【摘要】復(fù)函數(shù)在實函數(shù)的基礎(chǔ)上有擴展和延伸，它們在各個方面既有相似點也有不同點。對于實函數(shù)和復(fù)函數(shù)異同的比較對于學(xué)習(xí)和理解函數(shù)理論具有重要的意義。本文介紹了函數(shù)的定義和分類，實函數(shù)和復(fù)函數(shù)的定義，以及實函數(shù)和復(fù)函數(shù)在極限，連續(xù)性，導(dǎo)數(shù)，積分上的異同，全面詳細(xì)比較了實函數(shù)和復(fù)函數(shù)。

【關(guān)鍵詞】實函數(shù) 復(fù)函數(shù) 異同

【中圖分類號】G64 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）04-0129-02

1.函數(shù)的定義和分類

函數(shù)的本質(zhì)是一種對應(yīng)關(guān)系，描述著應(yīng)變量隨自變量的變化的形式?，F(xiàn)代函數(shù)的定義是由集合描述的，即從一個集合到另一個集合的對應(yīng)。

函數(shù)的分類方式是多種多樣的，不同的分類方式描述了函數(shù)的不同性質(zhì)。

根據(jù)函數(shù)映射方式的不同，可以分為單射函數(shù)，滿射函數(shù)和雙射函數(shù)；

根據(jù)函數(shù)的周期性，可以分為周期函數(shù)和非周期函數(shù)；

根據(jù)函數(shù)的增減性，可以分為單調(diào)遞增函數(shù)，單調(diào)遞減函數(shù)，凹函數(shù)，凸函數(shù)和復(fù)雜函數(shù)；

根據(jù)函數(shù)解析式的形式，可以分為二次函數(shù)，三次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等；

函數(shù)的性質(zhì)非常之多，導(dǎo)致其分類形式也有很多。但是，其中最重要的一種分類方式是將函數(shù)分為實函數(shù)和復(fù)函數(shù)。

2.實函數(shù)的定義

實函數(shù)是指定義域和值域都是實數(shù)的函數(shù)?？梢钥闯?，實函數(shù)的研究對象是實數(shù)，其本質(zhì)是實數(shù)與實數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，是實數(shù)隨著實數(shù)的變化關(guān)系。從集合的定義角度來看，實函數(shù)的本質(zhì)是實數(shù)集到實數(shù)集的對應(yīng)。實函數(shù)的一個重要特征就是，函數(shù)關(guān)系可以反映在坐標(biāo)系中。研究實函數(shù)的分支叫作實變函數(shù)論，是研究以實數(shù)作為函數(shù)自變量的理論，是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個重要分支。實變函數(shù)論以集合論為根基，是微積分理論的進一步擴展和延伸。實變函數(shù)論的主要研究內(nèi)容是實函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)，極限性質(zhì)，微分積分性質(zhì)，測度論等。

3.復(fù)函數(shù)的定義

復(fù)函數(shù)是指自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)。與實數(shù)不同，復(fù)數(shù)有實部和虛部，相比之下復(fù)函數(shù)的情形就更為復(fù)雜。復(fù)函數(shù)研究的不僅是復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，而且包括復(fù)數(shù)和實數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。從集合理論的角度來看，復(fù)數(shù)集合是實數(shù)集合和虛數(shù)集合的并集，而復(fù)函數(shù)則是從復(fù)數(shù)集合到復(fù)數(shù)集合的對應(yīng)關(guān)系。研究復(fù)函數(shù)的理論就做復(fù)變函數(shù)論，是研究以復(fù)數(shù)作為函數(shù)自變量的函數(shù)理論。其主要研究內(nèi)容包括級數(shù)，留數(shù)，解析函數(shù)，復(fù)函數(shù)的微分和積分等。

由以上論述可以看出，從函數(shù)性質(zhì)的角度研究實函數(shù)和復(fù)函數(shù)，它們的性質(zhì)既有相同之處，也有不同之處。對于實函數(shù)和復(fù)函數(shù)之間異同的把握，對于掌握它們各自的性質(zhì)，理解函數(shù)的本質(zhì)，熟練函數(shù)的應(yīng)用是有重要意義的。

4.實函數(shù)和復(fù)函數(shù)的極限性質(zhì)

極限對于微積分乃至現(xiàn)代數(shù)學(xué)和物理來說是一個極為重要的概念，它反映的是變量在變化過程中的趨向性質(zhì)。很多數(shù)學(xué)物理方法都是以極限概念為基礎(chǔ)而延伸出來的，甚至很多的基本概念也是以極限為基礎(chǔ)的。極限的研究分為數(shù)列極限和函數(shù)極限，數(shù)列極限反映的是分離變量的趨向性質(zhì)，函數(shù)極限反映的是連續(xù)變量的趨向性質(zhì)。極限的研究中，包括極限的性質(zhì)，如唯一性，有界性，收斂性等；也包括極限的計算方法，運算法則，并要熟練掌握常見的極限性質(zhì)。

