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        遞推數(shù)列的特征方程法探究

        2014-05-08 01:28:58蔡軍軍
        中小學(xué)教學(xué)研究 2014年4期
        關(guān)鍵詞:求通特征方程公比

        蔡軍軍

        數(shù)列問題在高考中有著非常重要的地位,其中數(shù)列求通項公式,通常作為各省市的高考壓軸題出現(xiàn)。而遞推數(shù)列的通項公式求解,往往令師生最為頭疼。那么,什么是遞推數(shù)列,包含哪些類型.一般而言,數(shù)列求通項公式,都有哪些方法策略?下面,我對這幾方面做些研究、探索不足之處,敬請同行批評指正。

        一、遞推數(shù)列的分類

        遞推數(shù)列,顧名思義是指可以通過遞推找出其規(guī)律的數(shù)列。用通俗的一句話來解釋“遞推”就是:知道他的過去,就知道他的現(xiàn)在.知道他的過去和現(xiàn)在,就知道他的將來。

        根據(jù)遞推式不同,一般可將遞推數(shù)列分為以下4類:

        二、遞推數(shù)列的特征方程法引理

        (一)一階線性遞推數(shù)列

        引理1.已知數(shù)列{an}滿足a1=b,an+1=pan+q(p≠0且p≠1,p,q是常數(shù)),稱方程x=px+q為數(shù)列{an}的特征方程,設(shè)特征方程的根為x0,則①當(dāng)x0=a1時,數(shù)列{an}為常數(shù)列;②當(dāng)x0≠a1時,數(shù)列{an-x0}是以p(p≠0)為公比的等比數(shù)列.

        簡證:設(shè)特征方程x=px+q,得根為x0=■,

        又an+1=pan+q (1)x0=px0+q (2),由(1)-(2)得,an+1-x0=p(an-x0),

        若a1=x0=■,則a1=a2=a3=……=an=■,即數(shù)列{an}為常數(shù)列;

        若a1≠x0,則■=■=p(非零常數(shù)),即數(shù)列{an-x0}是以p為公比的等比數(shù)列,證畢。

        (二)二階線性遞推數(shù)列

        引理2.已知數(shù)列{an}滿足an+2=pan+1+qan(p≠1,p,q是常數(shù)),a1=a,a2=b,稱方程x2=px+q為數(shù)列{an}的特征方程,設(shè)特征方程的根為x1,x2。則①當(dāng)x1≠x2時,數(shù)列{an}的通項為an=c1x1n+c2x2n,其中c1,c2由初始值決定;②當(dāng)x1=x2時,數(shù)列{an}的通項為an=(c1+c2n)x1n,其中c1,c2由初始值決定。

        簡證:設(shè)特征方程x2=px+q有兩個根為x1,x2,則

        x1+x2=px1·x2=-q,故由an+2=pan+1+qan得,an+2=(x1+x2)an+1-(x1·x2)an,

        即an+2-x1an+1=x2(an+1-x1an)。所以,an-x1an-1=x2(an-1-x1an-2)

        利用迭代得:

        an-x1an-1=x2(an-1-x1an-2)所以an-x1an-1=x2n-2(a2-x1a1)

        =x22(an-2-x1an-3) ■=■

        =……

        =x2n-2(a2-x1a1) 即■-■=■(a2-x1a1)

        再次利用迭代得:

        ■=■+■(a2-x1a1)

        =■+■(a2-x1a1)+■(a2-x1a1)

        =……

        =■+(a2-x1a1)(■+■+■+……+■)

        若x1≠x2,則■=■+(a2-x1a1)■

        整理得,an=■x1n+■x2n

        設(shè)c1=■,c2=■,則an=c1x1n+c2x2n。

        若x1=x2,則由■=■+(a2-x1a1)(■+■+■+……+■)得,

        an=[(■+x1a1-a2)+(a2-x1a1)n]x1n

        設(shè)c1=■+x1a1-a2,c2=a2-x1a1,an=(c1+c2n)x1n,證畢。

        (三)一次分式遞推數(shù)列

        引理3.已知數(shù)列{an}滿足an+1=■(p,q,r,h∈R,且ph≠qr,r≠0,a1≠-■),則稱方程x=■為數(shù)列{an}的特征方程,設(shè)特征方程的根為x1,x2。則①當(dāng)x1≠x2且x1≠a1時,則數(shù)列{■}為等比數(shù)列.②當(dāng)x1=x2時,若a1=x1,則數(shù)列{an}為常數(shù)列;若a1≠x1,則數(shù)列{■}為等差數(shù)列。

