吳會(huì)英，周美江，齊金玲

(上海微小衛(wèi)星工程中心，上海201203)

0 引言

編隊(duì)飛行技術(shù)自20世紀(jì)90年代后期發(fā)展以來(lái)已有一些應(yīng)用實(shí)例，如NASA的“陸地行星探測(cè)者計(jì)劃”為4顆跟蹤衛(wèi)星繞1顆參考衛(wèi)星的編隊(duì)構(gòu)型，用于驗(yàn)證光譜分析和編隊(duì)飛行干涉成像等多項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù).

編隊(duì)飛行技術(shù)雖然有著重大的應(yīng)用前景，但仍處于起步階段，一些關(guān)鍵技術(shù)的突破已成為衛(wèi)星編隊(duì)具體實(shí)現(xiàn)的重要因素.由于編隊(duì)衛(wèi)星功能的實(shí)現(xiàn)依賴(lài)于編隊(duì)構(gòu)型，所以構(gòu)型設(shè)計(jì)、構(gòu)型重構(gòu)和構(gòu)型保持已成為編隊(duì)衛(wèi)星發(fā)展的關(guān)鍵技術(shù).尤其對(duì)于50 kg以下的微小衛(wèi)星，資源嚴(yán)重受限，進(jìn)行編隊(duì)飛行有著更加嚴(yán)苛的工程約束.如何在這些工程約束下開(kāi)展復(fù)雜航天任務(wù)，掌握構(gòu)型形成與保持的控制方法是亟待攻克的關(guān)鍵技術(shù)之一.

已有諸多學(xué)者基于Hill方程［1］對(duì)兩星的編隊(duì)飛行軌道控制策略進(jìn)行了深入分析［2-4］，基于絕對(duì)軌道的編隊(duì)星群軌道控制策略也不乏研究文獻(xiàn)［5］，但二者對(duì)編隊(duì)構(gòu)型中最為基本的星群相位控制問(wèn)題涉及甚少.

對(duì)于共面編隊(duì)問(wèn)題來(lái)講，衛(wèi)星在軌道面內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為長(zhǎng)半軸是短半軸兩倍的跡向漂移橢圓，編隊(duì)構(gòu)型的保持即相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓幾何特性的保持，包括橢圓大小的保持和星群在橢圓上相對(duì)相位的保持.

通過(guò)2008年SZ-7伴星在軌伴飛任務(wù)的成功執(zhí)行，對(duì)設(shè)計(jì)的伴飛軌道控制策略進(jìn)行了基于真實(shí)軌道數(shù)據(jù)的驗(yàn)證［6］，得到了共面繞飛問(wèn)題中在相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓上下點(diǎn)進(jìn)行控制對(duì)橢圓短半軸控制效率最高的結(jié)論.文獻(xiàn)［7］延續(xù)文獻(xiàn)［6］的研究成果，對(duì)共面繞飛問(wèn)題中控制時(shí)機(jī)如何改變相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓大小問(wèn)題作了深入研究，推導(dǎo)了控制時(shí)機(jī)對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓大小改變的解析解.但遺憾的是，文獻(xiàn)［6］與文獻(xiàn)［7］僅針對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓大小控制改變問(wèn)題進(jìn)行了研究，對(duì)多星集群編隊(duì)問(wèn)題中十分關(guān)鍵的星群相對(duì)相位控制并沒(méi)有涉及，而且由于小衛(wèi)星資源匱乏，實(shí)時(shí)的軌道控制基本不可能實(shí)現(xiàn)，亟待開(kāi)展基于實(shí)際工程約束的編隊(duì)星群相位控制與保持技術(shù)研究.

