摘 要：絕對(duì)值是七年級(jí)數(shù)學(xué)中一個(gè)很重要的概念，如何讓學(xué)生學(xué)好絕對(duì)值是探討的話題。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；絕對(duì)值；教學(xué)方法

絕對(duì)值①是七年級(jí)數(shù)學(xué)中一個(gè)很重要的概念，對(duì)今后學(xué)習(xí)方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容都有非常重要的作用。我們必須從幾何和代數(shù)兩個(gè)角度正確理解絕對(duì)值的意義，并會(huì)對(duì)一些常見(jiàn)問(wèn)題進(jìn)行處理。本文主要是嘗試把思考的空間和時(shí)間留給學(xué)生，向?qū)W生提供一個(gè)探究活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生自主探究和合作交流。

一、絕對(duì)值的概念

在數(shù)軸上表示a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|，如圖1

特別注意：表示0的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是0。所以|0|=0，由絕對(duì)值的幾何意義可得：

對(duì)于上面的這個(gè)式子要認(rèn)真理解它的意義：并不是有三種結(jié)果，而是由于a有三種不同取值，相對(duì)應(yīng)有三種不同的情況，a=1>0，對(duì)應(yīng)值是第一種情況，即|1|=1；而a=-1<0，對(duì)應(yīng)值是第三種情況即|-1|=1。因此，無(wú)論是絕對(duì)值的幾何意義，還是絕對(duì)值的代數(shù)意義，都揭示了絕對(duì)值的一個(gè)重要性質(zhì)——非負(fù)性。也就是說(shuō)，任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，即a取任意有理數(shù)，都有|a|≥0。

二、絕對(duì)值的求法

要求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，應(yīng)先判斷這個(gè)數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)，還是0，再由絕對(duì)值的意義確定去掉絕對(duì)值符號(hào)的結(jié)果。

由絕對(duì)值的意義可知，任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值不可能是負(fù)數(shù)，即|a|≥0。其中零是絕對(duì)值中最小的有理數(shù)；絕對(duì)值等于同一個(gè)正數(shù)的有理數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。

例1.求下列各數(shù)的絕對(duì)值。

三、絕對(duì)值的求值

依據(jù)給定的條件，求出滿足條件的絕對(duì)值中未知的值。這類問(wèn)題比較多地出現(xiàn)在不同的試卷中。

例3.在下列條件下x可取哪些整數(shù)？

（1）|x|=3 （2）|x|<3 （3）-3<|x|<3。

解：（1）絕對(duì)值等于3的整數(shù)有兩個(gè)，它們是+3和-3，

∴|x|=3，有x=3或x=-3；

（2）|x|<3的整數(shù)有-2，-1，0，1，2；

（3）絕對(duì)值在-3和+3之間的整數(shù)有-2，-1，0，1，2。

例4.已知|a|=5，|b|=3，|a-b|=b-a，求a+b的值。

分析：在理解絕對(duì)值和數(shù)軸的關(guān)系的基礎(chǔ)上，可以得出：由于|a|=5，所以a=5或a=-5；|b|=3，得b=3或b=-3；|a-b|=b-a可知b>a；進(jìn)而可以確定a和b的值分別為a=-5，b=±3，從而a+b=-8或a+b=-2。

四、絕對(duì)值的化簡(jiǎn)

例5.有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖2所示，請(qǐng)化簡(jiǎn)|5-a|+|a+b|+|b-6|。

分析：首先，確定每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)代數(shù)式所表示的數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。

由圖象觀察可知5-a>0，a+b>0，b-6<0；

解：∵5-a>0，a+b>0，b-6<0；

∴|5-a|+|a+b|+|b-6|=5-a+a+b+6-b=11。

例6.有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖3所示。

若m=|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|，則-1001m= 。

解：由圖象可知：a+b<0，b-1<0，a-c<0，1-c>0。

則m=-（a+b）-[-（b-1）]-[-（a-c）]-（1-c）=-a-b+b-1+a-c-1+c=-2，∴-1001m=-1001×（-2）=2002。

五、絕對(duì)值方程

例7.解方程|x+1|+|x-3|=5

分析：|x+1|+|x-3|=5表示數(shù)x的點(diǎn)C到表示數(shù)-1的點(diǎn)A、表示數(shù)3的點(diǎn)B的距離之和是5，如圖4。