        簡證:設(shè)特征方程x=■有兩個根為x1,x2,

        特征方程整理為rx2+(h-p)x-q=0,故x1+x2=■x1x2=-■

        當(dāng)x1≠x2且x1≠a1時,不妨設(shè)■=k■(其中k為待定系數(shù))

        由■=k■,解得:an+1=■

        與an+1=■比較可得:

        x1-kx2=p,(k-1)x1x2=q,1-k=r,kx1-x2=h

        上面四個等式再結(jié)合x1+x2=■x1x2=-■進行驗證,得出結(jié)論是正確的。

        所以■=k■是存在的,并且k=1-r。

        所以,當(dāng)x1≠x2且x1≠a1時,則數(shù)列{■}為等比數(shù)列得證。

        同理易證當(dāng)x1=x2時,若a1=x1,則數(shù)列{an}為常數(shù)列;

        若a1≠x1,則數(shù)列{■}為等差數(shù)列.

        (四)二元一階線性遞推數(shù)列

        引理4.已知數(shù)列{an},{bn}滿足an+1=pan+qbnbn+1=ran+hbn,則數(shù)列{an},{bn}的通項公式求解,可轉(zhuǎn)化為二階線性遞推數(shù)列來進行通項公式的求解。

        簡證:由于an+2=pan+1+qbn+1

        =pan+1+q(ran+hbn)

        =pan+1+q(ran+h■)

        =(p+h)an+1+(qr-hp)an

        同理,bn+2=(p+h)bn+1+(qr-hp)bn

        所以,二元一階線性遞推數(shù)列可轉(zhuǎn)化為二階線性遞推數(shù)列解決。

        三、遞推數(shù)列在高考中的考查

        遞推數(shù)列綜合性試題,頻繁出現(xiàn)在高考壓軸題的位置。譬如下面幾道數(shù)列高考題,可用特征方程解答:

        題目1.(2008年廣東文)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an=■(an-1+2an-2)(n=3,4,…)。數(shù)列{bn}滿足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整數(shù),且對任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k,都有-1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1。

        (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;

        (2)記cn=nanbn(b=1,2,…),求數(shù)列{cn}的前n項和Sn。

        解:(1)問中,二階線性遞推數(shù)列{an}通項公式的求解:

        數(shù)列{an}的特征方程為x2-■x-■=0,解得特征根x1=1,x2=-■,

        故可設(shè)an=c1x1n+c2x2n=c1+c2(-■)n

        再由a1=1,a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2,

        所以c1=■,c2=■。

        所以an=■+■(-■)n。

        題目2.(2009年陜西文)已知數(shù)列{an}滿足,a1=1,a2=2,an+2=■,n∈N*。

        (1)令bn=an+1-an,證明:{bn}是等比數(shù)列;

        (2)求{an}的通項公式。

        解:(2)問中,二階線性遞推數(shù)列{an}通項公式的求解:

        數(shù)列{an}的特征方程為x2=■,

        解得特征根x1=1,x2=-■

        故可設(shè)an=c1x1n+c2x2n=c1+c2(-■)n

        再由a1=1,a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2,

        所以c1=■,c2=■。

        所以an=■+■(-■)n。

        題目3.(2008年陜西理)已知數(shù)列{an}的首項a1=■,an+1=■,n=1,2,…。

        (1)求{an}的通項公式;

        (2)證明:對任意的x>0,an≥■-■(■-x),n=1,2,…;

        (3)證明:a1+a2+…+an>■。

        解:(1)問中,一次分式遞推數(shù)列{an}通項公式的求解:

        數(shù)列{an}的特征方程為x=■,

        解得特征根x1=1,x2=0,

        所以數(shù)列{■}為等比數(shù)列。

        再由a1=■,a2=■解得:等比數(shù)列{■}的首項是-■,公比是■,

        所以■=-■·■,從而解出an=■。

        題目4.(2009年江西理)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an},a1=a,a2=b,且對滿足m+n=p+q的正整數(shù)m,n,p,q,都有■=■。