本文立足于工程應(yīng)用，考慮編隊(duì)小衛(wèi)星平臺(tái)姿控能力較弱，或出于任務(wù)的特殊性?xún)H能進(jìn)行跡向控制，基于Hill方程開(kāi)展編隊(duì)星群相對(duì)相位控制問(wèn)題研究，通過(guò)求解控制時(shí)機(jī)對(duì)相對(duì)相位改變的解析解，使復(fù)雜的相位控制問(wèn)題可以通過(guò)分析其相對(duì)簡(jiǎn)單的解析解開(kāi)展研究.

1 共面繞飛編隊(duì)星群相位控制

1.1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程解

共面繞飛兩航天器在軌道面內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)解為相對(duì)軌道坐標(biāo)系(x軸徑向朝天，由地心指向參考航天器，y軸在軌道面內(nèi)垂直于x軸沿飛行方向，z軸符合右手定則)中長(zhǎng)半軸為短半軸兩倍的跡向漂移橢圓［1］

式中，b為橢圓短半軸，(xc，yc)為橢圓中心，xc=xc0，yc=yc0-1.5xc0nt，n為航天器平均運(yùn)動(dòng)角速度，xc0、yc0為初始時(shí)刻的橢圓中心，t為自初始時(shí)刻起算的時(shí)間.根據(jù)Hill方程可知

相對(duì)運(yùn)動(dòng)參數(shù)解為

nt+θ為衛(wèi)星在相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓上的相位，定義見(jiàn)式(4)，θ為初始相位，由初始時(shí)刻的相對(duì)運(yùn)動(dòng)參數(shù)決定.

1.2 編隊(duì)衛(wèi)星相位

根據(jù)式(3)，衛(wèi)星在相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓上的相位定義為

需要說(shuō)明的是，式中Θ具體取哪一個(gè)值由sinΘ=(y-yc)/(-2b)，cosΘ=(x-xc)/b的符號(hào)共同決定.

由式(4)可知，衛(wèi)星在相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓上的相位Θ是由相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓的內(nèi)切圓和外接圓輔助定義的，從正x軸起算，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正.

以相位相差90°兩衛(wèi)星繞主星的伴隨飛行為例說(shuō)明相位的定義，如圖1示，初始相位為0°的A星與初始相位為90°的B星，經(jīng)過(guò)t時(shí)間后，A星運(yùn)動(dòng)到相位為ΘA的A'處，B星運(yùn)動(dòng)到相位為ΘB的B'處，依然有ΘB-ΘA=90°，相位角的增加方向?yàn)橄鄬?duì)運(yùn)動(dòng)方向.

圖1 相位示意圖Fig.1 Phase sketch

1.3 編隊(duì)衛(wèi)星相位控制

首先，控制時(shí)機(jī)為控制的時(shí)刻，本節(jié)首先介紹相位控制過(guò)程中控制時(shí)機(jī)與相位改變的關(guān)系.

編隊(duì)衛(wèi)星在執(zhí)行任務(wù)過(guò)程中需要保持穩(wěn)定的構(gòu)型，其中之一就是保持星群間的相對(duì)相位穩(wěn)定.由式(4)可知，控制量對(duì)相位的改變是通過(guò)改變橢圓中心位置xc、yc和橢圓短半軸b實(shí)現(xiàn)的.本文以衛(wèi)星只能進(jìn)行跡向控制為例進(jìn)行相位控制問(wèn)題研究，由式(2)可知，跡向控制量ΔV會(huì)改變橢圓中心徑向坐標(biāo)xc和橢圓短半軸b的大小，對(duì)于cosΘ=(xxc)/b，其大小和符號(hào)都可能發(fā)生改變;但對(duì)于sinΘ=(y-yc)/(-2b)，雖然ΔV改變橢圓中心徑向坐標(biāo)xc(由yc=yc0-1.5xc0nt易知即改變了橢圓中心漂移速度)，但漂移量yc=yc0-1.5xcnt是一個(gè)隨時(shí)間累積的量，速度增量作用瞬時(shí)不會(huì)突變，所以sinΘ只可能改變大小，但符號(hào)不變，即控制前后相位在同一x半平面.控制時(shí)機(jī)與相位改變量滿足如下關(guān)系:

若ΔΘ∈(-π，0)，則可選控制時(shí)機(jī)為Θ∈(2kπ-ΔΘ，2kπ+π)∪ (2kπ-π-ΔΘ，2kπ);

若ΔΘ∈(0，+π)，則可選控制時(shí)機(jī)為Θ∈(2kπ，2kπ+π-ΔΘ)∪ (2kπ-π，2kπ-ΔΘ).