實函數(shù)的極限。實函數(shù)極限的定義可以用文字描述：一個實函數(shù)在其定義域的某一點的空心領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果存在某個正數(shù)，當(dāng)自變量的值與x的差小于這個正數(shù)時，其對應(yīng)的函數(shù)值和A的差可以小于某個給定的正數(shù)，那么則說這個實函數(shù)存在極限。從實函數(shù)極限的定義可以看出，其反映的是實數(shù)自變量在實函數(shù)的變化過程中趨勢的性質(zhì)，當(dāng)實數(shù)自變量趨于某一個值時，對應(yīng)的實數(shù)函數(shù)值也趨于某一個值，這就是實函數(shù)極限的簡單含義。

復(fù)函數(shù)的極限。復(fù)函數(shù)極限的定義可以用文字描述：一個復(fù)函數(shù)在其復(fù)數(shù)定義域內(nèi)的某一點是聚點，如果存在大于0的數(shù)，使得當(dāng)復(fù)函數(shù)自變量值與z的差小于整個數(shù)時，其對應(yīng)的復(fù)函數(shù)值與A小于任意一個給定的正數(shù)，那么這個復(fù)函數(shù)存在極限。復(fù)函數(shù)極限的定義如果用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言描述，是：

設(shè)函數(shù)w=f（z），z∈E（集合）， zo為E的聚點，對于復(fù)數(shù)A，若對任意給定的？著大于0，總存在r大于0，只要0<|z- zo|A（z->zo）。

從復(fù)函數(shù)極限的定義可以看出，其描述的是復(fù)數(shù)自變量在復(fù)函數(shù)的變化過程中趨向的性質(zhì)，當(dāng)復(fù)數(shù)自變量趨于某一個值時，對應(yīng)的復(fù)數(shù)函數(shù)值也趨于某一個值，這就是復(fù)函數(shù)極限的簡單含義。

由上述定義可以看出，實函數(shù)和復(fù)函數(shù)在極限的定義上是相類似的，都是描述當(dāng)自變量趨向某一值時，函數(shù)值的趨向性質(zhì)。但是，形式上的相似性并不說明含義上的相同性。事實上，復(fù)函數(shù)極限的定義比實函數(shù)極限的定義內(nèi)容更加豐富。因為復(fù)數(shù)包括實部和虛部，當(dāng)自變量趨向某一個復(fù)數(shù)時，要求實部和虛部必須同時趨向相應(yīng)的實部和虛部，具有更大的任意性。如果將實數(shù)的極限形象的理解為數(shù)軸上一維的趨向，那么，復(fù)函數(shù)的極限則描述的是平面上到一點的趨向。顯然，由于比實函數(shù)的極限多了一個維度，復(fù)函數(shù)的極限的趨向方式的任意性更大，可以類比為一個二元實函數(shù)的問題。與復(fù)函數(shù)極限趨向方式的任意性不同，實函數(shù)的極限趨向方式更為苛刻和嚴(yán)格，因為趨向的方式只能一種，即單方向的，因此要求實函數(shù)一點的左極限和右極限必須相等，這樣才能保證實函數(shù)極限的存在。

可以通過求一個復(fù)函數(shù)極限的例子來說明復(fù)函數(shù)極限的特點：

可見，該復(fù)函數(shù)在原點極限不存在。

5.實函數(shù)和復(fù)函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)的連續(xù)性描述的是函數(shù)整體變化的性質(zhì)，判斷一個函數(shù)是否具有連續(xù)性是更深入研究函數(shù)其它性質(zhì)的前提。函數(shù)的連續(xù)性問題在對函數(shù)的研究中是具有承上啟下作用的，一方面緊密聯(lián)系了函數(shù)的極限，另一方面為后續(xù)更復(fù)雜的函數(shù)性質(zhì)做好鋪墊和準(zhǔn)備。

函數(shù)的連續(xù)性首先是針對定義域內(nèi)一點的定義，要求當(dāng)自變量趨向某一個值時，其極限值與函數(shù)值相等。而通常情況下，函數(shù)的連續(xù)性指的是函數(shù)在定義區(qū)間中的所有點都連續(xù)，即整體具有連續(xù)性。值得注意的是，這里并沒有說函數(shù)在定義域內(nèi)的所有點具有連續(xù)性，因為在定義域內(nèi)有可能包含一些離散的點，而函數(shù)在這些離散的點上不連續(xù)，導(dǎo)致整體不具有連續(xù)性。但是，如果把定義域上的這些點剔除掉，不包含在定義區(qū)間內(nèi)，這樣可以使函數(shù)又恢復(fù)連續(xù)性。

