馬中明

【摘要】筆者參加了2013年福建高考數(shù)學(xué)試卷的評卷工作，負(fù)責(zé)文科第22題的批改，在評卷過程中發(fā)現(xiàn)了很多學(xué)生的共性問題，如基礎(chǔ)知識掌握不牢、知識點(diǎn)記憶混淆、基本運(yùn)算不過關(guān)等，同時(shí)看到了一些學(xué)生在分析解決問題上的獨(dú)特視角，對我今后的教學(xué)工作很有啟發(fā).

【關(guān)鍵詞】高考；評卷；基礎(chǔ)；規(guī)范；思想滲透

一、試題

（文22）已知函數(shù)f（x）=x-1+aex（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；

（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值；

（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx+1與曲線y=f（x）沒有公共點(diǎn)，求k的最大值.

對本題的評價(jià)：

本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性、最值、零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.

題目的優(yōu)點(diǎn)是第一問比較基礎(chǔ)，易得分，另外本題的三問之間沒有直接聯(lián)系，即使第一問錯(cuò)，第二問也可以做對，即使前兩問都做錯(cuò)了，也不影響第三問的解答，改卷過程中就有很多學(xué)生雖然一、二問都得0分，但是第三問依然可以得1分或2分.

題目的第一問對于學(xué)生來說還是比較容易入手，只要求導(dǎo)正確并能將切線平行于x軸轉(zhuǎn)化為斜率k=0就可以求出a的值，這3分比較容易得；第二問求極值表面上看比較簡單，但這6分并不易得，主要原因是要應(yīng)用分類討論的思想，如果沒有對a進(jìn)行分類討論而直接令導(dǎo)數(shù)為0，求出x=lna（這個(gè)結(jié)果要有意義，a必須大于0），再判斷出其為極小值點(diǎn)并求出極小值，得0分（在這一點(diǎn)上改的比較嚴(yán)格）；第三問的標(biāo)準(zhǔn)解答讓評卷老師覺得比較有爭議，給的兩種標(biāo)準(zhǔn)解答當(dāng)然都是正確的，但是在評卷前的討論過程中，老師們提出了在我們平時(shí)教學(xué)中最常用的分離變量的方法（即把要求的參數(shù)單獨(dú)分離到等式或不等式一邊），并大致給出了解題過程，題組長（大學(xué)教師）利用中午時(shí)間將這種解法完善并給出評分標(biāo)準(zhǔn)，在后來的評卷過程中發(fā)現(xiàn)用標(biāo)準(zhǔn)解答中的兩種方法來解決這一問的學(xué)生微乎其微，解答正確的學(xué)生幾乎都是用的分離的方法來解決的，這讓我覺得比較困惑，按理說標(biāo)準(zhǔn)解答應(yīng)該是最常規(guī)解法，大部分學(xué)生應(yīng)該采用的方法，可最后大部分學(xué)生用的方法沒有出現(xiàn)在標(biāo)準(zhǔn)解答之中，這是否意味著這道題的出題者在這一問的設(shè)置上并沒有立足于我們中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)際來命制試題呢？

優(yōu)秀的解法：

本題第一、二問沒有創(chuàng)新解法，都是和標(biāo)準(zhǔn)解答相同.

第三問除了給出的兩種標(biāo)準(zhǔn)解答及后來補(bǔ)充進(jìn)去的解答外，還有以下兩種解法：

（法一）將問題轉(zhuǎn)化為方程（k-1）x=1ex無實(shí)數(shù)解，再轉(zhuǎn)化為左右兩邊的函數(shù)圖像無交點(diǎn)問題，接下來結(jié)合圖像知（畫出圖形），當(dāng)k-1>0時(shí)，一定有交點(diǎn)，當(dāng)k-1=0，即k=1時(shí)，無交點(diǎn)，因?yàn)楸绢}要求的是k的最大值，所以就不用考慮k<0的情況了，直接得到k的最大值為1.

（法二）將問題轉(zhuǎn)化為k=1+1xex無實(shí)數(shù)解，然后去研究g（x）=1+1xex的值域，然后確定k的取值范圍，最后得到k的最大值.

