【摘要】 數(shù)學(xué)理解是指對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法及有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的背景等的理解. 也就是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，只有當(dāng)這部分知識(shí)已被學(xué)生接受，并成為學(xué)生自身知識(shí)體系的一部分時(shí)，那才是數(shù)學(xué)理解. 我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)理解是指學(xué)習(xí)者聯(lián)系自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的外部表征，并構(gòu)建相應(yīng)的心理表象，然后經(jīng)過(guò)思維加工，打破原有的認(rèn)知平衡，將數(shù)學(xué)對(duì)象的心理表象重新加以解釋，重新建構(gòu)其意義，從而把新的學(xué)習(xí)內(nèi)容納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征和規(guī)律的一種思維活動(dòng).

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)理解；材料；體驗(yàn)

數(shù)學(xué)理解是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法和有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)背景的理解. 通過(guò)閱讀《為理解而教學(xué)》《試論數(shù)學(xué)理解的兩種類型》《數(shù)學(xué)認(rèn)知理解的研究綜述》和《對(duì)數(shù)學(xué)理解的再認(rèn)識(shí)》，我對(duì)什么是數(shù)學(xué)理解有了新認(rèn)識(shí)，理解是在新的場(chǎng)景中靈活運(yùn)用理論和概念的能力. 數(shù)學(xué)理解就是指學(xué)生在已有數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，建立知識(shí)的恰當(dāng)心理表征，逐步形成豐富的、融會(huì)貫通的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的思維過(guò)程. 理解有兩種模式：工具性理解和關(guān)系性理解. 所謂工具性理解就是學(xué)生知道概念、公式等是什么，知道怎樣做；關(guān)系性理解就是指知道概念、公式的由來(lái)，知道新知識(shí)與原有知識(shí)的關(guān)系，并能把它納入到原有的知識(shí)體系中，構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，也就是我們常說(shuō)的不但要讓學(xué)生“知其然，還要知其所以然”.

結(jié)合《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年）》將教學(xué)目標(biāo)分為：了解、理解、掌握、應(yīng)用四個(gè)層次. 理解作為一個(gè)層次被解釋為：對(duì)概念和規(guī)律不僅能夠說(shuō)出是什么，而且能夠知道它是怎么得出來(lái)的，它與其他概念之間的聯(lián)系，有什么用途. 我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)理解是指學(xué)習(xí)者聯(lián)系自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的外部表征，并構(gòu)建相應(yīng)的心理表象，然后經(jīng)過(guò)思維加工，打破原有的認(rèn)知平衡，將數(shù)學(xué)對(duì)象的心理表象重新加以解釋，重新建構(gòu)其意義，從而把新的學(xué)習(xí)內(nèi)容納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征和規(guī)律的一種思維活動(dòng).

一、對(duì)理解的維度和水平的認(rèn)知和運(yùn)用

概念是形成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基本要素，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的核心，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基石. 正確地理解、掌握數(shù)學(xué)概念更是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提和保障，有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)中形成完整的、清晰的、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系. 為了更好的將數(shù)學(xué)理解的相關(guān)理論運(yùn)用到教學(xué)之中，嘗試著用一節(jié)北師大版五年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)”一課進(jìn)行實(shí)踐與理解，因?yàn)椤胺謹(jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)”是一節(jié)概念教學(xué)的課，可以非常清晰地將數(shù)學(xué)理解展現(xiàn)出來(lái).

美國(guó)課程研究專家威金斯和麥克泰伊將理解劃分為六個(gè)維度——解釋、釋義、應(yīng)用、洞察、移情和自知. 理解的八個(gè)水平：事實(shí)、計(jì)算、聯(lián)系、分辨、表達(dá)、轉(zhuǎn)化、推理、應(yīng)用，基于對(duì)分?jǐn)?shù)理解深度剖析，將分?jǐn)?shù)的認(rèn)知水平和維度進(jìn)行了劃分. 沒(méi)有實(shí)踐的理論是空虛的，沒(méi)有理論的實(shí)踐是盲目的. 要上好一節(jié)課、研究好一節(jié)課，需要理論的指導(dǎo)，理論指導(dǎo)維度的研究是希望理論能夠直接指導(dǎo)課堂教學(xué)實(shí)踐，也包括能夠使課堂教學(xué)實(shí)踐操作具有理論背景. 這個(gè)維度的研究中，除了一般的教育學(xué)、心理學(xué)的理論對(duì)這節(jié)課的全部或局部進(jìn)行指導(dǎo)外，主要研究應(yīng)用數(shù)學(xué)教育理論設(shè)計(jì)或解釋整節(jié)課或某一環(huán)節(jié). 特別是萊什提出的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的五種表征轉(zhuǎn)化對(duì)數(shù)學(xué)概念理解的意義和作用.