由數(shù)軸可知，AB=4，那么點(diǎn)C只能出現(xiàn)在點(diǎn)A的左邊或點(diǎn)B的右邊。即x<-1或x>3。

注意：此類方程較多的是使用分段討論的方法求解，此例是為了加深學(xué)生對(duì)絕對(duì)值意義的理解。

例8.（1）若|x|=2，求x。（2）|3x-1|=5，求x。

解：（1）∵|x|=2，∴x=±2。

（2）∵|3x-1|=5，∴3x-1=±5。

注意：解絕對(duì)值方程問(wèn)題時(shí)一般有兩個(gè)解，不要漏解。

六、創(chuàng)新與應(yīng)用

例9.化簡(jiǎn)|x-1|+|x-2|

分析：對(duì)含有兩個(gè)或更多絕對(duì)值的代數(shù)式化簡(jiǎn)時(shí)，往往把它們分成不同的區(qū)域分別化簡(jiǎn)。

解：當(dāng)x>2時(shí)，x-1>0，x-2>0，∴|x-1|+|x-2|=x-1+x-2=2x-3。當(dāng)1≤x≤2時(shí)，x-1≥0，x-2≤0?！鄚x-1|+|x-2|=x-1+2-x=1?！鄕<1時(shí)，x-1<0，x-2<0。∴|x-1|+|x-2|=1-x+2-x=3-2x。

例10.已知a<0，b>0，|a|>|b|，使用“<”將a、b、-a、-b連結(jié)起來(lái)。

分析：解決涉及有理數(shù)的絕對(duì)值、大小等問(wèn)題時(shí)，利用數(shù)軸將已知條件中的a、b所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)標(biāo)在數(shù)軸上，再根據(jù)相反數(shù)的概念找出相應(yīng)的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，這里，數(shù)軸是一個(gè)十分有效的工具。

解：畫如圖5所示的數(shù)軸，先由已知條件確定出a、b所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A、B，a<0，A在原點(diǎn)的左邊，b>0，B在原點(diǎn)的右邊，|a|>|b|，表示A到原點(diǎn)的距離大于B到原點(diǎn)的距離，再依據(jù)相反數(shù)的概念，找出 -a、-b所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，如圖5所示。

顯然有a<-b

本文分別從幾何意義和代數(shù)意義兩方面研究了絕對(duì)值的概念，通過(guò)學(xué)習(xí)，應(yīng)明確：有理數(shù)是由符號(hào)和絕對(duì)值兩方面來(lái)確定的，另外，對(duì)互為相反數(shù)的概念，應(yīng)進(jìn)一步理解為：符號(hào)相反，絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)是互為相反數(shù)。學(xué)了絕對(duì)值，比較有理數(shù)大小的方法也提高了一步，利用絕對(duì)值，就可不必利用數(shù)軸來(lái)比較有理數(shù)的大小了。絕對(duì)值的概念非常重要，在有理數(shù)運(yùn)算及今后學(xué)習(xí)根式等內(nèi)容時(shí)，都以絕對(duì)值的知識(shí)為基礎(chǔ)，所以，一定要學(xué)好本節(jié)內(nèi)容。

對(duì)于絕對(duì)值的計(jì)算，有以下規(guī)律：

（1）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等。

（2）若|a|=|b|，則a=b或a=-b。

（3）|a|+|b|=0，則a=0，b=0。

關(guān)于絕對(duì)值混淆的問(wèn)題：

（1）若|a|=a，則a為非負(fù)數(shù)，易誤認(rèn)為正數(shù)。

（2）若|a|=-a，則a為非正數(shù)，易誤認(rèn)為負(fù)數(shù)。

（3）以上說(shuō)明在學(xué)習(xí)中要特別注意。

作者簡(jiǎn)介：張永紅，男，1977年6月出生，本科，就職學(xué)校：甘肅省隴南市武都區(qū)石門九年制學(xué)校，研究方向：學(xué)校管理及數(shù)學(xué)教育。