        (1)當(dāng)a=■,b=■時,求通項an;

        (2)證明:對任意a,存在與a有關(guān)的常數(shù)λ,使得對于每個正整數(shù)a,都有■≤an≤λ。

        解:(1)由■=■得

        ■=■將a1=■,a2=■代入化簡得an=■。

        所以數(shù)列{an}為一次分式遞推數(shù)列,

        其特征方程為x=■,

        求解出特征根是x1=1,x2=-1,

        故數(shù)列{■}為等比數(shù)列。

        再由a1=■,a2=■,得等比數(shù)列{■}的首項是-■,公比是■,

        所以■=-■·■=-(■)n,從而解出an=■。

        通過上面4個高考題目,可以看出,特征方程法用于求解遞推數(shù)列的通項公式非常簡便。不論什么樣基礎(chǔ)的學(xué)生,也完全可以用該方法解決高考中相對較難的遞推數(shù)列壓軸題.若能結(jié)合實際情況,有選擇地教會學(xué)生使用特征方程法,解決相關(guān)數(shù)列問題,一定能使學(xué)生獲益匪淺,決勝高考。

        四、數(shù)列求通項公式之想法

        關(guān)于數(shù)列求通項公式的方法、策略,在各類數(shù)學(xué)教育雜志上層出不窮.筆者整理,歸納主要有如下幾種類型及應(yīng)對的策略:

        關(guān)于如何求解數(shù)列求通項公式問題,并不能窮盡所有方法。高三復(fù)習(xí)也不應(yīng)該采取題海戰(zhàn)術(shù)來應(yīng)對高考,否則事倍功半.萬變不離其宗,還是應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回歸概念。教材當(dāng)中只介紹了等差數(shù)列(an+1-an=d)和等比數(shù)列(■=q)兩種常規(guī)數(shù)列,那么為什么沒介紹其他方法來求解非常規(guī)數(shù)列問題呢?其實,條件滿足形如an+1-an=f(n)的數(shù)列不就是等差數(shù)列的廣義形式嗎?而■=f(n)亦是等比數(shù)列的廣義形式?;仡^反思一下,上面的各種求解數(shù)列通項公式的方法,無不是通過各種技巧進行構(gòu)造變換,再轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n)或■=f(n)的形式,最終化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列來求解通項公式。正是應(yīng)了李邦河院士那句名言:數(shù)學(xué)根本上是玩概念的,不是玩技巧的,技巧不足道也!所以,在平時的教學(xué)過程中,我們更應(yīng)該教給學(xué)生解決求通項公式的一種思想,而不是簡單的一兩種技巧性的東西.這樣,學(xué)生才能在面對各種數(shù)列求通項公式問題時,做到游刃有余,事半功倍。(責(zé)任編輯:張華偉)

        題目1.(2008年廣東文)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an=■(an-1+2an-2)(n=3,4,…)。數(shù)列{bn}滿足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整數(shù),且對任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k,都有-1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1。

        (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;

        (2)記cn=nanbn(b=1,2,…),求數(shù)列{cn}的前n項和Sn。

        解:(1)問中,二階線性遞推數(shù)列{an}通項公式的求解:

        數(shù)列{an}的特征方程為x2-■x-■=0,解得特征根x1=1,x2=-■,

        故可設(shè)an=c1x1n+c2x2n=c1+c2(-■)n

        再由a1=1,a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2,

        所以c1=■,c2=■。

        所以an=■+■(-■)n。

        題目2.(2009年陜西文)已知數(shù)列{an}滿足,a1=1,a2=2,an+2=■,n∈N*。

        (1)令bn=an+1-an,證明:{bn}是等比數(shù)列;

        (2)求{an}的通項公式。

        解:(2)問中,二階線性遞推數(shù)列{an}通項公式的求解:

        數(shù)列{an}的特征方程為x2=■,

        解得特征根x1=1,x2=-■

        故可設(shè)an=c1x1n+c2x2n=c1+c2(-■)n

        再由a1=1,a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2,

        所以c1=■,c2=■。

        所以an=■+■(-■)n。

        題目3.(2008年陜西理)已知數(shù)列{an}的首項a1=■,an+1=■,n=1,2,…。

        (1)求{an}的通項公式;

