一、整體代入

有些問題，如果孤立地利用條件，問題雖然可以得到解決，但解題過程比較復(fù)雜，如果把一些組合式子看成一個(gè)“整體”，并把它直接代入另一式，以避免局部運(yùn)算的麻煩和困難，這就是整體代入.

例1 當(dāng)x = 1時(shí)，代數(shù)式px3 + qx + 1的值是2014，則當(dāng)x = -1時(shí)，代數(shù)式px3 + qx + 1的值是 .

分析 對(duì)于此題，若想分別求p和q的值，這是不必要的，也不可能. 由題設(shè)得p + q + 1 = 2014，如果我們視p + q為一個(gè)整體，則有p + q = 2013，于是，當(dāng)x = -1時(shí)，有px3 + qx + 1 = -p - q + 1 = 1 - （p + q） = 1 - 2013 = -2012.

二、整體換元

整體換元是用新的元去代替已知或已知式的某一部分，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的.

例2 解方程■2 + 5■ + 6 = 0.

分析 如果先將括號(hào)展開，題目就難解了. 根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征，把■看作整體y，則原方程轉(zhuǎn)化為y2 + 5y + 6 = 0，解得y1 = -3，y2 = -2，當(dāng)y1 = -3時(shí)，■ = -3，解得x1 = -■；當(dāng)y2 = -2時(shí)，■ = -2，解得x2 = -■. 經(jīng)檢驗(yàn)x1 = -■，x2 = -■均為原方程的根.

三、整體構(gòu)造

整體構(gòu)造就是根據(jù)已知條件和所求，整體構(gòu)造相應(yīng)的式子，通過對(duì)兩個(gè)式子的聯(lián)合研究來解決問題.

例3 已知a，b為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足a2 = 1 - 2a，b2 = 1 - 2b，求■ + ■的值.

分析 根據(jù)常規(guī)，習(xí)慣于先求出a，b，這需分四種情況討論，運(yùn)算較繁，且容易出錯(cuò). 若能整體把握■ + ■ = ■ = ■，只需求出a + b與ab，易聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系. 本題可構(gòu)造出以a，b為兩實(shí)數(shù)根的一元二次方程x2 + 2x - 1 = 0，∴ a + b = -2，ab = -1，■ + ■ = ■ = -6.

四、整體求解

整體求解是將問題中的某些局部計(jì)算作整體求解，從而達(dá)到簡(jiǎn)化問題和減少計(jì)算量的目的.

例4 有大、小兩種貨車，2輛大車和3輛小車一次可以運(yùn)貨15.5噸，5輛大車與6輛小車一次可以運(yùn)貨35噸，求3輛大車與5輛小車一次可以運(yùn)貨多少噸？

分析 設(shè)一輛大車與一輛小車一次可以各運(yùn)貨 x 噸、y噸，則有2x + 3y = 15.5…①，5x + 6y = 35…②， 然后用常規(guī)方法解得x 與y 的值，再代入下一步作答，非常煩瑣. 簡(jiǎn)便解法： 由題意，可得2x + 3y = 15.5…①，5x + 6y = 35…②，①×7 - ②，得9x + 15y = 73.5，從而就有3x + 5y = 24.5.

五、整體補(bǔ)形

整體補(bǔ)形是從圖形的整體性角度出發(fā)，將問題中不完整的圖形補(bǔ)為完整的圖形，從而利用圖形的整體性質(zhì)使問題巧妙獲解. 從整體補(bǔ)形的角度去思考問題，巧妙添加輔助線，從而導(dǎo)致解題方向明朗化.

例5 如圖1，AB = 4，DB⊥AB，EA⊥AB，DB = 3，EA = 6，又點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，求BM的長(zhǎng).

分析 由已知條件可以聯(lián)想到平行四邊形，故延長(zhǎng)DB到F，使DF = EA = 6，連接EF，AD，由AE⊥AB，DB⊥AB，得AE∥DB，∴四邊形ADFE為平行四邊形. 在Rt△ABD中，AD = ■ = 5. ∴ EF = AD = 5. 由中位線定理得BM = ■EF = ■ .

六、化零為整

化零為整就是化部分為整體，避免分散計(jì)算. 在很多幾何題中，如果把所求部分進(jìn)行單個(gè)計(jì)算，有時(shí)不能使問題獲解，只有把所有部分看作一個(gè)整體進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，才能得出結(jié)論.

例6 如圖2，⊙A，⊙B，⊙C兩兩不相交且半徑都為0.5厘米，則圖中陰影部分的面積為________.

分析 由于各個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)均未知，從而不能分別求各個(gè)扇形的面積. 為此，將三個(gè)陰影部分整體考慮，注意到三角形內(nèi)角和為180°，所以三個(gè)扇形的圓心角的和為180°，又因?yàn)楦鱾€(gè)扇形的半徑相等，所以陰影部分的面積為半徑為0.5厘米的圓的面積的一半，即■ × π × 0.52 = ■（平方厘米）.

七、 應(yīng)用題中的整體思想

我們?cè)谘芯坑嘘P(guān)應(yīng)用題時(shí)，如果能從大處著眼，從整體入手，往往可化繁為簡(jiǎn)，思路明晰.

例7 甲、乙兩人從相距100千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走4千米，甲帶了一只小狗，狗每小時(shí)跑10千米，小狗隨甲同時(shí)出發(fā)，向乙跑去；當(dāng)它遇到乙后，就立即回頭向甲跑去；遇到甲后，就立即回頭向乙跑去，直到甲、乙兩人相遇狗才停住. 求這條狗一共跑了多少路.

分析 本題如按常規(guī)解法，考慮“狗”的行程，不僅圖無法畫出，且容易導(dǎo)致思路曲折復(fù)雜，無從下手.如果我們借助“整體思想”則輕而易舉：要求狗的行程，已知狗的速度，只需知道狗奔跑的時(shí)間；而這時(shí)間也恰是甲、乙二人走完全程所用的時(shí)間，而求甲、乙二人走完全程所用的時(shí)間則變成一個(gè)相當(dāng)簡(jiǎn)單的相遇問題. 如果設(shè)甲、乙兩人從出發(fā)到相遇所用時(shí)間為x小時(shí)，根據(jù)題意列方程：6x + 4x = 100，解之得x = 10 ，因此狗以10千米/時(shí)的速度跑了10小時(shí)，則它一共跑了10 × 10 = 100（千米）.

當(dāng)然，整體思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用還涉及其他的各種題型. 有了整體思想的意識(shí)，從整體上去認(rèn)識(shí)問題、思考問題，常常能化繁為簡(jiǎn)、變難為易，同時(shí)又能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性. 靈活恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用整體思想，往往能幫我們走出困境，走向成功.