其次，控制量為控制的脈沖速度增量大小，下文介紹相位控制過(guò)程中控制量與相位改變的關(guān)系.

設(shè)跡向控制量ΔV引起的相位改變量為ΔΘ，由式(2)、(3)和(4)得到控制前后相位角為

式(5)中兩式相除，可得控制量ΔV引起的相位改變量ΔΘ為

將式(6)變形可得要改變?chǔ)うǖ南辔唤撬璧目刂屏喀為

最后，控制量與控制時(shí)機(jī)構(gòu)成了控制的全部要素，下文將討論3種特殊的控制時(shí)機(jī)，并給出3種控制時(shí)機(jī)對(duì)應(yīng)的控制量.

由式(7)可知，對(duì)于一定的相位改變量ΔΘ，所需控制量ΔV與控制時(shí)機(jī)Θ相關(guān)，可以通過(guò)選擇最優(yōu)控制時(shí)機(jī)Θ*使控制量ΔV最小.由式(7)可知當(dāng)sin(Θ+ΔΘ)=±1時(shí)，所需控制量絕對(duì)值最小:ΔVmin=sinΔΘ(nb/2)，對(duì)應(yīng)的最優(yōu)控制時(shí)機(jī)為Θ*=kπ+π/2-ΔΘ(k為整數(shù)，下文同)，為最省燃料的相位控制，這種控制模式對(duì)資源受限的編隊(duì)小衛(wèi)星意義重大.

由前面的分析可知，控制前后相位在同一x半平面，對(duì)于最省燃料的控制即有:

1)若 sin(Θ*+ΔΘ)=1，即控后相位 Θ*+ΔΘ=2kπ +π/2∈(2kπ，2kπ +π)，則控前相位應(yīng)有:Θ*=2kπ +π/2-ΔΘ∈(2kπ，2kπ +π)，可得相位改變量-π/2＜ΔΘ＜π/2;

2)若 sin(Θ*+ΔΘ)=-1，即控后相位 Θ*+ΔΘ=2kπ -π/2∈(2kπ -π，2kπ)，則控前相位應(yīng)有:Θ*=2kπ -π/2-ΔΘ∈(2kπ -π，2kπ)，可得相位改變量-π/2＜ΔΘ＜π/2.即只有需要改變的相位角ΔΘ∈(-π/2，π/2)為銳角時(shí)，才能找到最省燃料的控制時(shí)機(jī).此時(shí)若最小控制量 ΔVmin=sinΔΘ(nb/2)，則最省燃料的控制時(shí)機(jī)為Θ*=2kπ+π/2-ΔΘ;若最小控制量為ΔVmin=-sinΔΘ(nb/2)，則最省燃料的控制時(shí)機(jī)為Θ*=2kπ-π/2-ΔΘ.

由式(7)還可知，一定相位改變量ΔΘ對(duì)應(yīng)的控制量ΔV還與橢圓短半軸b相關(guān)，短半軸b越大，所需控制量ΔV也越大.所以編隊(duì)構(gòu)型尺度大的衛(wèi)星在進(jìn)行相位調(diào)整時(shí)，燃料耗費(fèi)相對(duì)也多.但對(duì)于最省燃料的控制，根據(jù)文獻(xiàn)［7］的推導(dǎo)，最省燃料控制時(shí)橢圓短半軸將改變:

即無(wú)論是控大還是控小相位，最省燃料控制總是會(huì)朝著將橢圓短半軸減小的方向進(jìn)行.橢圓短半軸減小，后續(xù)進(jìn)行最省燃料相位控制所需的控制量也會(huì)減小.

