近日，筆者接到一個(gè)公開課的任務(wù)，課題是“一次函數(shù)的復(fù)習(xí)課”. 由于復(fù)習(xí)課本身就難上，加之知識(shí)點(diǎn)多，應(yīng)用問題又難于理解，學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)的過程中也積壓了一些問題，需要通過復(fù)習(xí)來解決，所以如何尋求一個(gè)合適的切入點(diǎn)實(shí)在頗費(fèi)思量. 思來想去，筆者決定從一次函數(shù)數(shù)形結(jié)合的特征入手，引導(dǎo)學(xué)生觀察、理解一次函數(shù)的圖像特征，并利用圖像提供的信息解決實(shí)際問題. 其中主要采用人教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第十九章“一次函數(shù)”章末一道復(fù)習(xí)題及其變式進(jìn)行教學(xué)，取得了不錯(cuò)的教學(xué)效果.

一、課本原題

原題 一個(gè)有進(jìn)水管與出水管的容器，從某時(shí)刻開始的4分內(nèi)只進(jìn)水不出水，在隨后的8分內(nèi)既進(jìn)水又出水，每分的進(jìn)水量和出水量是兩個(gè)常數(shù)，容器內(nèi)的水量y（單位：升）與時(shí)間x（單位：分）之間的關(guān)系如圖所示.

（1）當(dāng)0 ≤ x ≤ 4時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)4 < x ≤ 12時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）每分進(jìn)水、出水各多少升？

分析 本題是一個(gè)一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題.

函數(shù)的圖像反映的是容器內(nèi)的存水量與時(shí)間的關(guān)系.要解決題目提出的問題，只要分兩段設(shè)出函數(shù)的關(guān)系式，用待定系數(shù)法可求函數(shù)關(guān)系式，至于每分鐘的進(jìn)水量、出水量由圖像不難算出.

二、變式練習(xí)

1. 變 式

一個(gè)有進(jìn)水管與出水管的容器，從某時(shí)刻開始的4分內(nèi)只進(jìn)水不出水，在隨后的8分內(nèi)既進(jìn)水又出水，每分的進(jìn)水量和出水量是兩個(gè)常數(shù)，容器內(nèi)的水量y（單位：升）與時(shí)間x（單位：分）之間的關(guān)系如圖所示.

（1）如圖1， 求每分進(jìn)水、出水各多少升？

（2）如圖2.

① 求每分進(jìn)水、出水各多少升？

② 若使容器內(nèi)的水不少于15升，求時(shí)間x的取值范圍.

（3）如圖3.

① 求每分進(jìn)水、出水各多少升？

② 若使容器內(nèi)的水不足15升，求時(shí)間x的取值范圍.

變式說明：變式中沒有改變?cè)}目的表述，只是要求按照所給的圖像，結(jié)合題目的意思解決相應(yīng)的問題. 圖1中，第4到第12分，容器內(nèi)的水保持不變，說明出水管的出水速度與進(jìn)水管的進(jìn)水速度相等；圖2中，第12分容器內(nèi)的水為0，說明出水管8分的出水量與進(jìn)水管12分內(nèi)的進(jìn)水量相等；圖3 中，觀察圖像可知，在打開進(jìn)水管前，容器內(nèi)已有10升的水. 由于有原題的啟示，圖2、圖3中兩條線段的函數(shù)表達(dá)式并不難求出，只需求出容器內(nèi)的水等于15升時(shí)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間，并理解“不足”“不少于”的表達(dá)在圖像上所反映的意義，即可解決以上問題.

在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生在透徹理解題目后，對(duì)出水管的每分鐘出水量的計(jì)算還給出了多種解法. 以圖2為例，主要有：

解法1 設(shè)每分出水x升，8分的出水量等于12分的進(jìn)水量，則

8x = 12 × 5，x = ■（升）.

解法2 在第4分到第12分每分鐘實(shí)際出水量為：■ = ■，所以每分出水量為5 + ■ = ■（升）.

