【摘要】 本文選取2003—2012年吉林省長(zhǎng)春市公路客運(yùn)總量數(shù)據(jù)，運(yùn)用灰色預(yù)測(cè)模型對(duì)長(zhǎng)春市的客運(yùn)總量進(jìn)行分析，建立灰色預(yù)測(cè)GM（1，1）模型，并進(jìn)行一系列檢驗(yàn)：殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)、后驗(yàn)差檢驗(yàn)及誤差分析. 同時(shí)，預(yù)測(cè)未來(lái)兩年長(zhǎng)春市的客運(yùn)總量.

【關(guān)鍵詞】 殘差檢驗(yàn)；關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)；后驗(yàn)差檢驗(yàn)；誤差分析

【項(xiàng)目來(lái)源】 吉林省教育廳“十二五”科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目，吉教科合字[2013]第142號(hào).

公路客運(yùn)量是一個(gè)受多層次、多因素影響的復(fù)雜關(guān)系量，為了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)它，必須考慮各種影響因素，需要收集大量信息，由此帶來(lái)的問(wèn)題是建模困難，計(jì)算量大. 有時(shí)，即使模型能夠建立，往往又因缺少足夠的信息不能確定模型的參數(shù)，導(dǎo)致無(wú)法實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè). 灰色系統(tǒng)理論所提出的灰色系統(tǒng)模型預(yù)測(cè)方法，避開(kāi)了這些復(fù)雜的相互關(guān)系，它不要求那么多的信息，而只是著眼于系統(tǒng)本身的灰色信息，尋找系統(tǒng)本身的內(nèi)在規(guī)律，達(dá)到使灰色系統(tǒng)白化的目的.

灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型是基于灰色系統(tǒng)的理論思想，將離散變量連續(xù)化，用微分方程代替差分方程，用生成數(shù)序列代替原始時(shí)間序列，弱化原始時(shí)間序列的隨機(jī)性，再通過(guò)一定的步驟建立生成數(shù)的數(shù)學(xué)模型，此模型只適用于短期和中期預(yù)測(cè)，不適于長(zhǎng)期預(yù)測(cè).

一、灰色GM（1，1）模型

灰色預(yù)測(cè)模型直接使用的不是原始數(shù)據(jù)，而是原始數(shù)據(jù)產(chǎn)生的生成數(shù). 生成分為累加生成和累減生成，分別記為AGO和IAGO.

設(shè)原始數(shù)據(jù)為X（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），由它產(chǎn)生的r次累加生成r - AGO為X（r）=（x（r）（1），x（r）（2），…，x（r）（n）），其中x（r）（k）=■x（r-1）（i）=x（r）（k-1）+x（r-1）（k），x0（1）=x0（2） = … = 0，k = 1，2，…，n，r = 1，2，….

令Z（1）為X（1）的緊鄰均值（MEAN）生成序列Z（1） = （z（1）（2），z（1）（3），…，z（1）（n）），其中z（1）（k） = 0.5x（1）（k） + 0.5x（1）（k - 1）.

則GM（1，1）的灰微分方程模型為

x（0）（k） + az（1）（k） = b.（1）

式中a稱(chēng)為發(fā)展系數(shù)，b為灰色作用量. 設(shè)■為待估參數(shù)向量，即■ = （a，b）T，則灰微分方程（1）的最小二乘估計(jì)參數(shù)列滿(mǎn)足■ = （BTB）-1BTYn，其中

B=-z（1）（2） -z（1）（3） … -z（1）（n） 1 1 … 1T，

Y=[x（0）（2） x（0）（3） … x（0）（n）]T.

稱(chēng)方程■+ax（1） = b為方程（1）的白化方程. 其解■（1）（t）=x（1）（0） - ■e-at + ■也稱(chēng)為時(shí)間響應(yīng)函數(shù)，時(shí)間響應(yīng)序列

■（1）（k + 1） = x（1）（1） - ■e-ak + ■，k = 1，2，…，n

即為預(yù)測(cè)方程. 還原值

■（0）（k + 1） = ■（1）（k + 1） - ■（1）（k）.

二、 模型檢驗(yàn)

GM（1，1）模型的檢驗(yàn)分為三個(gè)方面：殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)、后驗(yàn)差檢驗(yàn).