1.3.2 不改變相位的控制時(shí)機(jī)

編隊(duì)星群的相位控制到位后，希望后續(xù)控制不改變當(dāng)前相位.由式(4)可知，跡向控制量ΔV一定會(huì)改變橢圓中心徑向坐標(biāo)xc，從而改變 cosΘ=(x-xc)/b的值;但可以選擇sinΘ≡0，Θ=kπ(相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓上下點(diǎn))的時(shí)機(jī)進(jìn)行控制，則控制前后相位均為0，控制不改變相位.

據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，中國(guó)矮小癥發(fā)病率約為3%，現(xiàn)有矮小人口約3900萬(wàn)人。然而，每年真正接受治療的患者不到3萬(wàn)人。70%以上的家長(zhǎng)對(duì)矮小癥缺乏足夠的了解，不認(rèn)為矮小是一種病，以致錯(cuò)過(guò)了孩子的最佳治療期，嚴(yán)重影響了孩子的生長(zhǎng)發(fā)育。

雖然理論上講，在相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓上下點(diǎn)進(jìn)行控制不改變相位，但實(shí)際在軌時(shí)，由于測(cè)定軌誤差，上下點(diǎn)可能會(huì)找不準(zhǔn)，y-yc≠0為一小量;若此時(shí)恰好需要施加的控制量較大，且|ΔV|→nb/2為減小橢圓趨勢(shì)，可能會(huì)使|x-xc|→ 0，此時(shí)的括號(hào)為0:0型未定式，相位改變不可預(yù)期，為數(shù)學(xué)奇點(diǎn).圖2和圖3為在不同控制時(shí)機(jī)施加同一控制量對(duì)相位的改變情況.

圖2 正控制量引起的相位改變與控制時(shí)機(jī)的關(guān)系Fig.2 Relation of phase change and the time of control with positive ΔV

由圖2和圖3可知:

1)當(dāng)控制量|ΔV|＜nb/2時(shí)，在上下點(diǎn)進(jìn)行控制不改變相位，相位改變極值點(diǎn)出現(xiàn)在與控制時(shí)機(jī)對(duì)應(yīng)相位相加和為±90°的地方;

2)當(dāng)控制量|ΔV|＞nb/2時(shí)，在上下點(diǎn)進(jìn)行控制，可能會(huì)使橢圓先減小至零后增大，上下點(diǎn)對(duì)調(diào)，相位改變180°，故在工程應(yīng)用時(shí)對(duì)于小尺度的編隊(duì)構(gòu)型，應(yīng)盡量避免較大的速度增量，具體的速度增量上限值需要根據(jù)構(gòu)型尺度以及工程經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定.

圖3 負(fù)控制量引起的相位改變與控制時(shí)機(jī)的關(guān)系Fig.3 Relation of phase change and the time of control under negative ΔV

1.3.3 趨近最小控制量的控制時(shí)機(jī)

當(dāng)需要改變的相位角ΔΘ∈［π/2，π］∪［-π，-π/2］時(shí)，在可選控制時(shí)機(jī)區(qū)間內(nèi)找不到最省燃料控制的控制時(shí)機(jī)，此時(shí)可分次進(jìn)行最省燃料控制，也可以在可選控制時(shí)機(jī)內(nèi)任一控制時(shí)機(jī)進(jìn)行控制，所需控制量按式(7)計(jì)算.由式(7)可知，在可選控制時(shí)機(jī)內(nèi)對(duì)不同時(shí)機(jī)進(jìn)行控制，控制量大小不同，選擇的時(shí)機(jī)進(jìn)行控制，此時(shí)控制量趨近最小控制量:

需要注意的是:控制時(shí)機(jī)無(wú)限趨近kπ，但不等于kπ，因?yàn)?.3.2分析表明在相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓上下點(diǎn)(Θ=kπ)進(jìn)行控制不改變相位.所以實(shí)際應(yīng)用時(shí)，需要根據(jù)實(shí)際情況設(shè)定“無(wú)限趨近”的量化標(biāo)準(zhǔn)，使非銳角相位改變量的控制趨近最小控制量控制，盡可能節(jié)省燃料.

