【摘要】 從圖式建構(gòu)的視角對(duì)“正方形的概念與性質(zhì)”教學(xué)研究：通過(guò)研究特殊四邊形之間的演變，讓學(xué)生建構(gòu)平行四邊形、矩形、菱形和正方形的概念圖式；通過(guò)研究正方形的定義、性質(zhì)，讓學(xué)生建構(gòu)特殊四邊形的概念圖式的子圖式——“正方形的定義與性質(zhì)”的認(rèn)知圖式；通過(guò)研究正方形知識(shí)的應(yīng)用，讓學(xué)生建構(gòu)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的定義與性質(zhì)的認(rèn)知圖式.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)圖式；正方形的概念與性質(zhì)；同化的學(xué)習(xí)方式

正方形既是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形和菱形. 學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形的概念之后再來(lái)學(xué)習(xí)正方形，學(xué)生具有豐富的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，宜采用同化的學(xué)習(xí)方式來(lái)進(jìn)行教學(xué). 所謂同化的學(xué)習(xí)方式，是學(xué)習(xí)者原有認(rèn)知圖式吸收要學(xué)習(xí)的新知識(shí)并將它固定在原認(rèn)知圖式的適當(dāng)部位而形成新的認(rèn)知圖式的過(guò)程. 圖式是人腦中的知識(shí)單元、知識(shí)組塊和知識(shí)系統(tǒng)，包括核心概念與怎樣及何時(shí)應(yīng)用核心概念的知識(shí)之間的關(guān)系. 讓學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)圖式，可讓學(xué)生更明白知識(shí)的緣由，以及可以讓學(xué)生擁有更好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，因此對(duì)于學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力就更有效.筆者從圖式建構(gòu)的視角對(duì)“正方形的概念與性質(zhì)”進(jìn)行教學(xué)研究，供同行參考.

一、通過(guò)研究特殊四邊形之間的演變，讓學(xué)生建構(gòu)平行四邊形、矩形、菱形和正方形的概念圖式

學(xué)習(xí)“正方形的定義和性質(zhì)”的關(guān)鍵是激活平行四邊形、矩形、菱形的概念圖式.根據(jù)學(xué)生對(duì)平行四邊形、矩形、菱形之間關(guān)系的理解，以及對(duì)正方形概念的直觀經(jīng)驗(yàn)（生活中的和小學(xué)數(shù)學(xué)中的一些直觀描述），筆者設(shè)計(jì)下面的問(wèn)題1和問(wèn)題2讓學(xué)生思考.

問(wèn)題1 由前面幾節(jié)課我們知道，平行四邊形可以演變得到矩形和菱形，那么，平行四邊形、矩形和菱形是否可以通過(guò)演變得到正方形？如果平行四邊形、矩形和菱形分別可以通過(guò)演變得到正方形，那么請(qǐng)你用畫(huà)線的方式（帶箭頭）表示兩個(gè)圖形之間的關(guān)系，并在線上標(biāo)明其演變過(guò)程，同時(shí)在畫(huà)的過(guò)程中思考：正方形是否還具有原圖形的性質(zhì)？如果平行四邊形、矩形和菱形不能通過(guò)演變得到正方形，則請(qǐng)說(shuō)明理由.

先讓學(xué)生獨(dú)立思考，教師巡視或?qū)Π嗉?jí)個(gè)別同學(xué)指導(dǎo).當(dāng)看到大部分同學(xué)都有了自己的“成果”，于是請(qǐng)同學(xué)們?cè)谌嘟涣髯约旱难芯俊俺晒?，交流后師生共同歸納得到：

結(jié)論：因?yàn)檎叫问翘厥馄叫兴倪呅?，是特殊的矩形，是特殊的菱形，所以正方形還具有平行四邊形、矩形、菱形圖形的性質(zhì).

在此基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)提出問(wèn)題2讓學(xué)生探究.

問(wèn)題2 結(jié)合前面幾節(jié)課及剛才同學(xué)們的“研究成果”，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一幅“圖”來(lái)表示平行四邊形、矩形、菱形、正方形圖形之間的關(guān)系.

