1 拱橋問題

例1貴州北盤江特大橋是世界上最大跨度的鐵路拱橋.如圖1所示，已知該拱橋的曲線呈拋物線，主橋底部跨度 OA=400 米，以 O 為原點， OA 所在直線為 x 軸建立一個平面直角坐標(biāo)系，其中 E 點為拋物線的最高點，立柱 AB，CD，EF，GH 都垂直于 x 軸，同時BN// OA . BC=120 米， HF=40 米，若 F，G，O 和 _{B，D，O} 均三點共線，求立柱比 與 為多少？

解析 二次函數(shù)圖象過點 A（400，0） ，設(shè)拋物線為 y=ax（x-400）（alt;0） ，因為 E 點為拋物線的頂點，所以點 E（200，-40000a） ：

因為立柱 AB 垂直于 x 軸，所以 B 點的橫坐標(biāo)為400.由 BN//OA 這一條件可知BN// x 軸，同時點H，F(xiàn)，C，B 的縱坐標(biāo)相同，設(shè)為 n ，而 FE E//HG//CD //AB//y 軸， BC=120m ，所以可以得知點 H，E，C 的坐標(biāo)分別為 H（160，n），E（200，n），C（280，n） 業(yè)

由 HG//_y 軸可知 G 點坐標(biāo)為 G（160，-38400a） ，同理可知 D 點坐標(biāo)為 D（280，-33600a） .設(shè)直線 α 的解析式為 y=kx ，將 G 點坐標(biāo)代入解析式中得-38400a=k×160 ，解得 k=-240a ：

題干給出 F，G，O 三點共線，所以 y_F= -48000a ，即 n=-48000a，H 點坐標(biāo)為 H（160 .-48000a ）， HG=-9600a T CD=- 14400a . AB =-48000a ·

由 E（200，-4000a），F(xiàn)（200，-48000a） ，可知EF=-8000a ，所以立柱比 3，

本題考查拋物線方程等知識及學(xué)生數(shù)形結(jié)合、邏輯推理能力.教學(xué)時，教師可借助多媒體平臺展示大橋，拓展拱橋知識，用交互式電子白板突出圖1關(guān)鍵點坐標(biāo)，最后板書“建方程 $$ 定坐標(biāo) 解比例”步驟梳理邏輯，總結(jié)抽象問題及簡化運算的方法.

2 圖形問題

例2如圖2，拋物線 y=ax²+bx+3（a≠0） 與 x 軸交于點 A（-3，0），B（1，0） ，與 軸交于點 C .連接 AC 和 BC ，點 P 在拋物線上運動，連接 AP，BP 和 CP ：

（1）求拋物線的解析式與頂點坐標(biāo)；

（2）如圖3，點 P 在拋物線上從 A 運動到 C 的過程中（不與 ^A，C 重合），作點 P 關(guān)于 x 軸的對稱點P₁ ，連接 AP₁ 和 CP₁ ，記 ΔACP₁ 的面積為 S₁ ，記ΔBCP 的面積為 S₂ ，若滿足 S₁=3S₂ ，求 ΔABP 的面積；

（3）如圖4，在（2）的條件下，試分析 軸上是否存在一點 Q ，使 ∠CPQ=45^° ？如果存在請寫出點 Q 坐標(biāo)，如果不存在請說明理由.

解析第（1）問中，將題干給出的 A，B 兩點坐 ，標(biāo)代入拋物線，解得 所以拋物線的表達式，為 y=-x²-2x+3 ，由 y=-x²-2x+3=-（x （204號+1）²+4 可知拋物線的頂點坐標(biāo)為 （-1，4） ·

第（2）問中，由 y=-x²-2x+3 可知 C（0，3） ，設(shè)點 P（m，-m²-2m+3） ，則點 P₁（m，m²+2m- 3），設(shè)直線 AC 解析式為 ，則有 ， ，解得 所以直線 AC 的表達式.為 _y=x+3 ，由此可知點 E 坐標(biāo)為 （m，m+3） ，同理由點 B，P 的坐標(biāo)可得直線 PB 的表達式為 y= （-m-3）x+m+3.

如圖3，連接 PP₁ 交 AC 于點 E ，設(shè)直線 PB 交 軸于點 D ，則點 D 坐標(biāo)為 D（0，m+3） ，則可求出ΔACP₁ 的面積：

同理求出 ΔBCP 的面積：

則有 m+6） ，解得 （舍去）或 ，所以點 P 的坐標(biāo)為 ，所以

第（3）問中，結(jié)合第（2）問的點 P 坐標(biāo)與點 C 坐標(biāo)，可得 ，當(dāng)點 Q 在點 c 上方時，∠CPQ=45^° ，可得 ，如圖4.

過點 Q 作 QH⊥PC 于點 H ，因為 ∠CPQ= 45^° ，所以 PH=QH .設(shè) CH=x ，則有 ，即 QH=2-√3，解得QH=（2-√3x），所以PH= （20 ，解得 ，即點 ，當(dāng)點 Q^′ 在點 c 下方時，同理可得 ，所以點 ，綜上可知存在點 Q ，坐標(biāo)為： Q（0，2 或 ·

本題以拋物線為依托，屬典型圖形題，特殊之處在于未知點為動點.解題教學(xué)中教師可以利用GeoGebra軟件，直接輸入函數(shù)或命令生成圖形，然后加粗標(biāo)記 ΔACP₁ 、△BCP與 ΔABP 的區(qū)域；也可借助幾何畫板制作動點軌跡動畫，讓學(xué)生明晰求解需分情況討論.

3結(jié)語

二次函數(shù)與拱橋、圖形結(jié)合題是初中數(shù)學(xué)典型例題，教師可利用網(wǎng)絡(luò)與智能工具，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，以參數(shù)為突破口，巧用頂點式、交點式結(jié)合幾何條件求未知量，助力學(xué)生內(nèi)化知識、發(fā)展思維.

【本文系安徽省教育信息技術(shù)研究課題“智慧學(xué)習(xí)環(huán)境下初中生數(shù)學(xué)運算能力培養(yǎng)實踐研究\"（立項編號：AH2024102）的階段性研究成果】

參考文獻：

[1]陳峰杰.初中數(shù)學(xué)解題方法和技巧研究一以二次函數(shù)解析式為例[J].數(shù)理天地（初中版），2025（3）：52-53.