（一）殘差檢驗(yàn)

即對(duì)模型值和實(shí)際值的殘差進(jìn)行逐點(diǎn)檢驗(yàn). 首先按模型計(jì)算■（1）（i + 1），將■（1）（i + 1）累減生成■（0）（i），最后計(jì)算原始序列x（0）（i）與■（0）（i）的絕對(duì)殘差序列

Δ（0）={Δ（0）（i），i = 1，2，…，n}，Δ（0）（i） = |x（0）（i） - ■（0）（i）|

及相對(duì)殘差序列

？準(zhǔn) = {？準(zhǔn)i，i = 1，2，…，n}，？準(zhǔn)i = ■%

并計(jì)算平均相對(duì)殘差■ = ■■？準(zhǔn)i . 給定α，當(dāng)■ < α，且？準(zhǔn)i < α（i = 1，2，…，n）成立時(shí)，稱(chēng)模型為殘差合格模型.

（二）關(guān)聯(lián)系數(shù)與關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)

關(guān)聯(lián)系數(shù)：設(shè)數(shù)據(jù)列

■（0）（k） = {■（0）（1），■（0）（2），…，■（0）（n）}

X（0）（k） = {X（0）（1），X（0）（2），…，X（0）（n）}

關(guān)聯(lián)系數(shù)定義為：

η（k） =

■

其中ρ稱(chēng)為分辨率，0 < ρ < 1，一般取ρ = 0.5.

關(guān)聯(lián)度：各類(lèi)關(guān)聯(lián)系數(shù)的平均值r = ■■η（k），稱(chēng)為■（0）（k）序列與X（0）（k）序列的關(guān)聯(lián)度. 關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)，即通過(guò)考察模型值曲線和建模序列曲線的相似程度進(jìn)行檢驗(yàn). 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，關(guān)聯(lián)度大于0.6便是滿(mǎn)意的.

（三）后驗(yàn)差檢驗(yàn)

后驗(yàn)差檢驗(yàn)，即對(duì)殘差分布的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行檢驗(yàn).

設(shè)原始序列X（0）的均方差和殘差的均方差分別為：

S1 = ■，

S2 = ■.

令S0 = 0.6745S1，ei = |Δ（0）（i） - ■|，則小殘差概率

p = P{|Δ（0）（i） - ■| < 0.6745S1} = P{ei < S0}.

記方差比C = S1/S2，若對(duì)于給定的C0 > 0，當(dāng)C < C0時(shí)，稱(chēng)模型為均方差比合格模型；如對(duì)給定的P0 > 0，當(dāng)P > P0時(shí)，稱(chēng)模型為小殘差概率合格模型.

若相對(duì)殘差、關(guān)聯(lián)度、后驗(yàn)差檢驗(yàn)在允許的范圍內(nèi)，則可以用所建的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，否則應(yīng)進(jìn)行殘差修正.

三、誤差分析

評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)方法好壞的標(biāo)準(zhǔn)用平均絕對(duì)百分誤差MAPE來(lái)衡量：

MAPE ≤ 10% 高精度預(yù)測(cè)

10% < MAPE ≤ 20%良好預(yù)測(cè)

20% < MAPE ≤ 50%可行預(yù)測(cè)

MAPE > 50% 錯(cuò)誤預(yù)測(cè)

四、歷史數(shù)據(jù)的收集、分析與處理

收集了長(zhǎng)春市2003—2012年各季度公路客運(yùn)量，見(jiàn)附錄1. 畫(huà)出散點(diǎn)圖（如圖1）. 從圖中可以看出，總體來(lái)說(shuō)，長(zhǎng)春市的客運(yùn)量逐年上升，2007年2月，客運(yùn)量明顯大于其他月份，如在預(yù)測(cè)時(shí)不作任何數(shù)據(jù)處理，會(huì)影響預(yù)測(cè)精度，但如果將異常數(shù)據(jù)剔除掉，又會(huì)因?yàn)闃颖緮?shù)的減少而影響預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度，本文對(duì)異常值做了簡(jiǎn)單的處理.

理論上，正常的序列{Xt}是平滑的，則應(yīng)有■t - kSt < Xt+1 < ■t + kSt，其中

■t = ■■Xj，St2 = ■ - ■t2，■ = ■■Xj2，k ∈ [3，9]，這里k = 4.

