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        二面角平面角的幾種求法

        2014-04-29 00:00:00呂秀娟
        中國校外教育(中旬) 2014年3期

        介紹了二面角,二面角的平面角的定義和二者的關(guān)系,三垂線定理及其逆定理,并重點給出了求二面角平面角的六種方法。

        立體幾何二面角平面角求法空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容,在面面關(guān)系中,二面角是其中的主要概念之一,它的計算歸結(jié)為平面角的計算.一般來說,對其平面角的定位是問題解決的先決一步,由于二面角的平面角是由一點和兩條射線構(gòu)成,所以二面角的平面角的定位可化歸為“定點”“定線”或“定面”的問題,在做題時只需分別找“點”“垂線”或“垂面”.事實上,只要找到其中一個,另外兩個就會接踵而來,掌握這一點對提高解題技能和培養(yǎng)空間想象力非常重要。

        一、預備知識

        平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分,其中的每一部分都叫做半平面,從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形,叫做二面角。(這條直線叫做二面角的棱,每個半平面叫做二面角的面)。

        以二面角的棱上任意一點為端點,在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所組成的角叫做二面角的平面角。

        二面角的大小就是用它的平面角來度量,二面角的平面角的數(shù)值大小就等于二面角的大小。

        定理1(三垂線定理):在平面內(nèi)的一條直線,如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直。

        定理2(三垂線定理的逆定理):在平面內(nèi)的一條直線,如果它和這個平面的一條斜線垂直,那么它也和這條直線在平面內(nèi)的射影垂直。

        二、二面角平面角的大小的求法

        1.定義法

        在二面角的棱上找一特殊點,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的垂線,如圖1所示。用定義法求二面角的平面角時,首先需要根據(jù)二面角的定義把它轉(zhuǎn)化為平面角,然后把這個平面角置于一個三角形中,通過解三角形求二面角,其基本的解題步驟為“一作,二證,三求”。

        2.垂射線法即垂面法過棱上一點作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個半平面的交線組成的角即為二面角的平面角,如圖2所示,∠AOB為二面角的平面角。

        二面角一般都是在兩個半平面的相交線上,取恰當?shù)狞c(通常是端點或中點),過這個點分別在兩平面做相交線的垂線,然后把兩條垂線放到一個三角形中考慮。有時也經(jīng)常做兩垂線的平行線,使它們在一個更理想的三角形中。

        3.小結(jié)

        (1)用垂射線法求二面角即在棱上取一點,然后分別在二面角的兩個面內(nèi)作(找)棱的垂線;

        (2)若等腰三角形的底邊在棱上,則取底邊中點,因底邊上的中線垂直于底邊,從而獲得與棱垂直的直線;

        (3)其基本的解題步驟為一作(或找),二證,三求,四答。

        4.射影面積公式法

        設(shè)θ是兩個平面所組成的二面角的平面角,S射影是二面角的一個平面所在的平面圖形在另一平面內(nèi)的射影圖形的面積,S斜是這個平面圖形的面積,則cosθ=S射影S斜,如圖3所示,S斜=SΔPAB,S射影=SΔAOB,PO⊥平面,O為垂足。

        射影面積公式法適用于斜面和射影面的面積易求的立體幾何題中,可省去作、證二面角的平面角的過程。

        5.三垂線定理及其逆定理法由一個半平面內(nèi)異于棱上的一點A向另一個半平面作垂線,垂足為B。再由B向二面角的棱作垂線,垂足為O,連接AO,則∠AOB即為二面角的平面角,如圖4所示。小結(jié):利用三垂線定理求二面角的平面角的大小是利用傳統(tǒng)的純幾何綜合推理方法解決,但有些題目是比較難以找出所求的二面角的平面角的。

        6.向量法

        利用平面的法向量可求二面角。如圖5所示,θ表示欲求的二面角-l-β的平面角,又設(shè)n1,n2分別是平面,β的法向量,這兩個法向量的方向應該是這樣配備的:當或β半平面繞著棱l轉(zhuǎn)動到與另一半平面重合時,這兩個向量的方向應當一致。在滿足這些條件之下,有cosθ=n1#8226;n2n1n2,這里需要注意的是如果兩個法向量都是垂直平面,指向平面內(nèi),所求兩平面的夾角就是π-θ。若在幾何體中容易建立空間直角坐標系,可考慮運用向量法坐標運算計算二面角的平面角,本題方法二是求出二面角平面角的兩邊的方向向量,然后用向量夾角公式求解,方法一是先求二面角的兩個面的法向量,兩個法向量的夾角與二面角的平面角的大小相等或互補,因此要結(jié)合具體圖形及法向量的方向而定。

        7.公式法

        如圖6所示,在空間四邊形ABCD 中,∠BAC=90°,∠BAD=90°,記∠ABC=θ1, ∠DBC=θ2,∠ABD=θ3,二面角C-AB-D的平面角為∠CAD,記作θ,則cosθ=cosθ2-cosθ1#8226;cosθ3sinθ1sinθ3。(上接第37頁)小結(jié):在求二面角的平面角的大小,遇到多角度或角度易求的題時,此方法比較簡單,可避免找、證二面角的平面角及判斷二面角的大小問題。

        三、結(jié)束語

        空間的二面角是平面幾何中角的概念在空間中的拓廣,其計算與度量體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想:空間角轉(zhuǎn)化為平面角或轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角。歸納總結(jié)并通過一些例子列舉了二面角平面角的大小的六種方法,但它的求法也絕不限于此,其他更簡捷的方法有待進一步深入研究。

        參考文獻:

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