段文杰，王大軼，劉成瑞

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術重點實驗室，北京100190)

0 引言

飛機、衛(wèi)星等控制系統對穩(wěn)定性，可靠性要求很高，對于這類系統，如何快速實現執(zhí)行器故障后的系統重構是保證其安全可靠工作的關鍵問題.

故障的檢測，隔離和診斷(FDI，fault detection and isolation，)［1］是主動容錯控制方法的基礎.充分冗余可以保證故障系統的可控性，對于過驅動系統，控制分配［2］是處理帶約束的冗余的有效方法.控制分配經常和其他的控制方法共同使用，以用于處理故障［3］.將故障診斷，重構算法和控制分配相結合，可以有效地處理故障［4-5］.

本文面向閉環(huán)冗余控制系統設計的可重構控制方法，包含控制器、控制分配和故障診斷三個部分.對于閉環(huán)系統執(zhí)行器故障，在線重構時，故障很容易在閉環(huán)系統中傳播開來，可能導致故障檢測時多個觀測變量都超過了報警閾值，增加了故障隔離的難度.另外，受到控制器魯棒性影響，理論上可以隔離的故障，在實際中往往難以實現.如何克服這些問題，快速的定位故障，并隔離故障，是實現可重構控制的關鍵.因此本文重點設計如何快速定位可能的故障源和在線定位故障.

本文采用有向圖(SDG，signed directed graph)［6］方法進行故障檢測，得到可能的故障源，然后對難以隔離的故障設計一種在線故障定位方法.對于控制分配部分，提出基于可達集的控制分配在求解時，可以對可達集表面重新排序，從而提高求解速度.文中將提到的方法應用到一個四動量輪航天器模型.

1 問題描述與定義

航天器動力學方程為

其中，h(t)為動量輪相對于量體角動量，hx(t)、hy(t)和hz(t)為h(t)在x、y和z方向的分量.φ、θ，φ分別為滾動角、俯仰和偏行角，Ix、Iy和Iz分別為x、y、z軸轉動慣量，ω0為軌道角速度.

式(1)寫成狀態(tài)方程為

由文獻［7］可知，式中的ξ0(t)為匹配項，可以表示為ξ為BC的偽逆.定義，所以式(2)可以表示為

本文的故障診斷和隔離算法基于采樣系統，所以將式離散化可得本文研究對象，離散過驅動線性時不變系統如下:

式中，v(k)=B0u(k)，B0∈Rp×m為執(zhí)行器安裝矩陣，u(k)∈Rm為m個執(zhí)行器的輸出向量，A=

當主系統與真實系統輸出的差超過了閾值時，故障檢測模塊報警，接下來故障隔離算法基于故障檢測的結果隔離故障.定位故障后，控制分配部分重新分配控制律，流程圖如圖1所示.

本文以航天器冗余動量輪系統的故障隔離及重構為例，在可重構設計中主要做了以下工作:

1)控制器設計;

2)控制分配:改進基于可達集(AMS)直接分配方法;

圖1 容錯控制流程圖Fig.1 Fault-tolerant control flowchart

3)檢測到故障后，應用SDG方法快速定位可能的故障源;對難以隔離的故障，設計一種在線故障隔離算法.

2 可重構控制算法

2.1 故障檢測與隔離

故障檢測:主系統與真實系統輸出的差超過預設的閾值時，故障檢測報警，檢測到系統發(fā)生故障.定義閾值為sk，當時，故障檢測報警，故障隔離算法將基于故障檢測結果隔離故障.為了簡便，假設方程(4)和(5)中的C矩陣為單位矩陣.此時用于故障檢測的殘差為

應用SDG方法首先要將解析模型轉化為SDG圖.可表示為微分方程的系統，SDG的節(jié)點對應方程的系統變量和輸入，而節(jié)點間的支路符號可通過對微分方程求偏導計算.例如，某系統的狀態(tài)變量為x=［x1，…，xn］，系統狀態(tài)方程如下:

節(jié)點xj到節(jié)點xi的支路的符號函數為sgn(?fi/?xj)，即當 ?fi/?xj＞0 ，該支路符號為正，取值為1;當?fi/?xj＜0，該支路符號為負，取值為-1;當 ?fi/?xj=0時，則說明節(jié)點xj到節(jié)點xi之間沒有支路連接.

下面以航天器飛輪故障的診斷為例，說明SDG故障診斷方法.首先，過驅動航天器系統的有向圖可以分層畫出，u→v→x.支路符號與系統的參數有關.采用的系統參數為Ix=200 kg·m2，Iy=100 kg·m2，Iz=180 kg·m2，Torbit=10 h，ω0=(2π/3 600)Torbit.動量輪的構型為三正一斜，其安裝矩陣為

式(1)～式(4)所示的航天器模型的有向圖為圖2.