二、典型錯(cuò)誤及其錯(cuò)誤分析

1.第一問中的錯(cuò)誤

（1）求導(dǎo)錯(cuò)誤.正確的導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為f′（x）=1-aex或f′（x）=1-ae-x或f′（x）=1-aex（ex）2，非常多的學(xué)生的錯(cuò)誤解答為f′（x）=1+aex，這個(gè)錯(cuò)誤最典型，主要是對除法的求導(dǎo)法則記憶錯(cuò)誤或應(yīng)用錯(cuò)誤或粗心大意，也有一部分學(xué)生不注意書寫規(guī)范，把導(dǎo)數(shù)寫成f′（x）=1-aexex2，這樣寫的雖然能得到正確結(jié)果，但因?yàn)榍髮?dǎo)錯(cuò)誤，整問0分，另外需要注意的是只要求導(dǎo)錯(cuò)誤，即使接下來寫出f′（1）=0也不得分（我問了題組長不能得分的原因，得到的回答是如果求導(dǎo)錯(cuò)誤由這個(gè)式子得到的關(guān)于a的方程不能解出正確的a值）.

（2）切線平行于x軸，應(yīng)為f′（1）=0，典型錯(cuò)誤為很多學(xué)生寫成f′（1）=1.

（3）計(jì)算粗心錯(cuò)誤.由f′（1）=0得到1-ae=0得到a=e，非常多學(xué)生得到a=1.

（4）題意理解不清.一些學(xué)生看到點(diǎn)（1，f（1）），馬上得到f（1）=1這樣的錯(cuò)誤結(jié)論，雖然代入后得到的答案和正確答案相同.

2.第二問中的錯(cuò)誤

（1）不分類討論.這一問中出現(xiàn)最多的錯(cuò)誤就是不對a進(jìn)行分類討論，正確的解答應(yīng)該分a>0，a≤0（也可分開a=0和a<0）討論，相當(dāng)多的學(xué)生在這一問中沒有分類討論，看到求極值就想到令導(dǎo)函數(shù)為0去求解，本題中即令f′（x）=1-aex=0得到ex=a，接下來直接得到x=lna，而這個(gè)式子中若a≤0是無意義的，在評卷的過程中許多學(xué)生沒有分類討論的思想，他們的解答過程只需在前面加上“當(dāng)a>0時(shí)”便可以得4分，沒有就是0分，非?？上?在教學(xué)過程中應(yīng)該經(jīng)常強(qiáng)調(diào)分類討論的思想，要讓學(xué)生看到參數(shù)頭腦中馬上要有是否需要對其分類討論的思想.

（2）分類討論a>0時(shí)，解f′（x）=0得到x=lna，在接下來的列表或文字表述時(shí)將增減區(qū)間顛倒，極小值寫成極大值導(dǎo)致錯(cuò)誤，求解不等式的能力需要加強(qiáng).

（3）定義域判斷錯(cuò)誤.函數(shù)的定義域應(yīng)為R，部分學(xué)生因?yàn)樵谇蠼獾倪^程中出現(xiàn)lna對數(shù)形式，把定義域錯(cuò)誤地認(rèn)為是（0，+∞），這在接下來求遞增遞減區(qū)間時(shí)就會(huì)少掉（-∞，0）的部分導(dǎo)致失分.

（4）不認(rèn)真審題.本問要求求函數(shù)的極值，一部分學(xué)生只求出了極值點(diǎn)，沒有求出極值，或者寫出的單調(diào)遞增遞減區(qū)間都是對的，但是沒有回答極值，導(dǎo)致被扣分，另外本題在回答時(shí)標(biāo)準(zhǔn)答案中要求回答出極小值，并寫出“無極大值”，最初在制定評分細(xì)則時(shí)是要求沒有寫出無極大值扣1分，后來和理科的導(dǎo)數(shù)題目統(tǒng)一，沒寫出也不扣分，但這一點(diǎn)應(yīng)在教學(xué)中引起重視，要求學(xué)生嚴(yán)格按照規(guī)范做答.

3.第三問中的錯(cuò)誤

（1）這一問中只要把直線與曲線沒有公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程無實(shí)數(shù)根（無實(shí)數(shù)解）便可得到1分，但是相當(dāng)多的學(xué)生得到了方程，但沒有說明無實(shí)根，很可惜.

