【摘 要】在高中學(xué)生數(shù)學(xué)解題的過程中，時常有不能把已經(jīng)掌握的知識運用出來的現(xiàn)象。為了解決這一問題，本文擬把解題信息區(qū)分為目標(biāo)信息、已知信息和隱含信息，介紹能較好挖掘隱含信息從而產(chǎn)生解題思路的倒推-順推法，并剖析了其間內(nèi)在的邏輯關(guān)系。

【關(guān)鍵詞】目標(biāo)信息 已知信息 隱含信息 倒推—順推法

【中圖分類號】G632 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）25-0139-02

在解決數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生最理想的狀況是“一看就會，一做就對”。然而經(jīng)驗告訴我們，學(xué)生時常發(fā)生的情況是：看似能夠解決的問題，在特定的情境下就是無法跨越某些障礙，而一旦被人提示或受答案的啟發(fā)即恍然大悟，原來所謂的“難”，只是一時之間沒有想到！如何改進這種狀況呢？

高中數(shù)學(xué)關(guān)于推理與證明的介紹提供了很好的思維方式，可以幫助學(xué)生有效地探尋解題思路。遺憾的是，無論是在新課教學(xué)還是在高三復(fù)習(xí)過程中，人們往往過于重視其“知識性”價值，而忽視甚至無視其“方法性”價值，遠遠沒有發(fā)揮出這部分內(nèi)容的作用。因此，本文擬通過解題信息的分類與提取做些探討，為學(xué)生的解題學(xué)習(xí)提供一個“腳手架”，以便他們在解題過程中能較快地產(chǎn)生解決問題的思路，從而在一定程度上改變上述令人懊惱的現(xiàn)象。

一 解題信息的分類

解決問題的信息就在問題背景之中，從問題設(shè)置的結(jié)構(gòu)來看，解題的有關(guān)信息可分為目標(biāo)信息、已知信息和隱含信息三種。

1.目標(biāo)信息

目標(biāo)信息指題目中結(jié)論提供的信息。通常情況下，目標(biāo)信息以典型問題的形式體現(xiàn)出來，如求字母的值或取值范圍、求曲線方程、求數(shù)列的通項公式或前項和、求空間角與距離、證明不等式、比較大小等。此外，目標(biāo)信息還包含設(shè)問之間的關(guān)系，它們主要是遞進關(guān)系，上一個問題的解決有助于下一個問題的解決，或下一個問題的解決需要以上一個問題的解決為前提；有時不同的設(shè)問表現(xiàn)為并列關(guān)系，彼此之間沒有關(guān)聯(lián)，上一個問題是否得到解決不影響下一個問題的解決。

2.已知信息

已知信息指的是題目條件中直接提供的信息，是問題解決的背景，借助符號、文字或圖形的語言形式表現(xiàn)出來，主要表現(xiàn)為概念、性質(zhì)、公式、法則、定理、典型問題等。大部分信息以常規(guī)習(xí)慣表現(xiàn)，如向量、點、數(shù)列的表示；有些則和常規(guī)習(xí)慣有些區(qū)別，需要現(xiàn)場的理解，如函數(shù)中表示變量的符號。

3.隱含信息

隱含信息指與目標(biāo)信息和已知信息有關(guān)的、題中沒有直接體現(xiàn)出來的、平時已經(jīng)學(xué)習(xí)過的概念、性質(zhì)、公式、法則、定理、公理、典型問題及其常規(guī)解決辦法、數(shù)學(xué)思想方法等內(nèi)容。其實這些都是顯在的知識，應(yīng)是在之前學(xué)習(xí)過程中已經(jīng)掌握的知識，隱含只是對于題目自身的表述而言。正是這些隱含信息，把目標(biāo)信息和已知信息聯(lián)結(jié)起來，使得解題分析能較順利地展開，不同隱含信息的使用反映了不同問題的解決方法，其直接程度（或簡便程度）往往也有所不同。

4.例題簡析

在1和100之間插入n個實數(shù)，使得這n+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個數(shù)的乘積記作Tn。再令an=lgTn，n≥1。（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn=tanantanan+1，求數(shù)列{bn}的前n項和。

目標(biāo)信息：求數(shù)列的通項公式；求數(shù)列的前n項和；設(shè)問之間是遞進的關(guān)系。

已知信息：在1和100之間插入了n個實數(shù)；上述n+2個數(shù)構(gòu)成了一個等比數(shù)列；構(gòu)成所得的等比數(shù)列是遞增的；

構(gòu)成所得的等比數(shù)列的各項的積記為Tn；an=lgTn；bn=tanantanan+1。

隱含信息：等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式；數(shù)列中典型問題的常規(guī)處理方式等；對數(shù)、指數(shù)的運算法則等；三角函數(shù)的有關(guān)知識，如兩角和的正切公式等；常用對數(shù)符號及其之間的聯(lián)系等。

二 解題信息的提取

解題信息的提取首先是快速閱讀，感知已知信息和目標(biāo)信息，了解題目大意。如果比較順利，問題能得到正常解決；一旦思路受阻，存在著解題困難，那么就可以考慮下面提供的倒推—順推法，來分析、尋找問題解決過程中可能涉及的隱含信息。