搜索支路，確定故障源，通過以下幾步進行:

(1)用T={σk，i}來表示報警節(jié)點集合;

(2)從T中任取一個 σk，i，對應的狀態(tài)變量為xi，在有向圖中從該節(jié)點沿箭頭回溯得到上一個節(jié)點.對該路徑分兩種情況考慮，一種是若該節(jié)點在以前的回溯搜索中已經搜索過了，則停止回溯;另一種是一直回溯到部件節(jié)點ui;

圖2 航天器系統有向圖Fig.2 SDG of the spacecraft

(3)繼續(xù)搜索，遍歷所有可能路徑;

(4)按照上面處理完所有故障報警節(jié)點，取各個故障報警節(jié)點產生的候選節(jié)點集合的并集作為故障源候選節(jié)點集合SFau.

應用SDG方法離線制作出故障源表，在線發(fā)生故障時，通過查表，就可以得到可能的故障源集合.

通過以上方法獲得的故障源SFau中，一般存在不止一個故障源.如 σk，4報警，SFau={u2，u4}.為了進一步的定位故障，本文設計了一種在線閉環(huán)系統隔離故障方法，該方法如下:

1)故障檢測報警后，通過查表或者在線SDG分析，迅速得到可能故障源SFau={1，…，uj，…}.定義故障源uj對報警狀態(tài)xi的影響程度因子為ηij，表示該路徑m個支路影響因子的乘積

其中，φi為該傳播路徑的第i個支路的偏導數，如果該支路為xp→xq，則 φi=?fq/?xp，按照 ηij從大到小的順序排序SFau.

2)重置故障診斷主系統狀態(tài)，令x=，使得主系統狀態(tài)和真實系統狀態(tài)相同.

3)假設SFau中排列最前的組件故障(已經檢驗過的跳過)，然后應用故障診斷結果隔離故障，重新分配控制律.如果故障診斷部分未再次報警，則故障診斷結果正確，系統重構完成;如果又再次報警且報警節(jié)點相同，跳到第2)步;如果報警但節(jié)點不同，則報警節(jié)點為兩次報警節(jié)點的并集，跳到第1)步.

本文的重構方法，診斷出某個執(zhí)行器故障后，在控制分配中，將該執(zhí)行器隔離.本文在線隔離方法應用的前提是控制器具有較強的魯棒性，系統在線隔離時能保證系統安全.

2.2 控制器設計

采用模型參考方法，參考輸入為yr，k.對于姿態(tài)調節(jié)系統，yr，k=0.對主系統，控制律為

系統(5)的控制律如下:

將式(10)代入式(5)，可得

將式(9)和式(10)代入到式(12)，并結合式(11)，可得

由式(13)可知，設計控制參數Kn和Kp，使得A-BKnC和A-BKnC-BKpC的特征值在單位圓內，可以使得姿態(tài)調節(jié)系統(yr，k=0)漸進穩(wěn)定.

2.3 控制分配

vk為控制器設計出的控制律，控制分配在故障診斷的基礎上，將vk分配到各個執(zhí)行器，方程為

本節(jié)采用基于可達集的直接方法求解，該方法的解空間可以充滿整個可達集中.基于可達集的解法主要分為兩步，首先建立可達集，找到所有可達集表面，然后尋找相交面確定解向量.原來的算法，相交面的搜索過程是按照可達集建立的過程排列的，按照此順序搜索時間可能較長.本節(jié)為了快速確定相交面，提出將可達集表面按照各個可達集表面法向量ni和虛擬控制律vk之間的夾角從小到大的順序排列.該排序的指標為

其中，μi是可達集表面法向量ni和虛擬控制律vk之間的夾角的余弦值，μi越小，可達集表面法向量ni和虛擬控制律vk之間的夾角越小.當可達集接近一個正多面體時，搜索速度很快.

當某一個輸出方向飽和時，可達集的解落在目標向量和可達集的相交表面上，指向目標方向.

3 仿真分析

本節(jié)仿真衛(wèi)星姿態(tài)調節(jié)過程中動量輪故障時的重構問題.安裝在y軸自動量輪在姿態(tài)調節(jié)開始t=4 s后失效，無法接收指令，輸出為0.仿真初始條件為 x0=［0.05 0 0 0 0 0］，報警閾值為sk=0.005.式(13)中 A-BKnC的極點設計為 pker=［0.991 0.992 0.993 0.994 0.995 0.996］，通過 Matlab 中的place函數進行極點設計，可得 Kn=place(A，B，pker).且令Kp=0.

在仿真Ⅰ中，t=6.9 s報警，報警節(jié)點為3.經過分析可知，可能的故障源為{u2，u4}.然后按照上一節(jié)給出的方法，在線定位故障和隔離故障.

首先，對{u2，u4}排序.由x3回溯到到u2，可得故障傳播路徑為:u2→v2→x4→x3，計算影響因子為.同理，由x回溯到到u，故障34傳播路徑為:u4→v2→x4→x3，可以計算出其影響因子為.因此排序的結果為SFau={u2，u4}.

