在數(shù)學(xué)浩瀚的題海里，總能遇到這樣一類問題：條件充裕，結(jié)論清楚，就是找不到條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，繼而無法尋求解決問題的突破口. 作為選拔優(yōu)秀人才的中考壓軸題，更加強(qiáng)了學(xué)生能力的考查.下面筆者以實(shí)例說明如何巧用構(gòu)造法，構(gòu)造基本圖形，建立條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，從而解決問題.

一、構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系

例1 2013年淮安中考題28題：如圖1，在△ABC中，∠C = 90°，BC = 3，AB = 5. 點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個單位長度沿B→C→A→B的方向運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個單位沿C→A→B的方向運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)B后立即原速返回，若P，Q兩點(diǎn)同時運(yùn)動，相遇后同時停止，設(shè)運(yùn)動時間為t.

（1）當(dāng)t = 時，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇；

（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)B到點(diǎn)C的運(yùn)動過程中，當(dāng)t為何值時，△PCQ為等腰三角形？

（3）在點(diǎn)Q從點(diǎn)B返回點(diǎn)A的運(yùn)動過程中，設(shè)△PCQ的面積為S平方單位.

①求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)S最大時，過點(diǎn)P作直線交AB于點(diǎn)D，將△ABC沿直線PD折疊，使點(diǎn)A落在直線PC上，求折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積.

分析 在解決第（3）小題第②問的過程中，求重疊部分的面積，就必須求得高GF的長度，筆者走訪了初二學(xué)生，他們普遍認(rèn)為圖中使用兩次甚至三次相似，難度還是很大的. 如果構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，將幾何圖形放在坐標(biāo)系中，求重疊部分的面積，要比使用相似簡潔得多. 解題過程如下：

解 建立如圖2所示平面直角坐標(biāo)系.

由①知，當(dāng)t = 5時，S有最大值，此時，P是AC的中點(diǎn)， AQ = 14 - 2t = 14 - 2 × 5 = 4.

∵ 沿直線PD折疊，使點(diǎn)A落在直線PC上，∴ PD一定是AC的中垂線.

∴ AP = CP = ■AC = 2，PD = ■BC = ■.

在△AQE中，tan∠A = ■，sin∠A = ■，而tan∠A = ■，sin∠A = ■，∴ AE = ■，QE = ■.

則PE = AE - AP = ■ - 2 = ■.

則易得C（-2，0），D0，■，P（0，0），Q-■，■，可知yCD = ■x + ■，yPQ = -2x.

由yCD = ■x + ■，yPQ = -2x，可得交點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為y = ■，即GF = ■.

到此，不難求得重疊部分面積S△GPC = ■·PC·GF = ■ × 2 × ■ = ■.

反思 構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，有助于將幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，此題中△GPC的高GF，就是點(diǎn)G的縱坐標(biāo)，應(yīng)用函數(shù)知識解決點(diǎn)G的坐標(biāo)，從而求出高GF的長度，這樣比使用相似要明了得多.

二、構(gòu)造全等三角形證明線段、角相等

三角形全等是幾何圖形中解決問題的常用方法，也是學(xué)生在解題過程中首選的方法.

例2 已知：如圖3，AB = CB，AD = CD. 求證：∠A = ∠C.

分析 此圖中，∠A與∠C不在同一個三角形內(nèi)，不能使用等腰三角形性質(zhì)——等邊對等角解決問題，也沒有線的平行等. 要證明∠A = ∠C，學(xué)生很自然想到全等三角形知識解決. 在教學(xué)當(dāng)中，筆者也深刻感受這個問題對于學(xué)生沒什么難度，他們的方法，全是連接線段BD，構(gòu)造全等三角形，如圖4. 通過證明△ABD ≌ △CBD，就可得到∠A = ∠C.

數(shù)學(xué)中很多問題的設(shè)計，我們都可以找到其原型，并通過改變相應(yīng)的圖形，構(gòu)造我們常見的基本圖形，將問題輕松轉(zhuǎn)化. 只要學(xué)習(xí)中做個有心人，處處留意，你會發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造的過程就是一個快樂、智慧的數(shù)學(xué)思維過程.