        (2)證明:對任意的x>0,an≥■-■(■-x),n=1,2,…;

        (3)證明:a1+a2+…+an>■。

        解:(1)問中,一次分式遞推數(shù)列{an}通項公式的求解:

        數(shù)列{an}的特征方程為x=■,

        解得特征根x1=1,x2=0,

        所以數(shù)列{■}為等比數(shù)列。

        再由a1=■,a2=■解得:等比數(shù)列{■}的首項是-■,公比是■,

        所以■=-■·■,從而解出an=■。

        題目4.(2009年江西理)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an},a1=a,a2=b,且對滿足m+n=p+q的正整數(shù)m,n,p,q,都有■=■。

        (1)當(dāng)a=■,b=■時,求通項an;

        (2)證明:對任意a,存在與a有關(guān)的常數(shù)λ,使得對于每個正整數(shù)a,都有■≤an≤λ。

        解:(1)由■=■得

        ■=■將a1=■,a2=■代入化簡得an=■。

        所以數(shù)列{an}為一次分式遞推數(shù)列,

        其特征方程為x=■,

        求解出特征根是x1=1,x2=-1,

        故數(shù)列{■}為等比數(shù)列。

        再由a1=■,a2=■,得等比數(shù)列{■}的首項是-■,公比是■,

        所以■=-■·■=-(■)n,從而解出an=■。

        通過上面4個高考題目,可以看出,特征方程法用于求解遞推數(shù)列的通項公式非常簡便。不論什么樣基礎(chǔ)的學(xué)生,也完全可以用該方法解決高考中相對較難的遞推數(shù)列壓軸題.若能結(jié)合實際情況,有選擇地教會學(xué)生使用特征方程法,解決相關(guān)數(shù)列問題,一定能使學(xué)生獲益匪淺,決勝高考。

        四、數(shù)列求通項公式之想法

        關(guān)于數(shù)列求通項公式的方法、策略,在各類數(shù)學(xué)教育雜志上層出不窮.筆者整理,歸納主要有如下幾種類型及應(yīng)對的策略:

        關(guān)于如何求解數(shù)列求通項公式問題,并不能窮盡所有方法。高三復(fù)習(xí)也不應(yīng)該采取題海戰(zhàn)術(shù)來應(yīng)對高考,否則事倍功半.萬變不離其宗,還是應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回歸概念。教材當(dāng)中只介紹了等差數(shù)列(an+1-an=d)和等比數(shù)列(■=q)兩種常規(guī)數(shù)列,那么為什么沒介紹其他方法來求解非常規(guī)數(shù)列問題呢?其實,條件滿足形如an+1-an=f(n)的數(shù)列不就是等差數(shù)列的廣義形式嗎?而■=f(n)亦是等比數(shù)列的廣義形式。回頭反思一下,上面的各種求解數(shù)列通項公式的方法,無不是通過各種技巧進行構(gòu)造變換,再轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n)或■=f(n)的形式,最終化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列來求解通項公式。正是應(yīng)了李邦河院士那句名言:數(shù)學(xué)根本上是玩概念的,不是玩技巧的,技巧不足道也!所以,在平時的教學(xué)過程中,我們更應(yīng)該教給學(xué)生解決求通項公式的一種思想,而不是簡單的一兩種技巧性的東西.這樣,學(xué)生才能在面對各種數(shù)列求通項公式問題時,做到游刃有余,事半功倍。(責(zé)任編輯:張華偉)

        題目1.(2008年廣東文)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an=■(an-1+2an-2)(n=3,4,…)。數(shù)列{bn}滿足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整數(shù),且對任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k,都有-1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1。

        (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;

        (2)記cn=nanbn(b=1,2,…),求數(shù)列{cn}的前n項和Sn。

        解:(1)問中,二階線性遞推數(shù)列{an}通項公式的求解:

        數(shù)列{an}的特征方程為x2-■x-■=0,解得特征根x1=1,x2=-■,

        故可設(shè)an=c1x1n+c2x2n=c1+c2(-■)n

        再由a1=1,a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2,

        所以c1=■,c2=■。

        所以an=■+■(-■)n。

        題目2.(2009年陜西文)已知數(shù)列{an}滿足,a1=1,a2=2,an+2=■,n∈N*。

        (1)令bn=an+1-an,證明:{bn}是等比數(shù)列;