對于實函數(shù)和復(fù)函數(shù)來說，它們連續(xù)性的定義是類似的，都由前面的描述給出。但不同的是，實函數(shù)的連續(xù)是一元的連續(xù)，在實數(shù)軸上其形式是一維的。相比之下，復(fù)函數(shù)連續(xù)的要求就更為嚴(yán)格，因為復(fù)函數(shù)的實部和虛部必須同時滿足連續(xù)的要求。如果把復(fù)函數(shù)虛部看做一個單獨的變量，那么復(fù)函數(shù)連續(xù)相當(dāng)于一個二元函數(shù)的連續(xù)，復(fù)雜性增加。

6.實函數(shù)和復(fù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

在函數(shù)的研究中，導(dǎo)數(shù)是一個極為重要的概念。導(dǎo)數(shù)可以反映著一個函數(shù)的變化快慢，具體來說是在定義域內(nèi)某一點上變化的快慢。當(dāng)函數(shù)自變量有一個增量的時候，相應(yīng)的函數(shù)因變量也會有一個增量，函數(shù)值的變化與自變量的變化有一個比值，這個比值可以反映函數(shù)變化的快慢，比值大說明自變量變化量相同時，函數(shù)值增量的變化大；比值小，說明自變量變化量相同時，函數(shù)值增量的變化小。當(dāng)函數(shù)自變量變化的值趨向于0時，有時候函數(shù)值的變化和自變量變化的比值仍然存在，且不是無窮大，那么這個情況下的比值就叫做函數(shù)在這一點上的導(dǎo)數(shù)；如果這個比值不存在，那么說明函數(shù)在這一點的導(dǎo)數(shù)不存在。由此可見，導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在定義域內(nèi)某一點的變化快慢，導(dǎo)數(shù)越大說明函數(shù)在這一點上的變化越快，導(dǎo)數(shù)越小說明函數(shù)在這一點上的變化越小。

導(dǎo)數(shù)的計算是函數(shù)導(dǎo)數(shù)理論，乃至微積分理論中很重要的一部分內(nèi)容?；镜挠嬎惴椒òǜ鶕?jù)定義計算函數(shù)導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算法則，反函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算法則等。函數(shù)的導(dǎo)數(shù)具有線性，即對于線性組合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就是各自導(dǎo)數(shù)相應(yīng)的線性組合；對于兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)，是一個函數(shù)與另一個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積，加上另一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和這個函數(shù)的乘積；對于兩個函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)，是以后一個函數(shù)的平方做分母，前一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與后一個函數(shù)的乘積減去后一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與前一個函數(shù)的乘積做分子的結(jié)果。

實函數(shù)和復(fù)函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的計算中有很大的相同點，即所有的導(dǎo)數(shù)計算法則都可以應(yīng)用到實函數(shù)和復(fù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算中去。包括非常有用的洛比達(dá)法則。

洛比達(dá)法則可以簡化導(dǎo)數(shù)的求法，因而洛比達(dá)法則在函數(shù)中的適用性對于導(dǎo)數(shù)的計算具有重大意義。以下為實函數(shù)和復(fù)函數(shù)中的洛比達(dá)法則。

（1）實函數(shù)中的洛比達(dá)法則：

從以上定理可以看出，當(dāng)函數(shù)滿足定理條件時，洛必達(dá)法則對于復(fù)函數(shù)也適用。除了這些相同點，實函數(shù)和復(fù)函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的定義上同樣也具有形式上的相同點。但是，實函數(shù)和復(fù)函數(shù)在定義上的不同點，并不能被形式上的一致性所掩蓋。正如前面所分析過的，由于復(fù)函數(shù)包括實部和虛部，因此復(fù)函數(shù)的增量也由兩個部分組成，即實部的增量和虛部的增量。因此，在定義復(fù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的時候，考慮的范圍應(yīng)該多與實函數(shù)的導(dǎo)數(shù)情形。如果要求復(fù)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)，那么由實部增量獲得的復(fù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)應(yīng)該與由虛部增量獲得的復(fù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)相一致。這也就是柯西黎曼條件。注意這不是判斷復(fù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在的充分條件，只是必要條件。由此可見，復(fù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵比實函數(shù)的導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵更為廣泛。在函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在與否的判定中，復(fù)函數(shù)的情形也更為復(fù)雜。

可以通過一個具體的例子來說明復(fù)函數(shù)求導(dǎo)是的特點和性質(zhì)：

因為兩種趨近方式的導(dǎo)數(shù)不相等，因此可以判斷，該函數(shù)在z0處導(dǎo)數(shù)不存在，也就是說該復(fù)函數(shù)處處不可導(dǎo)。

由此可以看出，與實函數(shù)不同，復(fù)變函數(shù)的積分應(yīng)將實部和虛部分開進行積分。

參考文獻：

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