學(xué)生獨(dú)立設(shè)計(jì).在大部分同學(xué)完成的基礎(chǔ)上，教師用多媒體展示不同學(xué)生設(shè)計(jì)的“成果”，并讓學(xué)生討論設(shè)計(jì)中存在的問(wèn)題，譬如，學(xué)生設(shè)計(jì)中存在的問(wèn)題有：① 缺乏關(guān)系連接；② 結(jié)構(gòu)線條的箭頭指向不清晰等.在討論的基礎(chǔ)上，老師繼續(xù)讓學(xué)生完善自己設(shè)計(jì)的“作品”得到：

至此，通過(guò)問(wèn)題1和問(wèn)題2的解決及學(xué)生建構(gòu)特殊四邊形的概念圖式，學(xué)生已初步將正方形納入到原有的概念圖式之中，此時(shí)新舊知識(shí)通過(guò)相互作用建立起合理與實(shí)質(zhì)的聯(lián)系.

二、通過(guò)研究正方形的定義、性質(zhì)，讓學(xué)生建構(gòu)特殊四邊形的概念圖式的子圖式——“正方形的定義與性質(zhì)”的認(rèn)知圖式

學(xué)習(xí)是一個(gè)圖式獲得和完善的過(guò)程.圖式的形成是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，需要教師設(shè)計(jì)多樣化的學(xué)習(xí)活動(dòng)，多方位地豐富和完善圖式.接著，教師繼續(xù)提出下面的問(wèn)題3和問(wèn)題4，目的是讓學(xué)生構(gòu)建特殊四邊形圖式的子圖式——“正方形的定義、性質(zhì)”的認(rèn)知圖式.

問(wèn)題3 根據(jù)自己設(shè)計(jì)的“研究成果”，請(qǐng)你歸納出正方形的定義，并對(duì)比正方形與平行四邊形、矩形、菱形的定義，指出它們的聯(lián)系.

問(wèn)題4 對(duì)比矩形和菱形的性質(zhì)，請(qǐng)你寫(xiě)出正方形的性質(zhì).

先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再全班交流，在交流的基礎(chǔ)上，教師要求學(xué)生通過(guò)點(diǎn)、線加工，獨(dú)立構(gòu)建正方形定義與性質(zhì)的認(rèn)知圖式：

三、通過(guò)研究正方形知識(shí)的應(yīng)用，讓學(xué)生建構(gòu)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的定義與性質(zhì)的認(rèn)知圖式

問(wèn)題5 如圖1，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.

（1）圖中有多少個(gè)三角形？這些三角形有什么特點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）AB︰AO︰AC = __________.

問(wèn)題6 如圖2，正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，在BD上有一動(dòng)點(diǎn)P， PE⊥AB， PF⊥AD， 垂足分別為E，F(xiàn)，試指出△EOF的形狀并給予證明.

問(wèn)題7 請(qǐng)你將平行四邊形、矩形、菱形和正方形的定義與性質(zhì)以表格的形式制作成圖表.

先讓學(xué)生獨(dú)立制作，再全班交流，最后得到如下的特殊四邊形的定義與性質(zhì)的圖式（圖表中空格的內(nèi)容略去）：

以上的教學(xué)設(shè)計(jì)，以圖式的建構(gòu)為主線，先建構(gòu)特殊四邊形的概念圖式，再建構(gòu)特殊四邊形的概念圖式的子圖式——正方形的認(rèn)知圖式，又通過(guò)正方形知識(shí)的應(yīng)用“操作”，讓學(xué)生從新的視角，從特殊四邊形的邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性等角度再一次構(gòu)建平行四邊形、矩形、菱形和正方形的認(rèn)知圖式，從而引發(fā)學(xué)生從縱向和橫向溝通了特殊四邊形知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，以進(jìn)入更高層次的圖式.此時(shí)，學(xué)生不僅體驗(yàn)到圖式不斷完善的過(guò)程，更為重要的是，在這一過(guò)程中學(xué)生頭腦中建構(gòu)的圖式也臻于完善，從而形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

圖式的形成是學(xué)生的一種動(dòng)態(tài)建構(gòu)和再建構(gòu)活動(dòng).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要為學(xué)生提供主動(dòng)構(gòu)建圖式的平臺(tái)，給學(xué)生留有充裕的時(shí)間，讓學(xué)生獨(dú)立思考、合作、展示和交流關(guān)于某一主題所形成的圖式，這將有利于削減因?yàn)楦拍畹戎R(shí)難度所帶來(lái)的認(rèn)知障礙，促進(jìn)學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法和觀念，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的整體意識(shí)和結(jié)構(gòu)意識(shí).

【參考文獻(xiàn)】

鮑建生，周超，著.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程[M].上海：上海教育出版社，2009.