        (2)求{an}的通項公式。

        解:(2)問中,二階線性遞推數(shù)列{an}通項公式的求解:

        數(shù)列{an}的特征方程為x2=■,

        解得特征根x1=1,x2=-■

        故可設(shè)an=c1x1n+c2x2n=c1+c2(-■)n

        再由a1=1,a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2,

        所以c1=■,c2=■。

        所以an=■+■(-■)n。

        題目3.(2008年陜西理)已知數(shù)列{an}的首項a1=■,an+1=■,n=1,2,…。

        (1)求{an}的通項公式;

        (2)證明:對任意的x>0,an≥■-■(■-x),n=1,2,…;

        (3)證明:a1+a2+…+an>■。

        解:(1)問中,一次分式遞推數(shù)列{an}通項公式的求解:

        數(shù)列{an}的特征方程為x=■,

        解得特征根x1=1,x2=0,

        所以數(shù)列{■}為等比數(shù)列。

        再由a1=■,a2=■解得:等比數(shù)列{■}的首項是-■,公比是■,

        所以■=-■·■,從而解出an=■。

        題目4.(2009年江西理)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an},a1=a,a2=b,且對滿足m+n=p+q的正整數(shù)m,n,p,q,都有■=■。

        (1)當(dāng)a=■,b=■時,求通項an;

        (2)證明:對任意a,存在與a有關(guān)的常數(shù)λ,使得對于每個正整數(shù)a,都有■≤an≤λ。

        解:(1)由■=■得

        ■=■將a1=■,a2=■代入化簡得an=■。

        所以數(shù)列{an}為一次分式遞推數(shù)列,

        其特征方程為x=■,

        求解出特征根是x1=1,x2=-1,

        故數(shù)列{■}為等比數(shù)列。

        再由a1=■,a2=■,得等比數(shù)列{■}的首項是-■,公比是■,

        所以■=-■·■=-(■)n,從而解出an=■。

        通過上面4個高考題目,可以看出,特征方程法用于求解遞推數(shù)列的通項公式非常簡便。不論什么樣基礎(chǔ)的學(xué)生,也完全可以用該方法解決高考中相對較難的遞推數(shù)列壓軸題.若能結(jié)合實際情況,有選擇地教會學(xué)生使用特征方程法,解決相關(guān)數(shù)列問題,一定能使學(xué)生獲益匪淺,決勝高考。

        四、數(shù)列求通項公式之想法

        關(guān)于數(shù)列求通項公式的方法、策略,在各類數(shù)學(xué)教育雜志上層出不窮.筆者整理,歸納主要有如下幾種類型及應(yīng)對的策略:

        關(guān)于如何求解數(shù)列求通項公式問題,并不能窮盡所有方法。高三復(fù)習(xí)也不應(yīng)該采取題海戰(zhàn)術(shù)來應(yīng)對高考,否則事倍功半.萬變不離其宗,還是應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回歸概念。教材當(dāng)中只介紹了等差數(shù)列(an+1-an=d)和等比數(shù)列(■=q)兩種常規(guī)數(shù)列,那么為什么沒介紹其他方法來求解非常規(guī)數(shù)列問題呢?其實,條件滿足形如an+1-an=f(n)的數(shù)列不就是等差數(shù)列的廣義形式嗎?而■=f(n)亦是等比數(shù)列的廣義形式?;仡^反思一下,上面的各種求解數(shù)列通項公式的方法,無不是通過各種技巧進行構(gòu)造變換,再轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n)或■=f(n)的形式,最終化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列來求解通項公式。正是應(yīng)了李邦河院士那句名言:數(shù)學(xué)根本上是玩概念的,不是玩技巧的,技巧不足道也!所以,在平時的教學(xué)過程中,我們更應(yīng)該教給學(xué)生解決求通項公式的一種思想,而不是簡單的一兩種技巧性的東西.這樣,學(xué)生才能在面對各種數(shù)列求通項公式問題時,做到游刃有余,事半功倍。(責(zé)任編輯:張華偉)

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