1.倒推

即我們常說的“執(zhí)果索因”，也就是“要什么，找什么”。如求字母的值需要找與其有關(guān)的方程，求數(shù)列的前n項和需要分析其通項公式的特征，求角的大小往往要先求出它的某種三角函數(shù)值再討論角的范圍等。此時“果”是外顯的，“因”是內(nèi)隱的，所以，為了更為直接地達成目標(biāo)，解題者應(yīng)從目標(biāo)的需要出發(fā)，確定問題解決的基本程序，尋求使之運行的條件。

2.順推

即我們常說的“由因?qū)Ч?，也就是“給什么，用什么”。如已知橢圓方程則其各種性質(zhì)已定，已知函數(shù)單調(diào)性就可以根據(jù)自變量的大小判斷對應(yīng)函數(shù)值的大小，也可以根據(jù)函數(shù)值的大小判斷相應(yīng)自變量的大小，還可以判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)等，已知正四棱柱為解題背景則其中特殊的點線面之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系就會有特定的作用等。此時，“因”是外顯的，“果”是內(nèi)隱的，究竟怎樣使用這里的“果”必須根據(jù)目標(biāo)的需要加以判定。

3.倒推—順推法

綜合交叉地考慮上述兩個過程來提取解題信息的方法稱之為倒推—順推法。圍繞目標(biāo)需要尋找其成立條件時，兼顧已知提供的信息，時時關(guān)注“所找”與“所用”能否比較直接地產(chǎn)生聯(lián)系，從而把倒推和順推緊密地結(jié)合起來，而不是單純地倒推或盲目地順推。這種提取解題信息的方法源于分析法和綜合法，又是對它們的變通和綜合，應(yīng)用時可能側(cè)重于倒推，也可能側(cè)重于順推，還可能邊倒推邊順推，宜根據(jù)具體情況確定是否有所側(cè)重。

在倒推—順推過程中，有時需要采用一些輔助方法，以便于讓題意表現(xiàn)得更有利于理解，讓隱含信息更容易得到挖掘。如數(shù)形結(jié)合、分類討論、取特殊值、列表、換元、正難則反等。

4.例題簡析

在1和100之間插入n個實數(shù)，使得這n+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個數(shù)的乘積記作Tn。再令an=lgTn，n≥1。（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn=tanantanan+1，求數(shù)列{bn}的前n項和。

倒推：求數(shù)列的通項公式有哪些常見類型？數(shù)列{an}是怎樣產(chǎn)生的？求數(shù)列的前n項和有哪些常用方法？數(shù)列{bn}的通項公式有何特點？

順推：構(gòu)造所得的數(shù)列有多少項？等比數(shù)列的公比能用首項和末項來表示嗎？怎樣利用等比數(shù)列的首項、末項、公比表示Tn？怎樣由Tn得出an？數(shù)列{an}是什么數(shù)列？an和an+1之間有何聯(lián)系？tanantanan+1的形式在哪里出現(xiàn)過？可能使用什么求和方法？

輔助方法：在規(guī)律不明顯的情況下，數(shù)列部分常?？梢钥紤]抽象問題具體化，通過對n賦值來探尋規(guī)律。如n=1

時，q=10= ，三個數(shù)字為1、10、100；n=2時，q= ，

四個數(shù)字為1、 、（ ）2、（ ）3=100；n=3時，

q= 五個數(shù)字分別為1、（ ）、（ ）2、（ ）3、（ ）4

=100……由此不難歸納得出一般情況，從而理清后續(xù)思路。

基本思路：設(shè)n+2個數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列為{cn}，公比為q（q>1），數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，則本題的基本解決思路為如下：

Sn←bn←an←Tn←cn←c1=1，cn+2=100

↑

兩角和與差的正切公式

三 解題分析模式的應(yīng)用

上文分別從解題信息的分類和解題信息的提取兩個不同的角度展開了分析，解題信息的分類是為提取服務(wù)的，目標(biāo)信息和已知信息是解題思路產(chǎn)生的邏輯起點，隱含信息則是解題思路順利完成的必要條件；事實上，信息分類和提取是緊密地聯(lián)系在一起的，可以通過下圖來理解。

目標(biāo)信息 隱含信息 隱含信息

↓ ↓ ↓

倒推： 要什么→找什么——↓

（輔助方法） ……

順推： 給什么→用什么——↑

↑ ↑ ↑

已知信息 隱含信息 隱含信息

顯然，數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公式、法則、定理以及數(shù)學(xué)方法、典型問題常規(guī)解決方法等掌握是解題信息分類與提取的必要條件。學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)讓學(xué)生明白：沒有書本知識是絕對不行的，但僅有書本知識還是不夠的，要加強學(xué)生閱讀理解能力的培養(yǎng)，要加強解題分析，讓學(xué)生認(rèn)識到問題是多變的，但不變的是知識，不變的是方法，并通過這種相對穩(wěn)定的方法把穩(wěn)定的書本知識在變化的問題情境中用好。

解題信息的分類與提取是一種策略性知識，需要教師借助例題反復(fù)使用、向?qū)W生解釋說明，并帶動學(xué)生操作練習(xí)，以便達到相對自動化、習(xí)慣化的狀態(tài)，從而幫助他們更好地挖掘隱含信息，更快地形成解決問題的思路，更有效地解決遇到的疑難。

參考文獻

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〔責(zé)任編輯：林勁〕