(shù)幅值的比較（20log10Fig．4 Comparison of the magnitudes of force mobility functions

圖5 導(dǎo)納函數(shù)實部頻譜（點線及點劃線代表負(fù)值）Fig．5 Real parts of mobility functions（the dotted line and the chain line represent negative values）

據(jù)圖4可知，無論在驅(qū)動點還是跨點導(dǎo)納譜中，三條導(dǎo)納線的各階共振峰及反共振峰出現(xiàn)位置偏差均較大，但幅值大致相當(dāng)。相較Donnell-Mushtari薄殼理論，文獻［9］中省略了非徑向振動慣性項，使得彈簧線下移而質(zhì)量線上移，導(dǎo)致各階固有頻率值偏大。另外Donnell-Mushtari薄殼理論因省略了與面內(nèi)位移相關(guān)的彎曲應(yīng)變項及周向運動方程中的剪切項［10］，同Goldenveizer-Novozhilov薄殼理論相比，共振峰和反共振峰出現(xiàn)位置右偏。各力矩導(dǎo)納及耦合導(dǎo)納幅值的差別同樣可得，限于篇幅，不再展開比較。綜上表明，圓柱殼體的非徑向振動慣性項對各階模態(tài)及導(dǎo)納幅頻的預(yù)估精度影響顯著，不能簡單省略，同時鑒于實際工程中圓柱殼體結(jié)構(gòu)尺寸的多樣性，最終選定Goldenveizer-Novozhilov薄殼理論確定殼體結(jié)構(gòu)的模態(tài)及導(dǎo)納。

由于輸入彈性結(jié)構(gòu)的能量與其導(dǎo)納實部之間存在著簡單關(guān)系［2］，同時考慮激勵點和響應(yīng)點不同位置的影響，將導(dǎo)納矩陣中各導(dǎo)納元素的實部繪制成譜線，如圖5所示。圖5（a）～（c）中驅(qū)動點力導(dǎo)納及力矩導(dǎo)納實部均為正值，意味著當(dāng)外部力、力矩作用于殼體結(jié)構(gòu)時，殼體為能量接受體，力或力矩產(chǎn)生的振動能可直接輸入到結(jié)構(gòu)中。而圖5（d）所示驅(qū)動點耦合導(dǎo)納的實部中出現(xiàn)負(fù)值，表示殼體結(jié)構(gòu)在特定頻帶上對外施載荷產(chǎn)生反作用，振動能量從結(jié)構(gòu)流出。鑒于驅(qū)動點耦合導(dǎo)納和均為零，這里討論其軸向坐標(biāo)x相同，周向坐標(biāo)θ不同的跨點導(dǎo)納情況。由圖5 （e）、（f）可知，相應(yīng)跨點耦合導(dǎo)納實部中同樣出現(xiàn)了負(fù)值。耦合導(dǎo)納實部的這種可負(fù)性規(guī)律為殼體結(jié)構(gòu)的減振降噪工作提供了一種潛在手段，可通過合理布置外施載荷的相對大小、位置來降低殼體結(jié)構(gòu)在某個頻率范圍的振動功率。另外，從圖5（a）～（c）中還可看出，當(dāng)激勵（響應(yīng)）點位于L／2位置（即跨中）時，部分共振峰消失。由于殼體兩端邊界條件相同，這些未激發(fā)的模態(tài)取決于軸向節(jié)線參數(shù)m的取值情況。值得注意的是，從圖5（d）、（f）中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)激勵點位于殼體跨中處時，耦合導(dǎo)納及的實部具有非常小量（10－25～10－15量綱之間），產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因在于圓柱殼體結(jié)構(gòu)具有沿周向?qū)ΨQ的邊界條件（SD-SD），而位于跨中處的激勵點正好滿足軸向振型函數(shù)的對稱條件。

4 結(jié) 論

基于多種經(jīng)典薄殼振動理論，采用模態(tài)疊加原理，考慮圓柱殼體非徑向振動慣性項的貢獻，同時計及正余弦模態(tài)響應(yīng)，推導(dǎo)出兩端剪力薄膜支撐圓柱殼體在面外力和力矩激勵下的點力導(dǎo)納、力矩導(dǎo)納和耦合導(dǎo)納的完整解析表達式。

算例表明：兩端剪力薄膜支撐圓柱殼體的非徑向振動慣性項對各階模態(tài)及導(dǎo)納幅頻的預(yù)估精度影響顯著，不能簡單省略。力導(dǎo)納和力矩導(dǎo)納的實部恒正，而耦合導(dǎo)納的實部具有可負(fù)性，依賴于軸向節(jié)線參數(shù)m的取值以及激勵與響應(yīng)點的選取位置。耦合導(dǎo)納實部的這種可負(fù)性規(guī)律為殼體結(jié)構(gòu)的減振降噪工作提供了一種潛在手段。

所給出的點導(dǎo)納推導(dǎo)過程及解析表達式，可方便拓展到線激勵或加筋情況下，圓柱殼體的動力響應(yīng)及聲輻射研究；亦可結(jié)合子結(jié)構(gòu)導(dǎo)納法用于柔性圓柱殼體支承基礎(chǔ)上的主被動隔振系統(tǒng)的設(shè)計。

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Point mobilities of circular cylindrical shells with both ends supported by shear diaphragms

YANG Ming-yue，SUN Ling-ling，WANG Xiao-le，GAO Yang
（Key Laboratory of High-efficiency and Clean Mechanical Manufacture，Ministry of Education，Shandong University，Jinan 250061，China）

Classical thin shell theories and modal superposition principle were used to investigate the dynamic response of isotropic circular cylindrical shells with both ends supported by shear diaphragms．The contribution of nonradial vibration terms and responses of their sinusoidal and cosine modes were taken into account．The force mobility，moment mobility and coupling mobility functions of a circular cylindrical shell simultaneously subjected to harmonic point force and moment excitations were derived．It was shown that non-radial vibration terms have remarkable effects on the prediction accuracy of amplitude frequencies of modes and mobilities，and the real parts of coupling mobility functions may be negative．The results provided a theoretical guidance for the vibration and noise reduction of cylindrical shell structures with both ends supported by shear diaphragms and for designing active and passive vibration isolation systems with these circular cylindrical shells as foundations．

vibration and wave；circular cylindrical shell；modal analysis；mobility；vibration isolation

TB535

A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．23．018

國家自然科學(xué)基金（51174126）

2013－08－15 修改稿收到日期：2013－12－09

楊明月女，碩士生，1989年4月生

孫玲玲女，博士，教授，1967年12月生