用上面的公式對(duì)異常值點(diǎn)的進(jìn)行檢驗(yàn)，由數(shù)據(jù)可得：（■ - 4St，■+ 4St）=（96.6763，545，7827）. 易見(jiàn)559.07？埸（■ - 4St，■ + 4St），其他點(diǎn)都落在（■ - 4St，■ + 4St）中，故559.07為異常值，需要進(jìn)行修正：

如果Xt+1是一個(gè)異常點(diǎn)，我們可以用■t = 2Xt - Xt-1來(lái)修正. 本文中，Xt為2007年1月的客流量，算得■t = 2 × 115.98 - 76.95 = 155.01，把2007年2月的客運(yùn)量修正為155.01萬(wàn)人次. 再次畫(huà)散點(diǎn)圖（如圖2）：

所以，將2007年2月的客運(yùn)量修正為155.01萬(wàn)人次，2007年第一個(gè)季度的總客運(yùn)量為360.24萬(wàn)人次.

五、實(shí)證分析

（一）灰色模型的建立

設(shè)原始數(shù)列為：

X（0）（k） = {968.77，1082.78，1217.62，1291.02，1299.32，

1391.19，1314.23，1365.13，1373.62，1346.65}.

經(jīng)軟件S-PLUS計(jì)算，得

■ = ab = （BTB）-1BTYn = -0.02103791158.4025951.

得出預(yù)測(cè)模型

■（1）（k + 1）=56031.4234e0.0210379k - 55062.6534.

（二）灰色模型的檢驗(yàn)

殘差檢驗(yàn) 根據(jù)預(yù)測(cè)公式，計(jì)算■ （1）（k）：

■ （1）（k） = {968.77，2160.04，3376.638，4619.102，5887.981，

7183.838，8507.245，9858.789，11239.07，12648.69} （k = 0，1， … ，9）.

累減生成序列■ （0）（k）：

■ （0）（k） = {968.77，1191.27，1216.598，1242.464，1268.879，

1295.857，1323.407，1351.544，1380.281，1409.62}，k = 1，2， … ，10 .

絕對(duì)殘差和相對(duì)殘差序列分別是：

Δ（0） = {0，108.49，1.02，48.56，30.44，95.33，9.18，13.59，6.66，

62.97}，

？準(zhǔn) = {0，10.02%，0.08%，3.76%，2.34%，6.85%，0.70%，1.00%，0.48%，4.68%}.

可見(jiàn)，相對(duì)殘差不超過(guò)10.02%，模型精確度高.

關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn) 由絕對(duì)殘差序列Δ（0）（k），可得

min{Δ（0）（k）} = 0，max{Δ（0）（k） } = 108.49，

算得關(guān)聯(lián)系數(shù)

η（k） ={1，0.33，0.98，0.53，0.64，0.36，0.86，0.80，0.89，

0.46}，

關(guān)聯(lián)度ri = ■■ηi（k） = 0.685 > 0.6，滿(mǎn)足P = 0.5時(shí)的檢驗(yàn)準(zhǔn)則.

后驗(yàn)差檢驗(yàn) 算得序列X（0）的均方差及殘差的均方差分別是：

S1= 138.2405，S2 = 39.8141，

C = ■ = 0.2880，S0 = 0.6745S1 = 93.2432，

ek = |Δ（k） - ■| = {37.624，70.866，36.604，10.936，7.184，

57.706，28.444，24.034，30.964，25.346}.

所有ei都小于S0，故小殘差概率P{ei < S0} = 1 > 0.95，同時(shí)C = 0.2880 < 0.35，故模型x（1）（k + 1）= 56031.4234e0.021037912- 55062.6534預(yù)測(cè)精度優(yōu).

作出客運(yùn)量實(shí)際值與預(yù)測(cè)值的對(duì)比圖如下，由圖3可見(jiàn)，兩者吻合得很好.

取k = 10，11時(shí)，分別得2013年、2014年長(zhǎng)春市公路客運(yùn)總量預(yù)測(cè)值：

x（0）（11） = 1439.742（萬(wàn)人），x（0）（12）= 1470.355（萬(wàn)人）.

即2013年、2014年長(zhǎng)春市客運(yùn)總量預(yù)計(jì)達(dá)1439.742萬(wàn)人和1470.355萬(wàn)人次.

（三）誤差分析

平均絕對(duì)百分誤差MAPE = ■■■ × 100% = ■ × 0.2991 × 100% = 2.99%，根據(jù)平均絕對(duì)百分誤差MAPE對(duì)預(yù)測(cè)的衡量標(biāo)準(zhǔn)，上述結(jié)果表明用該模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，效果為高精度預(yù)測(cè)（MAPE≤10%）.

【參考文獻(xiàn)】

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[3]肖枝洪，郭明月. 時(shí)間序列分析與SAS應(yīng)用[J]. 武漢：武漢大學(xué)出版社，2009.

附錄

2003—2012年各季度長(zhǎng)春市公路客運(yùn)量（單位：萬(wàn)人）