表征轉(zhuǎn)化過(guò)程的框架是：操作模式、實(shí)際生活情景、文字符號(hào)、口語(yǔ)符號(hào)、圖像（靜態(tài)的形象模式）之間的相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程，互相影響. 上述多元表征及相互轉(zhuǎn)化還可以作為概念理解的評(píng)價(jià)框架. 當(dāng)我們說(shuō)學(xué)生理解了數(shù)學(xué)概念時(shí)，在一定程度上是指他和他能夠理解與概念有關(guān)的多種不同的表述. 我們把這一理論用于“分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)”教學(xué)中并設(shè)計(jì)了教學(xué)過(guò)程.

二、依托對(duì)教材的橫、縱向梳理選擇教學(xué)路徑

我發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)這一概念可以從比率、運(yùn)作、商、度量四個(gè)方面理解整體和部分之間的關(guān)系，這四個(gè)路徑可以解決等值分?jǐn)?shù)、乘法、解決問(wèn)題、加法等維度為切入點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)如果在一節(jié)課上，將分?jǐn)?shù)的所有路徑都走到、體驗(yàn)到是不可能的，應(yīng)該根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況和已有的經(jīng)驗(yàn)有目的地選擇路徑，而且分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)不是一兩節(jié)課所能完成的事情，這應(yīng)是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，學(xué)生在六年級(jí)學(xué)習(xí)完比的認(rèn)識(shí)后，才是分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的完成，所以在課堂上我選擇的是走比率和運(yùn)作這兩條路徑來(lái)幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù).

我的教學(xué)流程如下：猜測(cè)口香糖的數(shù)量；找1張紙的■；找2張紙的■，理解部分與整體的關(guān)系；畫圖表示部分和整體的關(guān)系；用分?jǐn)?shù)的理解解決口香糖數(shù)量的問(wèn)題；梳理、鞏固部分和整體的關(guān)系，區(qū)分量率.

三、深入思考并挖掘問(wèn)題背后更深的因素

（一）材料的豐富性

在小學(xué)階段，兒童掌握分?jǐn)?shù)的概念感覺(jué)并不太難，但奇怪的是，為什么常常有中學(xué)生還不理解分?jǐn)?shù)？事實(shí)上，真正理解分?jǐn)?shù)絕不那么簡(jiǎn)單，因?yàn)閷?duì)分?jǐn)?shù)應(yīng)有多維、多元的理解. 例如■，它只是代表分?jǐn)?shù)概念的符號(hào)或者語(yǔ)言. 一般說(shuō)來(lái)，只有學(xué)生經(jīng)歷并體驗(yàn)了把一個(gè)整體平均分為幾個(gè)部分，所關(guān)注的部分與整體之間的關(guān)系可以用一個(gè)新的數(shù)來(lái)表示之后，才可以給出分?jǐn)?shù)的符號(hào)表示，并建立行為與符號(hào)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. 只有經(jīng)歷這樣的過(guò)程，學(xué)生才能逐步地理解分?jǐn)?shù)概念. 在分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)的過(guò)程中，一個(gè)非常重要的轉(zhuǎn)化過(guò)程，就是幫助學(xué)生將離散的量轉(zhuǎn)化成單一的量，從學(xué)生關(guān)注數(shù)量到關(guān)注整體，關(guān)注分?jǐn)?shù)，關(guān)注關(guān)系. 現(xiàn)在感覺(jué)分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)對(duì)于學(xué)生而言是件難事. 再有，分?jǐn)?shù)的單位“1”也就是整體，應(yīng)給學(xué)生提供多樣性的，例如：平面的圖像、立體的圖形、點(diǎn)子圖、大小一樣的和大小不一樣的、可以拼接的和不可以拼接的……讓學(xué)生充分感受分?jǐn)?shù)整體的豐富性，單位“1”的單一化到單位“1”的多元化，都可以轉(zhuǎn)化成單一的量. 看成一個(gè)整體，更有利于理解“部分—整體”之間的關(guān)系.

（二）分?jǐn)?shù)的含義需要借助多種直觀模型理解

在小學(xué)階段主要學(xué)習(xí)“行為的分?jǐn)?shù)”. 教材中往往以學(xué)生熟悉的日常事物與活動(dòng)為模型，建立分?jǐn)?shù)的概念，例如我的課堂中是借助口香糖、紙條、圖片.