然后重置故障診斷主系統狀態(tài)，令x=.先令故障源中排在前面的u2故障，控制分配對象為u1，u3，u4，隔離后的安裝矩陣為

繼續(xù)仿真，因為診斷結果正確，系統故障正確隔離，系統重構完成.仿真結果如圖3～圖5所示.由仿真結果得知，本文提出的重構方法非常有效.在圖4中t=6.9 s時，主系統俯仰角和俯仰角速度的狀態(tài)突變，是由主系統和真實系統的差別較大報警后，姿態(tài)重置產生的.

在仿真Ⅰ中，t=6.9 s，系統報警后，如果我們不排序故障源，并先假定動量輪4故障.這次仿真為仿真Ⅱ.此時，真實的系統的可用動量輪為u1，u3，u4，但由于錯誤的診斷，控制分配的對象為u1，u2，u3，控制分配應用的安裝矩陣為式(17).因為u2故障，無法接收信號，實際的u2輸出為零.

圖3 仿真Ⅰ滾動角、滾動角速度時間歷程Fig.3 Histories of roll angle and roll angle rate in simulationⅠ

圖4 仿真Ⅰ俯仰角、俯仰角速度時間歷程Fig.4 Histories of pitch angle and pitch angle rate in simulationⅠ

圖5 仿真Ⅰ偏航角、偏航角速度時間歷程Fig.5 Histories of yaw angle and yaw angle rate in simulationⅠ

此時，動量輪實際的輸出力矩和控制分配的控制力矩，又產生了偏差，進而仿真中，t=9.38 s，系統再次報警，報警節(jié)點為σk，3，與之前報警節(jié)點相同.選擇u2為故障源，繼續(xù)仿真.因為故障源判斷正確，系統重構完成，姿態(tài)調節(jié)系統俯仰角及俯仰角速度仿真曲線如圖6所示.

圖6 仿真Ⅱ俯仰角、俯仰角速度時間歷程Fig.6 Histories of pitch angle and pitch angle rate in simulationⅡ

通過這兩次仿真的對比，可見，對故障源按照其對報警節(jié)點的影響因子排序，可以快速定位故障.這點與實際情況相符，因為每個觀測節(jié)點受故障源影響不同，每個故障對觀測節(jié)點產生的影響也不同，所以每個故障更可能在其影響最大的節(jié)點報警.

本文的故障診斷部分，采用了SDG快速診斷+在線評價的方式隔離故障.這時閾值作為故障檢測參數，它的大小關系著故障檢測和隔離的速度.首先閾值不宜過大.本文中，如果設置sk=0.015，則系統無報警，雖然發(fā)生了故障，但是利用重構算法的魯棒性，系統最終仍然穩(wěn)定，此次仿真為仿真Ⅲ，狀態(tài)歷程曲線如圖7所示.圖7表明本文的控制器具有較強的魯棒性，在控制器重構時，可以保證系統安全.

圖7 仿真Ⅲ系統狀態(tài)歷程Fig.7 Histories of state variables in simulation Ⅲ

減小報警閾值，可以減少故障影響.但對于實際系統，存在模型誤差，閾值不宜過小，可能產生故障誤報.

4 結論

本文設計了一種含冗余執(zhí)行器的閉環(huán)系統可重構控制方法.該方法包括控制器設計，控制分配和故障診斷3個方面.其中，控制器設計采用了反饋控制方法;控制分配部分改進了基于可達集的直接分配方法，重新排列了可達集表面，提高了求解速度;對冗余執(zhí)行器的故障定位是本文在線可重構算法重要的一個環(huán)節(jié)，采用了SDG快速診斷可能的故障源，對難以隔離的故障，設計了在線故障隔離方法.最后，將本文重構方法應用到了具有冗余動量輪的衛(wèi)星姿態(tài)調節(jié)系統，當動量輪故障時，取得了良好的重構效果.

［1］ZHANG Y，JIANG J.Bibliographical review on reconfigurable fault-tolerant control systems［J］.Annual Reviews in Control，2008，32(2):229-252.

［2］DURHAM W C.Attainable moments for the constrained control allocation problem［J］.Journal of Guidance Control，and Dynamics，1994，17(6):1371-1379.

［3］CASAVOLA A，GARONE E.Adaptive fault tolerant actuator allocation for overactuated plants［C］//Proceedings of the 2007 American Control Conference.New York:ACC，2007:3985-3990.

［4］ZHANG Y M，SURESH V S，JIANG B，et al.Reconfigurable control allocation against aircraft control effector failures［C］//The 16thIEEE International Conference on Control Applications.Singapore:IEEE，2007:1197-1202.

［5］HAMAYUN M T，EDWARDS C，ALWI H.A fault tolerant control allocation scheme with output integral sliding modes［J］.Automatica，2013，49(6):1830-1837.

［6］YANG F，XIAO D，SHAH S L.Signed directed graphbased hierarchical modelling and fault propagation analysis for large-scale systems［J］.IET Control Theory ＆Applications，2013，7(4):537-550.

［7］CASTANOS F，FRIDMAN L.Analysis and design of integral sliding manifolds for systems with unmatched perturbations［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2006，51(5):853-858.