【摘要】 在初中階段所研究的函數(shù)中，函數(shù)的圖像和性質(zhì)是最重要的內(nèi)容，也是最?？嫉膬?nèi)容. 在拋物線的學(xué)習(xí)過程中，拋物線的對稱性是它的一個顯著特征，對稱性的考查和利用也是比較靈活的. 本文將以一些典型的例題來談?wù)剴佄锞€對稱性該如何運(yùn)用.

【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué)；拋物線；函數(shù)的性質(zhì)；知識運(yùn)用能力

首先我們來回顧什么是拋物線，二次函數(shù)y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的圖像就是一條拋物線. 拋物線的對稱軸可以用直線x = -■表示，當(dāng)二次函數(shù)的形式為y = a（x - h）2 + k（a ≠ 0）時，拋物線的對稱軸為直線x = h. 在解有關(guān)函數(shù)的問題時，我們常常會用數(shù)形結(jié)合的方法，數(shù)形結(jié)合能更快地理清思路，運(yùn)用好已知條件. 下面我們通過幾個例子來談?wù)勱P(guān)于拋物線對稱性的一些考點和用法.

一、求點的坐標(biāo)

例1 若函數(shù)y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）經(jīng)過點A（-2，7），B（6，7），C（3，-8），那么拋物線上縱坐標(biāo)為-8的另一點的坐標(biāo)為______.

分析 一看到是求點的坐標(biāo)，很多學(xué)生就會想到要先求拋物線的解析式，再把所求點的縱坐標(biāo)代入到解析式中，就可以求出該點的橫坐標(biāo). 而要求拋物線的解析式也是可以的，因為已知條件中給出了三個點的坐標(biāo)，把三個點的坐標(biāo)代入到函數(shù)的一般式中，通過解方程組可得出拋物線的解析式. 這種方法是一種傳統(tǒng)的方法，也是很多學(xué)生會用到的，但其實這道題還有更加簡便的方法，省去了煩瑣的計算，也能快速地得出答案，關(guān)鍵就是要細(xì)心觀察已知中給出的三個點的坐標(biāo). 可以看到A（-2，7），B（6，7）兩點的縱坐標(biāo)是相等的，說明這是兩個點于關(guān)拋物線的對稱軸對稱，那么就可以直接利用拋物線的對稱性快速解題.

解析 由題意得，拋物線的對稱軸x = ■ = 2，所求點與點C對稱，2 × 2 - 3 = 1，所求點的坐標(biāo)為（1，-8）.

二、求代數(shù)式的值

例2 拋物線y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的對稱軸是x = 2，且經(jīng)過點P（3，0），那么a + b + c的值是（ ）.

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

分析 在這道題中，要求的是代數(shù)式a + b + c的值，這類題目我們也會經(jīng)常接觸到，a + b + c的值就是當(dāng)x = 1時，函數(shù)y的值. 仔細(xì)觀察就可以看到，我們不用求出每個字母的值，充分利用好對稱軸這個已知條件，就能巧妙地解決問題.

解析 因為拋物線的對稱軸是x = 2，2 × 2 - 3 = 1，也就是與點P對稱的點是（1，0），正好是我們所要求的當(dāng)x = 1時函數(shù)的值. 所以a + b + c的值為0. 答案選B.

三、比較函數(shù)值的大小

例3 如果A-■，y1，B-■，y2，C-■，y3為函數(shù)y = x2 + 4x - 5的圖像上三點，那么y1，y2，y3的大小關(guān)系是（ ）.

A. y1 < y2 < y3 B. y3 < y1 < y2

C. y2 < y1 < y3 D. y1 < y3 < y2

分析 這道題可以直接代入計算，但這樣的話會帶來非常大的計算量，是不可取的一種方法. 比較函數(shù)值的大小可以利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較，但拋物線的單調(diào)性并不是單一的，而是有增有減，因此在使用的時候不僅要先搞清函數(shù)的單調(diào)性，還要明確點的位置關(guān)系以及和對稱軸的水平距離.

解析 根據(jù)題意可得，拋物線的開口向上，函數(shù)的對稱軸為x = -■ = -2，當(dāng)x > -2時，y的值隨著x的增大而增大，所求點的橫坐標(biāo)均大于-2，因為-■ < -■ < -■，所以y2 < y1 < y3. 答案選C.

四、求函數(shù)的解析式

例4 已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A（2，-3），對稱軸為x = 1，且與x軸的兩個交點之間的距離為4，求這個二次函數(shù)的解析式.

分析 這是一道求函數(shù)解析式的題目，而我們首先會想到的就是根據(jù)已知條件來設(shè)函數(shù)為哪種形式，運(yùn)用常規(guī)的方法都能求解，但會產(chǎn)生一個非常復(fù)雜的三元方程，而巧用函數(shù)的對稱性，能輕松地解決這些問題，化難為易，化繁為簡.

解析 由拋物線的對稱性可知，拋物線與x軸的兩個交點的坐標(biāo)分別為（-1，0）和（3，0），于是可以把函數(shù)設(shè)為兩點式y(tǒng) = a（x + 1）（x - 3），將A點坐標(biāo)代入得-3 = -3a，a = 1，即所求函數(shù)為y = （x + 1）（x - 3），整理，得y = x2 - 2x - 3.

函數(shù)的對稱性是二次函數(shù)圖像的一個重要特征，常?？梢郧擅畹剡\(yùn)用于解決問題當(dāng)中. 從上面的幾個例題就不難發(fā)現(xiàn)，很多題目都可以用常規(guī)的方法來解決，但計算會很煩瑣，過程比較復(fù)雜，而能巧妙地運(yùn)用對稱性的話，問題都能快速解決，并且解題過程得到了有效的簡化. 因此，在解題時，一定要先細(xì)心觀察和認(rèn)真思考，抓住題目中的一些關(guān)鍵信息，用最簡便的方法來解答.

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