解法3 假設(shè)沒有出水管，12分進(jìn)水60升，實(shí)際在后8分將水放完，所以每分出水量應(yīng)為■ = ■（升）.

2. 拓展練習(xí)1

一個(gè)有進(jìn)水管與出水管的容器，從某時(shí)刻開始的3分內(nèi)只進(jìn)水不出水，在隨后的9分內(nèi)既進(jìn)水又出水，每分的進(jìn)水量和出水量都是常數(shù). 容器內(nèi)的水量y（單位：升）與時(shí)間x（單位：分）之間的關(guān)系如圖1所示. 當(dāng)容器內(nèi)的水量大于5升時(shí)，求時(shí)間x的取值范圍.

解析 這是2013年廈門市中考的第22題，本質(zhì)上與變式練習(xí)的第（2）題是一樣的.

再看另一道類似的題.

拓展練習(xí)2 某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥，在試驗(yàn)藥效時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥后2小時(shí)血液中含藥量最高，達(dá)每毫升6微克，接著逐步衰減，10小時(shí)血液中含藥量為每毫升3微克，每毫升血液中含藥量y微克隨時(shí)間x小時(shí)的變化如上圖2所示，當(dāng)成人按規(guī)定劑量服藥后，

（1）分別求出x ≤ 2和 x ≥ 2時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果每毫升血液中含藥量為4微克或4微克以上時(shí)在治療疾病時(shí)是有效的，那么這個(gè)有效時(shí)間是多長(zhǎng)？

解析 本題的第（1）題不難理解，分段用待定系數(shù)法即可解決；但第（2）題更進(jìn)一步，要求學(xué)生理解有效時(shí)間如何計(jì)算. 如果能借助圖像及一次函數(shù)的增減性，問題將易于解決.

三、反 思

1. 復(fù)習(xí)課應(yīng)找準(zhǔn)切入點(diǎn)，以點(diǎn)帶面

作為復(fù)習(xí)課，切忌面面俱到，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，找準(zhǔn)教學(xué)的切入點(diǎn)，以點(diǎn)帶面，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，將知識(shí)連成線，形成知識(shí)體系，從整體上對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行梳理，以解決學(xué)生存在的實(shí)際問題.本節(jié)復(fù)習(xí)課筆者先快速對(duì)一次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí)、歸納，突出一次函數(shù)的兩種表示方法：解析式法和圖像法，并強(qiáng)調(diào)兩種表示方法之間的聯(lián)系，接著用如下例題引入一次函數(shù)的數(shù)和形兩個(gè)方面特征的應(yīng)用.

例 畫函數(shù)y = ■x + 3的圖像，并利用圖像回答問題.

（1）當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)值y < 0？

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)值y > 3？

（3）當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)的圖像在第二象限？

本例題的設(shè)計(jì)意在引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)一次函數(shù)的作圖，能通過觀察函數(shù)的圖像解決數(shù)學(xué)問題，為接下來的實(shí)際應(yīng)用做鋪墊.