1.3.4 小 結(jié)

根據(jù)上文推導(dǎo)，可得如下結(jié)論:

1)控制量對(duì)相位的改變不是任意的，控制前后的相位在同一x半平面.即若ΔΘ∈(-π，0)，則可選控制時(shí)機(jī)為Θ∈(2kπ-ΔΘ，2kπ+π)∪(2kππ -ΔΘ，2kπ);若 ΔΘ ∈ (0，+π)，則可選控制時(shí)機(jī)為Θ∈(2kπ，2kπ +π-ΔΘ)∪(2kπ -π，2kπ -ΔΘ).

2)若需要改變的相位角ΔΘ∈(-π/2，π/2)為銳角，可在Θ*=2kπ+π/2-ΔΘ處施加ΔVmin=sinΔΘ·(nb/2)或在Θ*=2kπ-π/2-ΔΘ處施加ΔVmin=-sinΔΘ·(nb/2)的控制量進(jìn)行最省燃料控制，最省燃料的相位控制總是會(huì)將相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓控小;

3)在相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓上下點(diǎn)進(jìn)行控制不改變相位，但對(duì)于小尺度構(gòu)型，上下點(diǎn)不易準(zhǔn)確得到，可能導(dǎo)致相位發(fā)生不可預(yù)期的改變;

4)若需要改變的相位角ΔΘ∈［π/2，π］∪［-π，-π/2］，找不到最省燃料控制的控制時(shí)機(jī)，但可在可選控制時(shí)機(jī)內(nèi)選擇Θ→kπ的時(shí)機(jī)進(jìn)行控制，此時(shí)控制量趨近最小控制量ΔVmin=±nb/2.

2 仿真算例

2.1 仿真輸入

為驗(yàn)證本文理論的正確性，引入仿真實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證.其中主星為 700 km高度，交點(diǎn)周期為5 920.374 s，初始繞飛橢圓短半軸平均值為3.781 km，|nb/2|≈2 m/s，副星繞主星共面繞飛，對(duì)副星施加控制.約定用本文公式計(jì)算得到的相位改變量為“理論值”，考慮高精度的HPOP數(shù)值外推，并考慮所有攝動(dòng)，STK仿真得到的相位改變量為“仿真值”，比較“理論值”和“仿真值”的符合程度，即可驗(yàn)證本文理論的正確性.

2.2 仿真結(jié)果

表1中的“控前相位”即為用相位角表示的控制時(shí)機(jī)，仿真結(jié)果如表1所示.

由表1得到結(jié)論如下:

1)對(duì)需要改變的相位角為 +19.993°和 -19.989°的情況進(jìn)行了最省燃料控制仿真，相位改變量的理論值和仿真值相符，驗(yàn)證了最省燃料控制理論的正確性;

2)在相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓上下點(diǎn)(0°和180°)施加控制，當(dāng)實(shí)施的控制量小于nb/2時(shí)，相位改變量的仿真值為0，與理論值相同;

3)在相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓上點(diǎn)(0°)附近施加控制，當(dāng)實(shí)施的控制量大于nb/2時(shí)，橢圓短半軸幾乎減小為0，相位改變較大，表1中的仿真值與理論值的差異是計(jì)算過(guò)程中的舍入誤差造成的.