面積模型：用紙條面積來(lái)理解“部分—整體”之間的關(guān)系. 本節(jié)課我是讓學(xué)生借助長(zhǎng)方形紙條模型來(lái)理解“部分—整體”，取其中的一份或幾份（涂上陰影）認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，這些直觀模型即為分?jǐn)?shù)的面積模型. 因?yàn)閷?duì)于平均分學(xué)生有豐富的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)他們認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的面積模型，從“部分—整體”的角度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)顯得直觀且必要. 但對(duì)于分?jǐn)?shù)的面積模型，在我的課堂教學(xué)中，也發(fā)現(xiàn)一些問(wèn)題：（1）學(xué)生習(xí)慣于由圖形語(yǔ)言到符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)的轉(zhuǎn)換，但符號(hào)和圖形語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化顯得很困難，從而造成了對(duì)“部分—整體”之間的關(guān)系理解不到位. （2）紙條作為面積模型顯得很單一，不能讓學(xué)生體會(huì)到關(guān)于分?jǐn)?shù)單位“1”的豐富性.（3）我設(shè)計(jì)的課缺失了用集合來(lái)表示分?jǐn)?shù). 有研究者認(rèn)為：這也是“部分—整體”的一種形式，與分?jǐn)?shù)的面積模型聯(lián)系密切，甚至幾乎沒(méi)有區(qū)別，但學(xué)生在理解上難度更大. 關(guān)鍵是“整體1”不再真正是一個(gè)整體，而是把幾個(gè)物體看作“一個(gè)整體”，作為一個(gè)“單位”，所取的一份也不是一個(gè)，可能是幾個(gè)作為一份. 學(xué)生對(duì)離散量的集合的“部分—整體”的理解不如對(duì)“面積模型”的理解，這也說(shuō)明學(xué)生為什么從分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)中，從關(guān)注數(shù)量到關(guān)注份數(shù)這一跳躍顯得如此困難.

綜上所述，在“分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)”一課中，學(xué)生有效地理解分?jǐn)?shù)，理解“部分—整體”之間的關(guān)系，應(yīng)采取多種模型的支撐.

（三）體驗(yàn)學(xué)習(xí)在教學(xué)中的作用

從教育學(xué)的角度看，體驗(yàn)是指學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)教材內(nèi)容內(nèi)化后，在特定的教育情境中內(nèi)心反省、內(nèi)在反應(yīng)或內(nèi)在感受. 感悟是在認(rèn)知、理解、體驗(yàn)基礎(chǔ)上的自我覺(jué)醒，是人對(duì)生活意義的內(nèi)在追問(wèn). 從心理學(xué)的角度看，感悟既有感性認(rèn)識(shí)的成分，又有情感的成分，既是認(rèn)識(shí)的過(guò)程，又是實(shí)踐的過(guò)程. 感悟的核心是人的自我意識(shí)的覺(jué)醒.

在這節(jié)課的設(shè)計(jì)過(guò)程中，我們不斷地在給學(xué)生提供體驗(yàn)和思考的機(jī)會(huì)和空間，給學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦的時(shí)間和空間，但上完此節(jié)課后，我深入地思考后發(fā)現(xiàn)，正是因?yàn)榻虒W(xué)中有了找一張紙的■這一環(huán)節(jié)，才使后面找2張紙的■，120朵花的■，學(xué)生順理成章的都把離散的量轉(zhuǎn)換成連續(xù)單一的量，表面上看學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化，對(duì)分?jǐn)?shù)加深了理解，殊不知，就是因?yàn)檫@小小的環(huán)節(jié)，掩蓋了學(xué)生多少思考、解決的過(guò)程，我們?nèi)藶榈貟咔辶藢W(xué)生在認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)過(guò)程中思維成長(zhǎng)上的障礙、阻力和困難，學(xué)生在這一過(guò)程中失去了體驗(yàn)和思考的價(jià)值. 所以，學(xué)生要做什么才能達(dá)到學(xué)習(xí)的目的，才能達(dá)到數(shù)學(xué)理解，數(shù)學(xué)教學(xué)中，要選擇好適當(dāng)?shù)穆窂胶瓦m當(dāng)體驗(yàn)操作環(huán)節(jié).數(shù)學(xué)概念理解課堂的整體思路：循序漸進(jìn)，提出挑戰(zhàn)性問(wèn)題，不是讓學(xué)生看明白到明白，而是讓學(xué)生經(jīng)歷了到明白，讓學(xué)生經(jīng)歷過(guò)程，給學(xué)生空間的大小和引導(dǎo)的時(shí)機(jī)決定學(xué)生能走多遠(yuǎn)，學(xué)生走多遠(yuǎn)，也就意味著學(xué)生理解得有多深. 這樣的數(shù)學(xué)理解給學(xué)生帶來(lái)的才是巨大的變化.

綜上所述，在教學(xué)中要從數(shù)學(xué)理解的理論出發(fā)，關(guān)注學(xué)生理解的維度和水平，在實(shí)際的教學(xué)中，我們教師要做一個(gè)理論和課堂設(shè)計(jì)的鋪路者，在課堂教學(xué)中讓學(xué)生成為一個(gè)自主學(xué)習(xí)的修路者.