（2）在運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理時(shí)只說明了在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值異號，沒有說明函數(shù)連續(xù)不斷被扣分，在解答題中這個(gè)條件是不能省略不寫的（這一點(diǎn)在平時(shí)的教學(xué)中我們好像也沒有特別強(qiáng)調(diào)）.

（3）得到方程說明無實(shí)數(shù)解后，雖然很顯然方程為一個(gè)超越方程，但還是非常多的學(xué)生錯(cuò)誤地用判別式Δ<0來解決問題.

三、對以后教學(xué)的復(fù)習(xí)備考建議

1.注重基礎(chǔ)

從這道高考題的最后一題可以發(fā)現(xiàn)，第一問對導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查很基本，從評卷中的錯(cuò)誤解答可以看出很多學(xué)生對于導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式和法則記憶錯(cuò)誤或混淆，對于平行于x軸的直線的斜率為0類似這樣的基礎(chǔ)知識掌握不清楚，所以在高三一輪復(fù)習(xí)中應(yīng)該對各個(gè)板塊中的基礎(chǔ)知識詳細(xì)講解，不能覺得學(xué)生在高一與高二已經(jīng)學(xué)習(xí)過了就一筆帶過，不要只注重提高，基礎(chǔ)打牢了才能提高，而且應(yīng)該經(jīng)常安排滾動(dòng)練習(xí)來及時(shí)回顧已復(fù)習(xí)過的知識點(diǎn).

2.強(qiáng)調(diào)規(guī)范

評卷過程中發(fā)現(xiàn)很多因?yàn)榇痤}不規(guī)范造成的不必要失分情況，比如把導(dǎo)函數(shù)錯(cuò)誤地寫成f′（x）=1-aexex2（正確應(yīng)為f′（x）=1-aex（ex）2），學(xué)生知道是ex的平方，但是沒有加括號，只能算是求導(dǎo)錯(cuò)誤而被扣分，同時(shí)也影響到第二問的解答；還有在求極值時(shí)求出極小值后也要說明沒有極大值；再比如運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理時(shí)幾個(gè)條件都要一一列出.這些細(xì)節(jié)，規(guī)范的問題要在平時(shí)的教學(xué)中經(jīng)常強(qiáng)調(diào)，在每天的作業(yè)中都要嚴(yán)格要求學(xué)生的解題規(guī)范，這樣經(jīng)過長期訓(xùn)練后才能在高考中達(dá)到好的效果，規(guī)范問題也是要把功夫下在平時(shí)，而不是在高考考場上再去注意，形成習(xí)慣后不需要刻意去注意也能寫出規(guī)范完美的解答.

3.正確引導(dǎo)

高三復(fù)習(xí)中教師應(yīng)該經(jīng)常在課堂中引導(dǎo)全體學(xué)生（差生也一樣），對于高考中的解答題，即使是最后一題的第一問甚至第二問也都考查的是比較基本、基礎(chǔ)的知識，更不要說倒數(shù)第二、第三題，只要基礎(chǔ)打牢了，后面大題的基礎(chǔ)分?jǐn)?shù)是絕對可以拿到的，評卷中發(fā)現(xiàn)最后一題還是非常多的學(xué)生放空（69.8%），如果能夠在我們的高三整個(gè)復(fù)習(xí)過程中經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生不要有“最后一題一定是難題，我一定不會(huì)做，所以我就連看都不看了”這種錯(cuò)誤思想，讓所有學(xué)生都能保證倒數(shù)第一、二題的第一問拿到分?jǐn)?shù)，那我們的平均分就會(huì)有很大的提高.

4.思想滲透

教師應(yīng)該在平時(shí)的復(fù)習(xí)中，尤其是在講評試卷習(xí)題時(shí)注重高考中考查的數(shù)學(xué)思想方法的滲透，比如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等等，這要靠平時(shí)的點(diǎn)滴滲透才能扎根于學(xué)生的腦中，而不是說專門弄個(gè)講座來講這個(gè)思想那個(gè)思想，這次高中文數(shù)的最后一題的第二問只要平時(shí)有分類討論的思想，知道要對a進(jìn)行分類討論，得到滿分6分并不難，但是如果平時(shí)沒有滲透訓(xùn)練，不對a進(jìn)行討論，這一問便一分沒有.