表1 仿真效果Tab.1 Simulation results

3 結(jié)束語(yǔ)

本文基于衛(wèi)星只能進(jìn)行跡向控制的一種微小衛(wèi)星在軌情況，應(yīng)用Hill方程推導(dǎo)了控制量和控制時(shí)機(jī)對(duì)編隊(duì)星群相位改變的關(guān)系，得到了當(dāng)需要改變的相位角為銳角時(shí)可進(jìn)行最省燃料的控制，在相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓上下點(diǎn)進(jìn)行控制不改變相位，當(dāng)需要改變的相位角為非銳角時(shí)可進(jìn)行分次控制等結(jié)論，并通過(guò)仿真驗(yàn)證了理論的正確性.

具體應(yīng)用時(shí)，可根據(jù)本文推導(dǎo)的理論依據(jù)實(shí)際情況選擇控制模式、規(guī)劃控制量和控制時(shí)機(jī).對(duì)于衛(wèi)星可進(jìn)行其他方向控制的情況，也可參照本文的推導(dǎo)方式進(jìn)行進(jìn)一步推導(dǎo)，結(jié)合實(shí)際工程約束進(jìn)行規(guī)劃.

本文旨在給出控制量、控制時(shí)機(jī)和編隊(duì)衛(wèi)星相位改變量之間的直觀公式，在任務(wù)分析階段可用此公式進(jìn)行燃料估算和控制模式的初步規(guī)劃.對(duì)編隊(duì)星群來(lái)講，進(jìn)行相位控制必然會(huì)引起構(gòu)型其他特征參數(shù)的改變，其耦合性使得編隊(duì)星群的構(gòu)型控制必須從全局綜合考慮，限于篇幅，本文不再詳細(xì)介紹，具體的構(gòu)型控制與保持將作為下一步研究的問(wèn)題.

［1］郗曉寧，王威，高玉東.近地航天器軌道基礎(chǔ)［M］.長(zhǎng)沙:國(guó)防科技大學(xué)出版社，2003:244-247.XI X N，WANG W，GAO Y D.Fundamentals of nearearth spacecraft orbit［M］.Changsha:Nation University of Defense Technology Press，2003:244-247.

［2］文援蘭，宋以勝，文景.共面編隊(duì)飛行衛(wèi)星星座的控制［J］.國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，26(3):24-28.WEN Y L，SONG Y S，WEN J.The control of the satellites coplanar formation flying［J］.Journal of National University of Defense Technology，2004，26(3):24-28.

［3］黃美麗，向開(kāi)恒.編隊(duì)飛行衛(wèi)星群相對(duì)軌道攝動(dòng)運(yùn)動(dòng)分析［J］.中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)，2006，26(6):13-19.HUANG M L，XIANG K H.Perturbation analysis of the relative orbits of formation flying satellite［J］.Chinese Space Science and Technology，2006，26(6):13-19.

［4］師鵬，李保軍，趙育善.有限推力下的航天器繞飛軌道保持與控制［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，33(7):757-760.SHI P，LI B J，ZHAO Y S.Orbital maintenance and control of spacecraft fly-around with finite-thrust［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2007，33(7):757-760.

［5］楊維廉.基于軌道攝動(dòng)解的衛(wèi)星編隊(duì)飛行［J］.宇航學(xué)報(bào)，2008，29(4):1166-1171.YANG W L.Formation flying based on orbit perturbation solution ［J］.Journal of Astronautics，2008，29(4):1166-1171.

［6］吳會(huì)英，陳宏宇，余勇，等.遠(yuǎn)距離軌道接近及繞飛控制技術(shù)研究［J］.中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)，2010，30(1):25-33.WU H Y，CHEN H Y，YU Y，et al.Study of long-distance approaching and companion flying technology［J］.Chinese Space Science and Technology，2010，30(1):25-33.

［7］吳會(huì)英，陳宏宇，周美江，等.伴隨衛(wèi)星軌控時(shí)機(jī)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓大小控制效率的關(guān)系［J］.載人航天，2013，19(5):90-96.WU H Y，CHEN H Y，ZHOU M J，et al.Research on relation between orbit control time and control efficiency of company satellites［J］.Manned Spaceflight，2013，19(5):90-96.