2.充分利用變式題組，激發(fā)學(xué)生思維活力

由于筆者在設(shè)計(jì)上重在學(xué)生通過觀察圖像、理解圖像并利用圖像提供的信息解決實(shí)際應(yīng)用問題，所以借用課本原題并加以變式，啟迪學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的能力. 原題中的第（1）、（2）兩問目的在于復(fù)習(xí)已知兩點(diǎn)，即可求函數(shù)的解析式，第（3）問須觀察并應(yīng)用圖像信息解決問題. 在教學(xué)過程中，學(xué)生積極思考，踴躍發(fā)言，思維非常活躍，見解異彩紛呈. 當(dāng)進(jìn)行變式練習(xí)時(shí)，筆者首先展現(xiàn)的是圖像的變化，學(xué)生觀察圖像并回答每分進(jìn)水、出水各多少升. 從圖2開始，同學(xué)們根據(jù)圖像提供的信息，分別給出不同的解法. 有的用方程的思想考慮問題，有的用算術(shù)的方法思考問題，有的用整體思想思考問題. 至此，第一層面的要求已經(jīng)達(dá)到. 筆者趁熱打鐵，適時(shí)拋出第二層面的問題，分別問若使容器內(nèi)的水不少于15升及若使容器內(nèi)的水不足15升，求時(shí)間x的取值范圍. 很快就有同學(xué)舉手示意有了思路，這時(shí)筆者有意放慢節(jié)奏，使更多的同學(xué)有足夠的時(shí)間思考，讓程度一般的同學(xué)來解答這些問題. 通過學(xué)生的討論，教師啟發(fā)，當(dāng)程度一般的同學(xué)完整、準(zhǔn)確地回答出問題的解答時(shí)，全班同學(xué)報(bào)以熱烈的掌聲. 課進(jìn)行到此，同學(xué)們對(duì)此類圖像信息題的解答充滿信心，很有自信. 于是，筆者不失時(shí)機(jī)地再拋出兩個(gè)拓展練習(xí)加以應(yīng)用. 部分學(xué)生在做拓展練習(xí)2第（2）小題時(shí)，還有些問題，經(jīng)過討論、糾正后，學(xué)生意猶未盡地結(jié)束了本節(jié)復(fù)習(xí)課的學(xué)習(xí).

在整個(gè)教學(xué)過程中，學(xué)生認(rèn)真思考，積極參與，取得了不錯(cuò)的教學(xué)效果. 學(xué)生的思維跟隨題目的變式而拓展，學(xué)生的思考隨著變式的題目而深入，原本覺得函數(shù)應(yīng)用題很難的同學(xué)也克服了心理障礙，跟隨課堂的節(jié)奏，順利解答了問題，發(fā)現(xiàn)了自身的潛力. 這種由淺入深，由易到難，層層遞進(jìn)的復(fù)習(xí)教學(xué)激活了學(xué)生思緒，提高了學(xué)生解決問題的能力，還增強(qiáng)了學(xué)生克服困難的勇氣和信心.

3. 加強(qiáng)教學(xué)研究與設(shè)計(jì)，提高復(fù)習(xí)課的效率

復(fù)習(xí)課之所以難上，主要在于復(fù)習(xí)內(nèi)容對(duì)學(xué)生而言缺乏新鮮感，復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)雜而亂，有些內(nèi)容比較瑣碎.加上老師若在教學(xué)設(shè)計(jì)上缺乏新意，只是把所學(xué)內(nèi)容簡(jiǎn)單羅列，重復(fù)再現(xiàn)，學(xué)生提不起學(xué)習(xí)的興趣，課堂氣氛也就難以調(diào)動(dòng)，復(fù)習(xí)效果便大打折扣. 要改變這種狀況，就必須加強(qiáng)對(duì)復(fù)習(xí)課的研究，有針對(duì)性地歸類復(fù)習(xí)，將一章的復(fù)習(xí)內(nèi)容整合歸類，每節(jié)復(fù)習(xí)課側(cè)重一個(gè)方面提綱挈領(lǐng)地復(fù)習(xí). 如這節(jié)變式復(fù)習(xí)教學(xué)，就是依據(jù)這一指導(dǎo)思想，達(dá)到由點(diǎn)到面的突破. 所以，針對(duì)所任教班級(jí)學(xué)生知識(shí)掌握的情況和學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，充分挖掘課本資源進(jìn)行變式教學(xué)，注重變式設(shè)計(jì)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的思維活力，提高學(xué)生課堂參與度，讓學(xué)生的思緒始終圍繞學(xué)習(xí)內(nèi)容，多思考，多總結(jié)，學(xué)生就會(huì)喜歡上復(fù)習(xí)課，復(fù)習(xí)課的課堂效率自然就會(huì)提高.